චලනය, විරූපණය සහ වික්‍රියාව¶

සමුද්දේශ වින්‍යාසය සහ වත්මන් වින්‍යාසය¶

වින්‍යාස අර්ථ දැක්වීම¶

භෞතික රාශියක් විස්තර කිරීමේදී කුමන අවස්ථාවේ හැඩය පදනම කරගන්නේද යන්න වෙන්කර දැක්වීම සඳහා, මෙම අත්පොතේ වින්‍යාස වර්ග දෙකක් භාවිතා කරයි.

සමුද්දේශ වින්‍යාසය (reference configuration): විශ්ලේෂණය ආරම්භ වන මොහොතේ (කාලය \(0\)) විරූපණයට පෙර හැඩය (ආරම්භක වින්‍යාසය ලෙසද හැඳින්වේ). සමුද්දේශ වින්‍යාසයේ ලක්ෂ්‍යයක් ද්‍රව්‍ය ඛණ්ඩාංක \(\boldsymbol{X}\) මඟින් නිරූපණය කරන අතර, පරිමාව \(V\) සහ පෘෂ්ඨය \(S\) ලෙස ගනී.
වත්මන් වින්‍යාසය (current configuration): කාලය \(t\) දී විරූපණයෙන් පසු ඇති හැඩය. වත්මන් වින්‍යාසයේ ලක්ෂ්‍යයක් අවකාශ ඛණ්ඩාංක \(\boldsymbol{x}\) මඟින් නිරූපණය කරන අතර, පරිමාව \(v\) සහ පෘෂ්ඨය \(s\) ලෙස ගනී.

චලනය, මෙම වින්‍යාස දෙක අතර සිතියමක් වන \(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}(\boldsymbol{X}, t)\) ලෙස නිරූපණය කරයි. විස්ථාපනය \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) ලෙස අර්ථ දක්වයි.

වින්‍යාසයට අදාළ සංකේත රීතිය (මහා/කුඩා අකුරු)¶

භෞතික රාශිය අයත් වන වින්‍යාසය සංකේතයේ මහා හෝ කුඩා අකුරෙන් වෙන්කර දක්වයි.

සමුද්දේශ වින්‍යාසයට අයත් රාශි මහා අකුරු වලින් දක්වයි (උදා.: \(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{F}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{E}, V, S\)).
වත්මන් වින්‍යාසයට අයත් රාශි කුඩා අකුරු වලින් දක්වයි (උදා.: \(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{e}, v, s\)).
පළමු Piola-Kirchhoff ආතතිය \(\boldsymbol{P}\) වැනි වින්‍යාස දෙකටම සම්බන්ධ රාශි සඳහා සම්මත සංකේත භාවිතා කර, අවශ්‍ය තැන පෙළ තුළ පැහැදිලි කරයි.
සුළු විරූපණ න්‍යායේදී වින්‍යාස දෙක අතර වෙනස නැති වන බැවින්, කුඩා අකුරු (\(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{\varepsilon}\)) පමණක් භාවිතා කරයි.

සමුද්දේශ වින්‍යාස අනුක්‍රමණය සහ වත්මන් වින්‍යාස අනුක්‍රමණය¶

අවකාශීය අවකලනය ගන්නා වින්‍යාසය අනුව සංකේතය සහ අර්ථය වෙනස් වේ.

සමුද්දේශ වින්‍යාස අනුක්‍රමණය \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\): ද්‍රව්‍ය ඛණ්ඩාංක සම්බන්ධ අනුක්‍රමණය. උදා.: \(\boldsymbol{F} = \partial \boldsymbol{x} / \partial \boldsymbol{X}\).
වත්මන් වින්‍යාස අනුක්‍රමණය \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\): අවකාශ ඛණ්ඩාංක සම්බන්ධ අනුක්‍රමණය. උදා.: \(\boldsymbol{L} = \partial \boldsymbol{v} / \partial \boldsymbol{x}\).

මේ දෙක \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\) මඟින් සම්බන්ධ වේ. කාල අවකලන රීතිය (ද්‍රව්‍ය කාල අවකලනය \(\dot{(\cdot)}\)) සඳහා ටෙන්සර් සංකේතනය සහ ගණිතමය මූලික කරුණු බලන්න.

චලනය විස්තර කිරීම¶

චලන සිතියම සහ ද්‍රව්‍ය/අවකාශ විස්තරය¶

අඛණ්ඩ ද්‍රව්‍යයක්, කාලය \(0\) දී පිහිටීම \(\boldsymbol{X}\) ලේබලය ලෙස ඇති ද්‍රව්‍ය ලක්ෂ්‍ය සමූහයක් ලෙස සලකන විට, චලනය යනු ද්‍රව්‍ය ලක්ෂ්‍යය \(\boldsymbol{X}\) සඳහා කාලය \(t\) දී එහි පිහිටීම \(\boldsymbol{x}\) ලබාදෙන \(\phi\) සිතියමයි:

\[ \boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t) \]

සමුද්දේශ වින්‍යාසය ආරම්භක වින්‍යාසය ලෙස ගන්නා රීතිය යටතේ \(\boldsymbol{X} = \phi(\boldsymbol{X}, 0)\) වේ.

ස්වාධීන විචල්‍ය තෝරාගන්නා ආකාරය අනුව විස්තර වර්ග දෙකක් වෙන් කරයි.

ද්‍රව්‍ය විස්තරය (Lagrange විස්තරය): භෞතික රාශි \((\boldsymbol{X}, t)\) හි ශ්‍රිත ලෙස දක්වයි. ඝන යාන්ත්‍ර විද්‍යාවේදී සමුද්දේශ වින්‍යාසය ස්ථිර හැඩයක් ලෙස ලබා දෙන බැවින් මෙය ස්වාභාවික තේරීමකි.
අවකාශ විස්තරය (Euler විස්තරය): භෞතික රාශි \((\boldsymbol{x}, t)\) හි ශ්‍රිත ලෙස දක්වයි. මෙය ද්‍රව යාන්ත්‍ර විද්‍යාවේ සම්මතව භාවිතා වේ.

FrontISTR හි ව්‍යුහාත්මක විශ්ලේෂණය මූලික වශයෙන් ද්‍රව්‍ය විස්තරය මත පදනම් වුවද, Updated Lagrange ක්‍රමයේදී වත්මන් වින්‍යාසය නව සමුද්දේශ වින්‍යාසය ලෙස භාවිතා කරන බැවින් අවකාශ විස්තරයේ රාශිද එකවර භාවිතා වේ.

විස්ථාපනය, ප්‍රවේගය සහ ත්වරණය¶

විස්ථාපනය \(\boldsymbol{u}\) පෙර කොටසෙහි පරිදි \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) ලෙස අර්ථ දක්වයි. එහි විශාලත්වය පිළිබඳ උපකල්පනයක් නොතබා සීමිත විරූපණ දක්වා සලකා බලයි. ප්‍රවේග දෛශිකය සහ ත්වරණ දෛශිකය, ද්‍රව්‍ය ලක්ෂ්‍යය ස්ථිර කරගෙන \(\boldsymbol{u}\) හි ද්‍රව්‍ය කාල අවකලන ලෙස

\[ \boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}, \qquad \boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}} = \ddot{\boldsymbol{u}} \]

ලෙස අර්ථ දක්වයි.

විරූපණ අනුක්‍රමණය සහ විරූපණ ටෙන්සර්¶

විරූපණ අනුක්‍රමණ ටෙන්සරය¶

සීමිත විරූපණ අඛණ්ඩ යාන්ත්‍ර විද්‍යාවේ මූලික රාශිය විරූපණ අනුක්‍රමණ ටෙන්සරය \(\boldsymbol{F}\) වේ. මෙය සමුද්දේශ වින්‍යාසයේ සුළු රේඛා ඛණ්ඩය \(d\boldsymbol{X}\) වත්මන් වින්‍යාසයේ සුළු රේඛා ඛණ්ඩය \(d\boldsymbol{x}\) වෙත සිතියම් කරන රේඛීය සිතියමකි. චලන සිතියමේ ද්‍රව්‍ය ඛණ්ඩාංක සම්බන්ධ අනුක්‍රමණය ලෙස

\[ \boldsymbol{F} = \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{X}} = \boldsymbol{I} + \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}, \qquad F_{ij} = \frac{\partial x_i}{\partial X_j} \]

ලෙස අර්ථ දක්වයි (\(d\boldsymbol{x} = \boldsymbol{F}\, d\boldsymbol{X}\)). විරූපණයක් නොමැති තත්ත්වයේ \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I}\) වේ. \(\boldsymbol{F}\) වික්‍රියාව සහ ආතතිය අර්ථ දැක්වීමටත්, වින්‍යාස අතර භෞතික රාශි පරිවර්තනය කිරීමටත් පුළුල්ව භාවිතා වේ.

පරිමා වෙනස්වීමේ අනුපාතය¶

සමුද්දේශ වින්‍යාසයේ සුළු පරිමාව \(dV\) සහ වත්මන් වින්‍යාසයේ සුළු පරිමාව \(dv\) අතර අනුපාතය පරිමා වෙනස්වීමේ අනුපාතය \(J\) ලෙස හැඳින්වෙන අතර

\[ J = \frac{dv}{dV} = \det \boldsymbol{F} \]

මඟින් ලබා දේ. අඛණ්ඩ ද්‍රව්‍යයේ ප්‍රතිවර්ත්‍යතාව අනුව \(J > 0\) යැයි උපකල්පනය කරයි. ස්කන්ධ සංරක්ෂණ නියමය \(\rho_0 = J\rho\) ලෙස ලියයි.

දකුණු සහ වම් Cauchy-Green විරූපණ ටෙන්සර්¶

විරූපණ අනුක්‍රමණය \(\boldsymbol{F}\) තුළ දෘඪ දේහ භ්‍රමණයද අඩංගු බැවින්, විරූපණයම මනින මිනුමක් සඳහා දෘඪ දේහ භ්‍රමණය ඉවත් කළ රාශි භාවිතා කරයි. දකුණු Cauchy-Green විරූපණ ටෙන්සරය \(\boldsymbol{C}\) (සමුද්දේශ වින්‍යාසය) සහ වම් Cauchy-Green විරූපණ ටෙන්සරය \(\boldsymbol{b}\) (වත්මන් වින්‍යාසය)

\[ \boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}, \qquad \boldsymbol{b} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{F}^T \]

ලෙස අර්ථ දක්වයි. දෙකම සමමිතික ටෙන්සර් වන අතර එකම ස්වයං අගයන් (ප්‍රධාන දිගුවීම් අනුපාතවල වර්ග) දරයි. අධිප්‍රත්‍යාස්ථ වික්‍රියා ශක්ති ශ්‍රිතයේ ප්‍රධාන අවිචලක මේවා භාවිතයෙන් ලබා දේ.

වික්‍රියා ටෙන්සර¶

Green-Lagrange වික්‍රියා ටෙන්සරය¶

සමුද්දේශ වින්‍යාසය මත පදනම් වූ වික්‍රියා මිනුම ලෙස Green-Lagrange වික්‍රියා ටෙන්සරය \(\boldsymbol{E}\)

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{C} - \boldsymbol{I}) = \frac{1}{2}(\boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F} - \boldsymbol{I}) \]

ලෙස අර්ථ දක්වයි. එය සමුද්දේශ වින්‍යාසයේ සුළු දෛශිකවල අභ්‍යන්තර ගුණිතයේ වෙනස නිරූපණය කරන සමමිතික ටෙන්සරයකි; දෘඪ දේහ භ්‍රමණයට අවිචල වන අතර, විරූපණයක් නොමැති තත්ත්වයේ \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{0}\) වේ. \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I} + \partial \boldsymbol{u} / \partial \boldsymbol{X}\) භාවිතා කළ විට

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}\left\{ \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} \right\} \]

ලෙස, විස්ථාපන අනුක්‍රමණයේ පළමු හා දෙවන අනුපිළිවෙළ පදවල එකතුවක් ලෙස ලියයි. දෙවන අනුපිළිවෙළ පදය ජ්‍යාමිතික රේඛීය නොවනතාව නිරූපණය කරයි. Total Lagrange ක්‍රමයේදී මෙය ආතති-සහයුග්ම යුගලය \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\) ලෙස භාවිතා වේ.

Almansi වික්‍රියා ටෙන්සරය¶

වත්මන් වින්‍යාසය මත පදනම් වූ වික්‍රියා මිනුම ලෙස Almansi වික්‍රියා ටෙන්සරය \(\boldsymbol{e}\)

\[ \boldsymbol{e} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{I} - \boldsymbol{b}^{-1}) \]

ලෙස අර්ථ දක්වයි. Green-Lagrange වික්‍රියාව සමඟ එය \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{e}\, \boldsymbol{F}\) (ආපසු සිතියම් කිරීම) මඟින් සම්බන්ධ වේ.

සුළු වික්‍රියා ටෙන්සරය¶

විස්ථාපන අනුක්‍රමණය කුඩා නම් (\(|\partial u_i / \partial X_j| \ll 1\)), Green-Lagrange වික්‍රියාවේ දෙවන අනුපිළිවෙළ පදය නොසලකා හැරිය හැක. තවද වින්‍යාස දෙක අතර වෙනස නැති වන බැවින්, අනුක්‍රමණය අවකාශ ඛණ්ඩාංකවලින් දක්වන සුළු වික්‍රියා ටෙන්සරය \(\boldsymbol{\varepsilon}\) වෙත එය සීමා වේ:

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2}\left\{ \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right\}, \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

FrontISTR හි රේඛීය ස්ථිතික විශ්ලේෂණය, මෝඩල් විශ්ලේෂණය, සංඛ්‍යාත ප්‍රතිචාර විශ්ලේෂණය සහ රේඛීය ගතික විශ්ලේෂණය සඳහා මෙම වික්‍රියා මිනුම භාවිතා වේ. සීමිත විරූපණ විශ්ලේෂණයේදී Total Lagrange ක්‍රමය \(\boldsymbol{E}\) භාවිතා කරන අතර, Updated Lagrange ක්‍රමය වත්මන් වින්‍යාසයට අදාළ විරූපණ වේග ටෙන්සරය \(\boldsymbol{D}\) භාවිතා කරයි.