අන්තර්ගතය වෙත යන්න

අතථ්‍ය කාර්ය මූලධර්මය

ආතතිය සහ සංරක්ෂණ නීති හි ව්‍යුත්පන්න කළ සමතුලිතතා සමීකරණය සහ මායිම් කොන්දේසි මත පදනම්ව සන්තති යාන්ත්‍ර විද්‍යාවේ මායිම්-අගය ගැටලුවේ දුර්වල ආකාරය වන අතථ්‍ය කාර්ය මූලධර්මය මෙහි ව්‍යුත්පන්න කරයි. සීමිත මූලද්‍රව්‍ය විවික්තීකරණය සඳහා ආරම්භක ලක්ෂ්‍යය මෙම දුර්වල ආකාරයයි. මෙම පරිච්ඡේදයේ වර්තමාන වින්‍යාසය (Cauchy ආතතිය සහ Almansi වික්‍රියාවේ රේඛීය කොටස) සහ යොමු වින්‍යාසය (දෙවන Piola-Kirchhoff ආතතිය සහ Green-Lagrange වික්‍රියාව) යන ආකාර දෙකම පෙන්වා, ඒවා සමාන බව පෙන්වීමෙන් පසු කුඩා විරූපණ සීමාව තහවුරු කරයි.

සමතුලිතතා සමීකරණය සහ මායිම් කොන්දේසි

ඒකක ස්කන්ධයකට සන්තතියට ක්‍රියා කරන දේහ බලය \(\boldsymbol{g}\) ලෙස ගෙන, වර්තමාන වින්‍යාසයේ \(\Omega\) කලාපය අත්පත් කරන දේහය සලකමු. මායිම \(\Gamma\) විස්ථාපනය \(\bar{\boldsymbol{u}}\) නියම කරන ජ්‍යාමිතික මායිම \(\Gamma_B\) සහ මතුපිට බලය \(\bar{\boldsymbol{t}}\) නියම කරන යාන්ත්‍රික මායිම \(\Gamma_t\) ලෙස බෙදෙයි; \(\Gamma = \Gamma_B \cup \Gamma_t\), \(\Gamma_B \cap \Gamma_t = \emptyset\). ස්ථිතික ගැටලුවේ ආතතිය සහ සංරක්ෂණ නීති හි ගම්‍යතා සංරක්ෂණ නීතියේ ජඩත්ව පදය ඉවත් කළ

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \quad \text{in} \ \Omega \]

සමතුලිතතා සමීකරණය ලෙස ගනිමු. මායිම් කොන්දේසි වන්නේ

\[ \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}} \quad \text{on} \ \Gamma_t \]
\[ \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \quad \text{on} \ \Gamma_B \]

ය. ඉදිරියේදී අතථ්‍ය කාර්ය මූලධර්මය සමතුලිතතා සමීකරණය සහ යාන්ත්‍රික මායිම් කොන්දේසිය \(\boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) හි දුර්වල ආකාරය ලෙස ව්‍යුත්පන්න කරයි. ජ්‍යාමිතික මායිම කොන්දේසිය \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) පරීක්ෂණ ශ්‍රිතය තේරීම මඟින් ඇතුළත් වේ.

වර්තමාන වින්‍යාසයේ දුර්වල ආකාරය

දුර්වල ආකාරයේ නොදන්නා විස්ථාපනය සඳහා අවසර ලත් අවකාශය සහ පරීක්ෂණ-ශ්‍රිත අවකාශය පිළිවෙළින්

\[ \mathcal{U} = \{ \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \ \text{on} \ \Gamma_B \} \]
\[ \mathcal{V} = \{ \delta \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \ \text{on} \ \Gamma_B \} \]

ලෙස ගනී. මෙහි \(d\) අවකාශීය මානයද \(H^1(\Omega)\) පළමු පෙළ දුර්වල අවකලන දක්වා වර්ග-සමාකලනය කළ හැකි වන Sobolev අවකාශයද \(\delta\) විචලන සංකේතයද වේ. වර්තමාන-වින්‍යාස නිරූපණයේ \(\Omega\) යනු විරූපිත වින්‍යාසයයි; ප්‍රායෝගික සංඛ්‍යාත්මක විසඳුමේ එය යොමු වින්‍යාසය හෝ දන්නා මධ්‍යස්ථ වින්‍යාසයකට ආපසු සිතියම් කර හසුරුවයි.

සමතුලිතතා සමීකරණයට බර \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) ගුණ කර Gauss අපසරණ ප්‍රමේයය සහ යාන්ත්‍රික මායිම් කොන්දේසිය යෙදූ විට වර්තමාන වින්‍යාසයේ අතථ්‍ය කාර්ය මූලධර්මය පහත පරිදි වේ.

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dv \]

මෙහි \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) යනු Almansi වික්‍රියා ටෙන්සරයේ රේඛීය කොටස වන අතර

\[ \boldsymbol{A}_{(L)} = \frac{1}{2}\left( \nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T \right), \qquad A_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

ලෙස නිර්වචනය කරයි. එහි විචලනය \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \delta \boldsymbol{u} + (\nabla_x \delta \boldsymbol{u})^T)\) වේ. එනම් \(\boldsymbol{u} \in \mathcal{U}\) සොයා, ඕනෑම \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) සඳහා අතථ්‍ය කාර්ය සමීකරණය සපුරන ලෙස ඉල්ලා සිටී. වම් පස අභ්‍යන්තර බලවල අතථ්‍ය කාර්යය ද දකුණු පස නියම කළ මතුපිට බලය සහ දේහ බලය මඟින් බාහිර බලවල අතථ්‍ය කාර්යය ද වේ.

මෙම සමීකරණය විරූපිත/වර්තමාන වින්‍යාසයේ ලියා ඇති නිසා, ප්‍රායෝගික විසඳුමේ ආරම්භක වින්‍යාසය \(\Omega_0\) (යොමු වින්‍යාසය) හෝ දන්නා මධ්‍යස්ථ වින්‍යාසය යොමු වින්‍යාසය ලෙස නැවත තෝරා වර්ධක ආකාරයකට පරිවර්තනය කර විසඳයි. යොමු වින්‍යාසය තෝරාගැනීම (Total Lagrange / Updated Lagrange) සහ වර්ධක විභජනය සඳහා වර්ධක විශ්ලේෂණ රාමුව බලන්න.

ආරම්භක වින්‍යාසයේ දුර්වල ආකාරය

යොමු වින්‍යාසයේ \(\Omega_0\) කලාපය අත්පත් කරන දේහයක් සලකා මායිම \(\Gamma_0\) \(\Gamma_{0B} \cup \Gamma_{0t}\) ලෙස බෙදමු. වර්තමාන-වින්‍යාස ආකාරය යොමු වින්‍යාසය වෙත ආපසු සිතියම් කළ විට ආතති-වික්‍රියා සංයුග්ම යුගලය දෙවන Piola-Kirchhoff ආතතිය \(\boldsymbol{S}\) සහ Green-Lagrange වික්‍රියාව \(\boldsymbol{E}\) වේ. එවිට ආරම්භක වින්‍යාසයේ අතථ්‍ය කාර්ය මූලධර්මය

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Gamma_{0t}} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma_0 + \int_{\Omega_0} \delta \boldsymbol{u}^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV \]

ලෙස ලියිය හැක. මෙහි \(\rho_0\) යොමු-වින්‍යාසයේ ස්කන්ධ ඝනත්වයයි; ස්කන්ධ සංරක්ෂණ නීතිය \(\rho_0 = J\rho\) නිසා වර්තමාන-වින්‍යාසය දේහ-බල නිරූපණයට සමාන වේ.

වර්තමාන සහ ආරම්භක වින්‍යාස නිරූපණවල සමානතාව

නිරූපණය දෙකේ අභ්‍යන්තර බලවල අතථ්‍ය කාර්යය විරූපණ ප්‍රවණතාව \(\boldsymbol{F}\) සහ පරිමා අනුපාතය \(J = \det \boldsymbol{F}\) හරහා පරිවර්තනයෙන් එකම වේ. එනම්,

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

ය. බාහිර බල පද ද ස්කන්ධ සංරක්ෂණය සහ මතුපිට-බල පරිවර්තනය නිසා සමාන වේ. එබැවින් වර්තමාන-වින්‍යාසය සහ ආරම්භක-වින්‍යාසය අතථ්‍ය කාර්ය සමීකරණ එකම මූලධර්මය වෙනස් වින්‍යාස වල නිරූපණය කරයි. යොමු වින්‍යාසය භාවිත කරන විසඳුම Total Lagrange ක්‍රමයටත් වර්තමාන වින්‍යාසය (පෙර අභිසාරී වින්‍යාසය) යොමු ලෙස භාවිත කරන විසඳුම Updated Lagrange ක්‍රමයටත් අනුරූප වේ.

කුඩා විරූපණ සීමාව

සුක්ෂම විරූපණ උපකල්පනය \(\boldsymbol{F} \approx \boldsymbol{I}\), \(J \approx 1\) යටතේ වර්තමාන සහ යොමු වින්‍යාස අතර වෙනස නැතිව දෙවන PK ආතතිය Cauchy ආතතිය වෙත (\(\boldsymbol{S} \to \boldsymbol{\sigma}\)) ගමන් කරයි; Green-Lagrange වික්‍රියාව සහ Almansi වික්‍රියාවේ රේඛීය කොටස දෙකම සුක්ෂම වික්‍රියාව \(\boldsymbol{\varepsilon}\) වෙත ගමන් කරයි.

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\left( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right), \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

එවිට අතථ්‍ය කාර්ය මූලධර්මය Cauchy ආතතිය \(\boldsymbol{\sigma}\) සහ සුක්ෂම වික්‍රියාව \(\boldsymbol{\varepsilon}\) භාවිත කරන දුර්වල ආකාරය

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]
\[ \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{on} \ \Gamma_B \]

වෙත සීමා වේ. මෙය සුක්ෂම විරූපණ රේඛීය ප්‍රත්‍යාස්ථ ස්ථිතික විශ්ලේෂණයේ විවික්තීකරණය සඳහා සෘජුව භාවිත කරන දුර්වල ආකාරයයි (රේඛීය ප්‍රත්‍යාස්ථ ස්ථිතික විශ්ලේෂණය (හැඳින්වීම/උපග්‍රන්ථය) මෙම ආකාරයෙන් මූලද්‍රව්‍ය දෘඪතාව \(\boldsymbol{K}^e\) සහ සමස්ත සමීකරණය \(\boldsymbol{K}\boldsymbol{U} = \boldsymbol{F}\) එකලස් කිරීම දක්වා පෙන්වයි).

රේඛීය ප්‍රත්‍යාස්ථ සංඝටක නීතිය \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\mathsf{C}} : \boldsymbol{\varepsilon}\) ආදේශ කර Voigt නිරූපණය හි \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) ලෙස ලියන විට දුර්වල ආකාරය

\[ \int_{\Omega} \delta \hat{\varepsilon}^T D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]

ආකාරය ගනී.

අදාළ අයිතම