අන්තර්ගතය වෙත යන්න

ඉහළ කාර්යසාධන මූලද්‍රව්‍ය සූත්‍රීකරණ

ත්‍රිමාන ඝන මූලද්‍රව්‍ය සූත්‍රීකරණය හි දැක්වූ සම්මත විස්ථාපන-පදනම් සූත්‍රීකරණය, ආසන්න-අසම්පීඩ්‍ය ද්‍රව්‍ය හෝ වංගුව ප්‍රබල සිහින් ව්‍යුහ සඳහා යොදන විට අගුලු වීම (පරිමා අගුලු වීම සහ කැපුම් අගුලු වීම) ලෙස හැඳින්වෙන අසාධාරණ අධි-දෘඪතාවක් පෙන්වයි. මෙය වළක්වා ගැනීමට FrontISTR, B මැට්‍රික්සයේ හෝ විරූපණ ශ්‍රේණියෙහි පරිමා කොටස පමණක් ප්‍රතිස්ථාපනය කරන B-bar සහ F-bar ක්‍රම, අභ්‍යන්තර නිදහස් අංශක හඳුන්වාදෙන අනනුකූල මූලද්‍රව්‍ය, පීඩනය ස්වාධීන නොදන්නා ක්ෂේත්‍රයක් ලෙස සලකන u-p මිශ්‍ර මූලද්‍රව්‍ය, සහ තහඩු/කදම්භ ව්‍යුහ සඳහා විශේෂිත MITC කවච හා කදම්භ මූලද්‍රව්‍ය සපයයි.

මෙම පරිච්ඡේදය මෙම ඉහළ කාර්යසාධන මූලද්‍රව්‍ය සහ ව්‍යුහාත්මක මූලද්‍රව්‍ය සූත්‍රීකරණ මූලද්‍රව්‍ය අනුව සංවිධානය කරයි.

B-bar ක්‍රමය

නෝඩ් 8 රේඛීය හෙක්සාහීඩ්‍රල් මූලද්‍රව්‍යයක් ආසන්න-අසම්පීඩ්‍ය ද්‍රව්‍යයකට යොදන විට, එක් මූලද්‍රව්‍යයක් තුළ වික්‍රියාව ස්ථිර පරිමා සීමාව සමඟ ගැටෙන නිසා පරිමා අගුලු වීම ලෙස හැඳින්වෙන අධි-දෘඪතාවක් ඇතිවේ. B-bar ක්‍රමය B මැට්‍රික්සයේ පරිමා ප්‍රසාරණයට දායක වන සංරචක, මූලද්‍රව්‍ය මධ්‍යයේ අගය කළ අගයන් මඟින් ප්‍රතිස්ථාපනය කර අධික සීමාකරණය ලිහිල් කරයි [Hughes1980].

මූලද්‍රව්‍ය මධ්‍යයේ \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) දී හැඩ ශ්‍රිතවල අවකාශීය ව්‍යුත්පන්න වලින් ගණනය කළ B මැට්‍රික්සය \(\bar{\boldsymbol{B}}\) ලෙසත්, අනුකලන ලක්ෂ්‍යය \(\boldsymbol{r}\) දී ගණනය කළ සාමාන්‍ය B මැට්‍රික්සය \(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})\) ලෙසත් ගනිමු. නෝඩ් \(\alpha\) හි නිදහස් අංශකය \(i\) සඳහා විස්ථාපන–වික්‍රියා සම්බන්ධතාවයේ පරිමා වික්‍රියා සංරචක \((\varepsilon_{11}, \varepsilon_{22}, \varepsilon_{33})\) සඳහා

\[ \Delta B_{i\alpha} = \tfrac{1}{3}\bigl(\bar{B}_{i\alpha}(\boldsymbol{0}) - B_{i\alpha}(\boldsymbol{r})\bigr) \]

එකතු කරයි; කැපුම් සංරචක \((\varepsilon_{12}, \varepsilon_{23}, \varepsilon_{31})\) සඳහා සාමාන්‍ය \(\boldsymbol{B}\) භාවිත කරයි. මෙසේ ලැබෙන B-bar මැට්‍රික්සයෙන් මූලද්‍රව්‍ය දෘඪතාව සහ අභ්‍යන්තර බල දෛශිකය එකලස් කරයි.

FrontISTR මෙම සූත්‍රීකරණය නෝඩ් 8 රේඛීය හෙක්සාහීඩ්‍රල් මූලද්‍රව්‍යයට (මූලද්‍රව්‍ය ID 361, මූලද්‍රව්‍ය අංක පද්ධතිය) පමණක් සපයන අතර, කුඩා විරූපණ, Total Lagrange සහ Updated Lagrange යන සියල්ලට යෙදිය හැක.

F-bar ක්‍රමය

සීමිත විරූපණයේදී පරිමා වෙනස විරූපණ ශ්‍රේණිය \(\boldsymbol{F}\) හරහා රේඛීය නොවන ලෙස බලපාන බැවින්, B-bar ක්‍රමයට සමාන පරිමා අගුලු වීම සඳහා ප්‍රතිකාරය විරූපණ ශ්‍රේණියේ මට්ටමේ සිදු කරන ක්‍රමය F-bar ක්‍රමය [deSouzaNeto1996] වේ.

මූලද්‍රව්‍ය මධ්‍යයේ \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) දී අගය කළ විරූපණ ශ්‍රේණියේ පරිමා අනුපාතය \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\) ලෙසත්, අනුකලන ලක්ෂ්‍යයේ පරිමා අනුපාතය \(J = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\) ලෙසත් ගෙන, අනුකලන ලක්ෂ්‍යයේ විරූපණ ශ්‍රේණිය

\[ \bar{\boldsymbol{F}} = \left(\frac{J_0}{J}\right)^{1/3} \boldsymbol{F} \]

මඟින් ප්‍රතිස්ථාපනය කරයි. එවිට \(\det \bar{\boldsymbol{F}} = J_0\) වන අතර මූලද්‍රව්‍යය පුරා පරිමා අනුපාතය මූලද්‍රව්‍ය මධ්‍ය අගයට සමාන වේ. ආතති ඇගයීම සහ වික්‍රියා–විස්ථාපන මැට්‍රික්සය ගොඩනැගීමට ප්‍රතිස්ථාපිත \(\bar{\boldsymbol{F}}\) භාවිත කරන අතර, මූලද්‍රව්‍ය දෘඪතාව සඳහා මෙම ප්‍රතිස්ථාපනයෙන් ඇති අමතර පද ඇතුළත් කර ස්පර්ශක මැට්‍රික්සය එකලස් කරයි.

FrontISTR හි F-bar ක්‍රමය නෝඩ් 8 රේඛීය හෙක්සාහීඩ්‍රල් මූලද්‍රව්‍ය සඳහා පමණක් ක්‍රියාත්මක කර ඇති අතර, කුඩා විරූපණ සහ Total Lagrange / Updated Lagrange යන රේඛීය නොවන ජ්‍යාමිතික සූත්‍රීකරණ සියල්ලට යෙදිය හැක.

අනනුකූල මූලද්‍රව්‍ය

නෝඩ් 8 රේඛීය හෙක්සාහීඩ්‍රල් මූලද්‍රව්‍යයට වංගු ප්‍රකාරය සඳහා අවශ්‍ය වික්‍රියා නිදහස් අංශක නොමැති නිසා, වංගුව ප්‍රබල ගැටලුවල වංගු අගුලු වීම පෙන්වයි. අනනුකූල මූලද්‍රව්‍යය [Taylor1976] මෙම අඩුපාඩුව පිරවීම සඳහා මූලද්‍රව්‍යය තුළ අමතර විස්ථාපන ප්‍රකාර හඳුන්වා දෙයි.

මූලද්‍රව්‍ය නෝඩ් විස්ථාපන \(\boldsymbol{u}^e\) ට අමතරව, මූලද්‍රව්‍යය ඇතුළත පමණක් පවතින නොගැළපෙන ප්‍රකාර නිදහස් අංශක \(\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{R}^{9}\) එක් මූලද්‍රව්‍යයකට දිශා 3 × ප්‍රකාර 3 ලෙස හඳුන්වාදී, විස්ථාපන ක්ෂේත්‍රය

\[ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha=1}^{8} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha + \sum_{k=1}^{3} M_k(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{\alpha}_k \]

ලෙස ආසන්න කරයි. ස්වභාවික ඛණ්ඩාංක \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\) සඳහා අනනුකූල හැඩ ශ්‍රිත \(M_1 = 1 - \xi^2\), \(M_2 = 1 - \eta^2\), \(M_3 = 1 - \zeta^2\) ලෙස ගනී. මේවා මූලද්‍රව්‍ය සීමාවේ අඛණ්ඩතාව සහතික නොකරන නමුත්, වංගු ප්‍රකාරයේ වික්‍රියාව නිරූපණය කළ හැකි අවකාශයක් මූලද්‍රව්‍යය තුළ එක් කරයි.

මූලද්‍රව්‍ය දෘඪතා පද්ධතිය බාහිර නිදහස් අංශක–අභ්‍යන්තර නිදහස් අංශක ඛණ්ඩ විභජනය ලෙස

\[ \begin{bmatrix} \boldsymbol{K}_{dd} & \boldsymbol{K}_{d\alpha} \\ \boldsymbol{K}_{\alpha d} & \boldsymbol{K}_{\alpha\alpha} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u}^e \\ d\boldsymbol{\alpha} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{F}^e_{\text{ext}} \\ \boldsymbol{0} \end{bmatrix} \]

ආකාරයෙන් එකලස් කළ පසු, \(d\boldsymbol{\alpha} = -\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\boldsymbol{K}_{\alpha d}\,d\boldsymbol{u}^e\) මඟින් අභ්‍යන්තර නිදහස් අංශක ඉවත් කරන ස්ථිතික සංක්ෂේපණය සිදු කර, බාහිර නිදහස් අංශක පමණක් ඇති මූලද්‍රව්‍ය දෘඪතාව

\[ \boldsymbol{K}^e = \boldsymbol{K}_{dd} - \boldsymbol{K}_{d\alpha}\,\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\,\boldsymbol{K}_{\alpha d} \]

සමස්ත එකලස් කිරීමට යවයි.

FrontISTR හි අනනුකූල මූලද්‍රව්‍යය නෝඩ් 8 රේඛීය හෙක්සාහීඩ්‍රල් (C3D8IC) මූලද්‍රව්‍යයට පමණක් ක්‍රියාත්මක කර ඇති අතර, කුඩා විරූපණ, Total Lagrange සහ Updated Lagrange යන සියල්ලට යෙදිය හැක.

U-P මිශ්‍ර මූලද්‍රව්‍ය

B-bar සහ F-bar ක්‍රම විස්ථාපන-පදනම් රාමුව තුළ පරිමා සංරචක නිවැරදි කරන අතර, u-p මිශ්‍ර (U-P) මූලද්‍රව්‍යය පීඩනය \(\lambda\) විස්ථාපනයෙන් ස්වාධීන නොදන්නා ක්ෂේත්‍රයක් ලෙස හඳුන්වාදෙන මිශ්‍ර සූත්‍රීකරණයකි [Bathe1996]. ආසන්න-අසම්පීඩ්‍ය ද්‍රව්‍යවල (Poisson අනුපාතය 0.5 ට අතිශයින් ආසන්න රබර් වැනි ද්‍රව්‍ය හෝ ප්ලාස්ටික් විරූපණයෙන් පසු ලෝහ) විස්ථාපන ක්ෂේත්‍රයෙන් පමණක් ස්ථිර පරිමා සීමාව සපුරාලීමට උත්සාහ කළහොත් පරිමා අගුලු වීම ඇතිවන අතර, පීඩනය ස්වාධීන විචල්‍යයක් කිරීමෙන් එම සීමාව ලිහිල් වේ.

ආතතිය අපගමන සංරචකය සහ පීඩනය ලෙස වෙන් කර,

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} + \lambda\,\boldsymbol{I}, \qquad \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} = \mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\,\boldsymbol{\varepsilon} \]

ලෙස ලියයි. මෙහි \(\mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\) යනු ප්‍රත්‍යාස්ථ මැට්‍රික්සයෙන් පරිමා මාපාංකය \(K\) ට සමානුපාතික පරිමා කොටස ඉවත් කළ අපගමන ප්‍රත්‍යාස්ථ මැට්‍රික්සයයි. පීඩනය \(\lambda\) සහ පරිමා වික්‍රියාව \(g = \mathrm{tr}\,\boldsymbol{\varepsilon}\), සම්පීඩ්‍යතාව \(\alpha^{-1} = 1/K\) හරහා ඇති මායිම් කොන්දේසිය

\[ g - \alpha^{-1}\lambda = 0 \]

මඟින් සම්බන්ධ වේ. විස්ථාපනය \(\boldsymbol{u}\) සහ පීඩනය \(\lambda\) නොදන්නා විචල්‍ය ලෙස විවික්තීකරණය කිරීමෙන් මූලද්‍රව්‍යයේ සමකාලීන සමීකරණ

\[ \begin{bmatrix} \mathbf{K}_{uu} & \mathbf{K}_{up} \\ \mathbf{K}_{up}^{T} & \mathbf{K}_{pp} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u} \\ d\lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{f}_{u} \\ \boldsymbol{f}_{p} \end{bmatrix} \]

ලැබේ. මෙහි \(\mathbf{K}_{uu}\) යනු අපගමන ප්‍රත්‍යාස්ථ සංරචකය සහ (සීමිත විරූපණයේදී) ජ්‍යාමිතික දෘඪතාවයි; \(\mathbf{K}_{up}\) පරිමා වික්‍රියාව හා පීඩනය සම්බන්ධ කරන මැට්‍රික්සයයි; \(\mathbf{K}_{pp} = -\int \alpha^{-1}\,\boldsymbol{N}_p \boldsymbol{N}_p^{T}\,dV\) පීඩන ස්ථායිකරණ පදයයි (\(\boldsymbol{N}_p\) යනු පීඩනයේ හැඩ ශ්‍රිතය). පීඩන නිදහස් අංශක මූලද්‍රව්‍යය ඇතුළතම පවතින බැවින්,

\[ \mathbf{K}_{\mathrm{eff}} = \mathbf{K}_{uu} - \mathbf{K}_{up}\,\mathbf{K}_{pp}^{-1}\,\mathbf{K}_{up}^{T} \]

ආකාරයට ස්ථිතික සංක්ෂේපණය සිදු කර බාහිර (විස්ථාපන) නිදහස් අංශක පමණක් ඇති ඵලදායී දෘඪතාව සමස්ත එකලස් කිරීමට යවයි.

FrontISTR හි U-P මූලද්‍රව්‍යය නෝඩ් 8 රේඛීය හෙක්සාහීඩ්‍රල් සඳහා පමණක් ක්‍රියාත්මක කර ඇති අතර, එක් මූලද්‍රව්‍යයකට පීඩන නිදහස් අංශක 1 ක් (මූලද්‍රව්‍යය තුළ ස්ථිර) ලෙස ගනී. කුඩා විරූපණ, Total Lagrange සහ Updated Lagrange සියල්ලට යෙදිය හැකි අතර, Updated Lagrange හි අපගමන ආතතිය වස්තුනිෂ්ඨ ආතති අනුපාතය (Jaumann / Hughes-Winget වර්ගය) මඟින් යාවත්කාලීන කර පසුව, ස්ථිතික සංක්ෂේපණය මඟින් ලැබෙන අගයෙන් පීඩනය \(\lambda\,\boldsymbol{I}\) යොදයි.

කවච මූලද්‍රව්‍ය

සිහින් තහඩු-කවච ව්‍යුහ සඳහා Reissner-Mindlin තහඩු-කවච න්‍යාය මත පදනම් වූ කවච මූලද්‍රව්‍ය භාවිත කරයි. අඩු අනුක්‍රමයේ විස්ථාපන-පදනම් කවච මූලද්‍රව්‍යවල ඝනකම අඩුවන විට තීර්‍යක් කැපුම් වික්‍රියාව පරිමා අගුලු වීමට සමාන යාන්ත්‍රණයකින් (කැපුම් අගුලු වීම) අධි-අගය වේ, එවිට වංගු ප්‍රකාරයට දෘඪතාව අසීමිත ලෙස වැඩිවේ. MITC (Mixed Interpolation of Tensorial Components) ක්‍රමය [Dvorkin1984] [Bathe1986] කැපුම් වික්‍රියා සංරචක පමණක් මූලද්‍රව්‍යය තුළ පෙර නියමිත බැඳුම් ලක්ෂ්‍ය වල නැවත නියැදි කර, එම නියැදි අගයන් මූලද්‍රව්‍යය තුළ නැවත අන්තර්පෝලනය කිරීමෙන් මෙම ගැටලුව වළක්වයි.

MITC කවච මූලද්‍රව්‍යයේ නෝඩ් වක්‍ර මතුපිටේ මධ්‍ය-මතුපිට නෝඩ් වන අතර, එක් නෝඩයකට පරිවර්තන සංරචක 3 ක් සහ මධ්‍ය-මතුපිට ලම්බ අක්ෂය වටා භ්‍රමණ සංරචක 3 ක්, එකතුව නිදහස් අංශක 6 ක් ඇත. මූලද්‍රව්‍ය දෘඪතාව මධ්‍ය-මතුපිට ස්වභාවික ඛණ්ඩාංක සහ ඝනකම් දිශාව ඇතුළත් ත්‍රිමාන Gauss අනුකලනය මඟින් අගය කරන අතර, තහඩු ඝනකම \(h\) සංයුති නියම ගණනයේදී මූලද්‍රව්‍ය ගුණයක් ලෙස ලබාදෙයි.

FrontISTR මධ්‍ය-මතුපිට තනි ස්ථරයක් ලෙස සලකන MITC3 (මූලද්‍රව්‍ය ID 731), MITC4 (741), MITC9 (743) සහ ඝනකම් දිශාවට නෝඩ් ස්ථර 2 ක් ඇති ස්ථරිත කවච මූලද්‍රව්‍ය MITC3-shell361 (761, නෝඩ් 3\(\times\)2, එක් නෝඩයකට නිදහස් අංශක 3) හා MITC4-shell361 (781, නෝඩ් 4\(\times\)2, එක් නෝඩයකට නිදහස් අංශක 3) සපයයි. ස්ථරිත කවච මූලද්‍රව්‍යවල නෝඩ් නිදහස් අංශක පරිවර්තන සංරචක 3 ක් පමණක් වන අතර, භ්‍රමණ නිදහස් අංශකයට අනුරූප වංගු ප්‍රකාරය ස්ථර 2 සැකැස්මෙන් නිරූපණය කරයි.

කදම්භ මූලද්‍රව්‍ය

ගර්ඩර් හා රාමු වැනි රේඛීය ව්‍යුහ කදම්භ මූලද්‍රව්‍යවලින් විවික්තීකරණය කරයි. FrontISTR කැපුම් විරූපණය සලකන Timoshenko කදම්භ සූත්‍රීකරණය භාවිත කර, වංගුව සහ කැපුම දෙකම විස්ථාපන හා භ්‍රමණ නිදහස් අංශකවල ශ්‍රිත ලෙස විස්තර කරයි.

කදම්භ මූලද්‍රව්‍යයක නෝඩ් නිදහස් අංශක ලෙස පරිවර්තන සංරචක 3 ක් සහ අක්ෂය වටා/තීර්‍යක් අක්ෂ වටා භ්‍රමණ සංරචක 3 ක්, එකතුව 6 ක් ඇත. මූලද්‍රව්‍ය දෘඪතාව කදම්භ අක්ෂය දිගේ ඒකමාන සංඛ්‍යාත්මක අනුකලනය මඟින් අගය කරයි. හරස්කඩ වර්ගඵලය \(A\) සහ වංගු/වක්‍රණ දිශාවල වර්ගඵලයේ දෙවන මොහොත \(I\), කදම්භ හරස්කඩ නියතයන් ලෙස මූලද්‍රව්‍ය ගුණ වලට ලබාදී, ද්‍රව්‍යයේ Young මාපාංකය \(E\) සහ කැපුම් මාපාංකය \(G\) සමඟ දිගහැරීම, වංගුව, වක්‍රණය සහ කැපුම සඳහා දෘඪතා ගුණක සෑදේ.

FrontISTR නෝඩ් 2 සෘජු කදම්භ මූලද්‍රව්‍යය (මූලද්‍රව්‍ය ID 611) සහ නෝඩ් 3 කින් නිරූපණය කරන නෝඩ් 4 චතුස්තල ඝන–කදම්භ දෙමුහුන් මූලද්‍රව්‍යය (641, මිශ්‍ර නිදහස් අංශක සඳහා) සපයයි.

අදාළ අයිතම