අන්තර්ගතය වෙත යන්න

ආතතිය සහ සංරක්ෂණ නීති

මෙම පරිච්ඡේදයේ ආතති ටෙන්සරවල නිර්වචන සහ අන්‍යෝන්‍ය සම්බන්ධතා මෙන්ම ස්කන්ධය, රේඛීය ගම්‍යතාව සහ කෝණික ගම්‍යතාව සංරක්ෂණ නීතිවලින් ලැබෙන සමතුලිතතා සමීකරණ සහ ආතති සමමිතිය සාරාංශ කරයි. ආතති ටෙන්සර වර්ග තුන—Cauchy ආතතිය \(\boldsymbol{\sigma}\), පළමු Piola-Kirchhoff ආතතිය \(\boldsymbol{P}\) සහ දෙවන Piola-Kirchhoff ආතතිය \(\boldsymbol{S}\)—යොමු පෘෂ්ඨය සහ බල දෛශිකය සඳහා භාවිත කරන වින්‍යාසය වෙනස් වන ආකාරය අනුව හඳුන්වා දෙයි. වින්‍යාසය, චලනය සහ විරූපණ අනුක්‍රමණය පිළිබඳ නිර්වචන සඳහා චලනය, විරූපණය සහ වික්‍රියාව, සංකේත ලැයිස්තුව සඳහා භෞතික රාශිවල සංකේත ලැයිස්තුව බලන්න.

Cauchy ආතති ටෙන්සරය

වත්මන් වින්‍යාසයේ \(\boldsymbol{x}\) ලක්ෂ්‍යයක ඇති අතිසුළු පෘෂ්ඨයක් (වර්ගඵලය \(d\Gamma\), පිටතට යොමු වූ ඒකක ලම්බකය \(\boldsymbol{n}\)) මත ක්‍රියා කරන බලය \(d\boldsymbol{f}\) ලෙස ගනිමු. පෘෂ්ඨ බල දෛශිකය \(\boldsymbol{t}\), ඒකක වර්ගඵලයකට බලය ලෙස \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{t}\, d\Gamma\) මඟින් නිර්වචනය කරයි. \(\boldsymbol{t}\) ස්ථානය \(\boldsymbol{x}\) සහ ලම්බකය \(\boldsymbol{n}\) යන දෙකම මත රඳා පවතී. අතිසුළු චතුර්මුඛයකට ගම්‍යතා සංරක්ෂණ නීතිය යෙදීමෙන් \(\boldsymbol{t}\), \(\boldsymbol{n}\) සම්බන්ධයෙන් රේඛීය වන අතර දෙවන අනුපිළිවෙළේ ටෙන්සරයක් \(\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{x}, t)\) පවතින බැවින්

\[ \boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n}, \qquad t_i = \sigma_{ij} n_j \]

ඕනෑම \(\boldsymbol{n}\) සඳහා වලංගු වේ (Cauchy ආතති ප්‍රමේයය). මෙම \(\boldsymbol{\sigma}\) ටෙන්සරය Cauchy ආතති ටෙන්සරය ලෙස හඳුන්වන අතර, වත්මන් වින්‍යාසයේ ජ්‍යාමිතිය මත පදනම් වූ ඒකක වර්ගඵලයකට බලය නිරූපණය කරන බැවින් සත්‍ය ආතතිය ලෙසද හැඳින්වේ. \(\sigma_{ij}\) සංරචකය වත්මන් වින්‍යාසයේ \(x_j\) ඛණ්ඩාංක අක්ෂයට ලම්බ අතිසුළු පෘෂ්ඨයක ඒකක වර්ගඵලයට ක්‍රියා කරන බලයේ \(x_i\) සංරචකය නිරූපණය කරයි.

පහත කෝණික ගම්‍යතා සංරක්ෂණ නීතියෙන් Cauchy ආතතිය සමමිතික ටෙන්සරයක් බව ලැබේ:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

ත්‍රිමාන අවකාශයේ එයට ස්වාධීන සංරචක 6 ක් (\(\sigma_{11}, \sigma_{22}, \sigma_{33}, \sigma_{12}, \sigma_{23}, \sigma_{31}\)) ඇත. Voigt සංකේතනයෙන් ආතතිය දෛශිකයක් බවට පත් කිරීම මෙම සමමිතිය උපකල්පනය කරයි (ටෙන්සර සංකේතනය සහ ගණිතමය මූලිකතා බලන්න). Cauchy ආතතිය FrontISTR හි Updated Lagrange ක්‍රමය භාවිත කරන ජ්‍යාමිතික රේඛීය නොවන විශ්ලේෂණයේ සහ සුළු-විරූපණ විශ්ලේෂණයේ ආතති ප්‍රතිදානය සඳහා භාවිත වේ.

පළමු සහ දෙවන Piola-Kirchhoff ආතති

සීමිත විරූපණයේදී ආතතිය යොමු වින්‍යාසයේ පෘෂ්ඨ හා දෛශිකවලට සාපේක්ෂව ප්‍රකාශ කිරීම බොහෝ විට පහසු බැවින් Piola-Kirchhoff ආතති ටෙන්සර වර්ග දෙකක් හඳුන්වා දෙයි. යොමු වින්‍යාසයේ අතිසුළු පෘෂ්ඨයක වර්ගඵලය \(d\Gamma_0\) සහ පිටතට යොමු වූ ඒකක ලම්බකය \(\boldsymbol{N}\) ලෙස ගනිමු.

පළමු Piola-Kirchhoff ආතතිය (පළමු PK ආතතිය, නාමික ආතතිය) \(\boldsymbol{P}\), වත්මන් වින්‍යාසයේ බලය \(d\boldsymbol{f}\) යොමු වින්‍යාසයේ අතිසුළු පෘෂ්ඨයක් මත ක්‍රියා කරන විට ඇති ආතති ටෙන්සරය ලෙස

\[ d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

නිර්වචනය කරයි. Nanson සූත්‍රය \(\boldsymbol{n}\, d\Gamma = J \boldsymbol{F}^{-T} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0\) සහ Cauchy ආතති ප්‍රමේයය භාවිතයෙන් Cauchy ආතතිය සමඟ ඇති සම්බන්ධය

\[ \boldsymbol{P} = J\, \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T \]

ලැබේ. පළමු PK ආතතිය සාමාන්‍යයෙන් අසමමිතික ටෙන්සරයකි.

දෙවන Piola-Kirchhoff ආතතිය (දෙවන PK ආතතිය) \(\boldsymbol{S}\), වත්මන් වින්‍යාසයේ බලය \(d\boldsymbol{f}\), \(\boldsymbol{F}^{-1}\) මඟින් යොමු වින්‍යාසයට ආපසු පරිවර්තනය කර යොමු වින්‍යාසයේ අතිසුළු පෘෂ්ඨයක් මත ක්‍රියා කරන විට ඇති ආතති ටෙන්සරය ලෙස

\[ \boldsymbol{F}^{-1}\, d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

නිර්වචනය කරයි. බල දෛශිකය සහ ක්‍රියාකාරී පෘෂ්ඨය යන දෙකම යොමු වින්‍යාසයේ රාශිවලින් ප්‍රකාශ වන අතර, එය දෘඪ-දේහ භ්‍රමණයට අපරිවර්තනීය සහ සමමිතික ටෙන්සරයකි. පළමු PK ආතතිය සමඟ ඇති සම්බන්ධය සහ Cauchy ආතතිය සමඟ ඇති පරිවර්තන සූත්‍ර

\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T, \qquad \boldsymbol{S} = J\, \boldsymbol{F}^{-1} \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T} \]

වේ. දෙවන PK ආතතිය අධිප්‍රත්‍යාස්ථ වික්‍රියා-ශක්ති ශ්‍රිතය \(W(\boldsymbol{C})\) වෙතින් \(\boldsymbol{S} = 2\,\partial W / \partial \boldsymbol{C}\) ලෙස ලැබෙන අතර, Total Lagrange ක්‍රමයේදී Green-Lagrange වික්‍රියාව \(\boldsymbol{E}\) සමඟ කාර්ය-සංයුග්ම යුගලය \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\) ලෙස භාවිත වේ.

යොමු වින්‍යාස සහ සමමිතිය පහත වගුවේ සාරාංශ කර ඇත. සුළු-විරූපණ සීමාවේ (\(\boldsymbol{F} \to \boldsymbol{I}\), \(J \to 1\)) ආතති වර්ග තුනම එකිනෙකට සමාන වේ.

ආතති ටෙන්සරය යොමු පෘෂ්ඨය බල දෛශිකය සමමිතිය භාවිතය
Cauchy ආතතිය \(\boldsymbol{\sigma}\) වත්මන් වින්‍යාසය \(d\Gamma, \boldsymbol{n}\) වත්මන් වින්‍යාසය \(d\boldsymbol{f}\) සමමිතික Updated Lagrange ක්‍රමය / සුළු-විරූපණ විශ්ලේෂණය
පළමු PK ආතතිය \(\boldsymbol{P}\) යොමු වින්‍යාසය \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\) වත්මන් වින්‍යාසය \(d\boldsymbol{f}\) සාමාන්‍යයෙන් අසමමිතික යොමු වින්‍යාසයේ සමතුලිතතා සමීකරණය
දෙවන PK ආතතිය \(\boldsymbol{S}\) යොමු වින්‍යාසය \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\) යොමු වින්‍යාසය \(\boldsymbol{F}^{-1} d\boldsymbol{f}\) සමමිතික Total Lagrange ක්‍රමය / අධිප්‍රත්‍යාස්ථතාව

ස්කන්ධ හා ගම්‍යතා සංරක්ෂණ නීති සහ සමතුලිතතා සමීකරණය

වත්මන් වින්‍යාසයේ ස්කන්ධ ඝනත්වය \(\rho\) සහ යොමු වින්‍යාසයේ ස්කන්ධ ඝනත්වය \(\rho_0\) ලෙස ගත් විට, ස්කන්ධ සංරක්ෂණ නීතිය \(\int_{\Omega} \rho\, dv = \int_{\Omega_0} \rho_0\, dV\) පරිමා මූලද්‍රව්‍ය පරිවර්තනය \(dv = J\, dV\) මඟින් දේශීය ආකාරය

\[ \rho_0 = J \rho \]

වෙත පත්වේ.

ඒකක ස්කන්ධයකට දේහ බලය \(\boldsymbol{g}\) සහ ත්වරණය \(\boldsymbol{a}\) ලෙස ගනිමු. ගම්‍යතා සංරක්ෂණ නීතියට (Eulerගේ පළමු චලන නීතිය) Cauchy ආතති ප්‍රමේයය සහ Gauss අපසරණ ප්‍රමේයය යෙදූ විට, වත්මන් වින්‍යාසයේ දේශීය සමතුලිතතා සමීකරණය (චලන සමීකරණය)

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \rho \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} + \rho g_i = \rho a_i \]

ලැබේ. Nanson සූත්‍රය සහ \(\boldsymbol{P} = J \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}\) භාවිතයෙන් යොමු වින්‍යාසයේ අනුකලනයකට නැවත ලියූ විට යොමු වින්‍යාසයේ දේශීය ආකාරය

\[ \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \rho_0 \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial P_{ij}}{\partial X_j} + \rho_0 g_i = \rho_0 a_i \]

ලැබේ. ආකාර දෙක ආතති පරිවර්තන නීතිය සහ \(\rho_0 = J\rho\) මඟින් සමාන වේ. ජඩත්ව පදය නොසලකා හැරිය විට

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0}, \qquad \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \]

ස්ථිතික සමතුලිතතා සමීකරණය ලැබෙන අතර, එය FrontISTR හි ස්ථිතික විශ්ලේෂණවල (රේඛීය සහ රේඛීය නොවන) ආරම්භක සමීකරණය වේ.

කෝණික ගම්‍යතා සංරක්ෂණ නීතිය සහ ආතති සමමිතිය

කෝණික ගම්‍යතා සංරක්ෂණ නීතිය (Eulerගේ දෙවන චලන නීතිය) ගම්‍යතා සංරක්ෂණයෙන් ලැබෙන සමතුලිතතා සමීකරණය සමඟ ඒකාබද්ධ කළ විට Cauchy ආතති ටෙන්සරයේ සමමිතිය

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

ලැබෙන අතර ත්‍රිමාන අවකාශයේ ස්වාධීන සංරචක 6 ක් ඇත. \(\boldsymbol{\sigma} = J^{-1} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T\) පරිවර්තනයේ දෙපස ට්‍රාන්ස්පෝස් කර \(\boldsymbol{F}\) හි අවිකලතාව භාවිත කළ විට දෙවන PK ආතතියද සමමිතික බව ලැබේ:

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{S}^T \]

එයටද ස්වාධීන සංරචක 6 ක් ඇත. අනෙක් අතට, පළමු PK ආතතිය \(\boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}\) සාමාන්‍යයෙන් සමමිතික නොවේ; \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T = \boldsymbol{F} \boldsymbol{P}^T\) (එනම් \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T\) සමමිතිකය) යන සම්බන්ධය පමණක් වලංගු වන අතර ස්වාධීන සංරචක සංඛ්‍යාව 9 කි.

මෙම සමමිතීන් Voigt සංකේතනයෙන් ආතතිය සංරචක 6 ක දෛශිකයක් ලෙස නිරූපණය කිරීමේ පදනම වේ. Voigt සංකේතන සම්මුතීන් සහ ද්‍රව්‍ය න්‍යාසයේ ගොඩනැගීම සඳහා ටෙන්සර සංකේතනය සහ ගණිතමය මූලිකතා සහ රේඛීය ප්‍රත්‍යාස්ථතාව බලන්න.

අදාළ අයිතම