අන්තර්ගතය වෙත යන්න

ටෙන්සර සංකේතනය සහ ගණිතමය මූලිකතා

මෙම පරිච්ඡේදය FrontISTR න්‍යාය අත්පොතේ පසු පරිච්ඡේදවල භාවිත වන ටෙන්සර සංකේතනය, සූචක සංකේතනය සහ Voigt සංකේතනය සඳහා වූ සම්මුතිය තැනක සංග්‍රහ කරයි. මෙහි සඳහන් වන්නේ භෞතික රාශිවල නිර්වචනවලින් ස්වාධීන ශුද්ධ සංකේතන නීති පමණි. අඛණ්ඩ මාධ්‍ය චලනයට අදාළ වින්‍යාසය (සමුද්දේශ/වත්මන් වින්‍යාසය) මත රඳා පවතින සංකේතන නීති—විශාල/කුඩා අකුරු භාවිතය සහ ද්‍රව්‍යමය/අවකාශීය අවකලන අතර වෙනස—වින්‍යාස සංකල්පය හඳුන්වා දෙන චලනය, විරූපණය සහ වික්‍රියාව තුළ දක්වා ඇත.

ටෙන්සර සංකේතනය

තද අකුරින් දෛශික සහ ටෙන්සර සංකේතනය

අකුරු හැඩය පිළිබඳ මූලධර්මය ලෙස, අදිශ රාශි සහ දෛශික/ටෙන්සරවල සංරචක සාමාන්‍ය අකුරින් (\(\rho\), \(x_i\) වැනි) ලියන අතර, දෛශික/ටෙන්සර රාශි තමන්ම තද අකුරින් (\(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{E}\), \(\boldsymbol{\sigma}\) වැනි) ලියයි.

Einstein එකතු කිරීමේ සම්මුතිය

වෙනත් ලෙස සඳහන් නොකළහොත්, එකම පදය තුළ එකම සූචකය දෙවරක් පෙනෙන විට එම සූචකය සම්බන්ධයෙන් එකතුව ගන්නා Einstein එකතු කිරීමේ සම්මුතිය භාවිත කරයි. උදාහරණයක් ලෙස

\[ a_i b_i = \sum_i a_i b_i, \quad A_{ij} B_{ij} = \sum_{i,j} A_{ij} B_{ij}, \quad \frac{\partial a_i}{\partial x_i} = \sum_i \frac{\partial a_i}{\partial x_i} \]

වේ. ටෙන්සර \(\boldsymbol{A}\) සහ \(\boldsymbol{B}\) හි ගුණිතය \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\) නම්, එහි \(i,j\) සංරචකය

\[ C_{ij} = A_{ik} B_{kj} \]

වේ. සූචක සම්මුතිය අනුව, වෙනත් ලෙස සඳහන් නොකළ විට \(i, j, k, l, \ldots\) නිදහස් අංශක සම්බන්ධ සූචක (ත්‍රිමාන අවස්ථාවක \(1, 2, 3\)) අදහස් කරන අතර, ග්‍රීක කුඩා අකුරු \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) සූචක ලෙස භාවිත කළ විට ඒවා මූලද්‍රව්‍යය සෑදෙන නෝඩ් සම්බන්ධ සූචක අදහස් කරයි.

අභ්‍යන්තර ගුණිතය, ට්‍රාන්ස්පෝස් සහ ටෙන්සර ගුණිතය

ටෙන්සර \(\boldsymbol{A}\) හි ට්‍රාන්ස්පෝසය \(\boldsymbol{A}^T\) ලෙස ලියයි. දෙවන අනුපිළිවෙළ ටෙන්සර \(\boldsymbol{A}\) සහ \(\boldsymbol{B}\) හි අභ්‍යන්තර ගුණිතය (ද්විත්ව සංකුචනය)

\[ \boldsymbol{A} : \boldsymbol{B} \equiv A_{ij} B_{ij} \]

ලෙස ලියයි. දෛශික \(\boldsymbol{a}\) සහ \(\boldsymbol{b}\) හි අභ්‍යන්තර ගුණිතය \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a_i b_i\) වන අතර, ටෙන්සර ගුණිතය \((\boldsymbol{a} \otimes \boldsymbol{b})_{ij} = a_i b_j\) වේ.

Voigt සංකේතනය

ආතතිය සහ වික්‍රියාව නිදහස් අංශක සම්බන්ධ සමමිතික දෙවන අනුපිළිවෙළ ටෙන්සර වන අතර, ඒවා අතර රේඛීය සම්බන්ධතාව නිරූපණය කරන සංගුණකය සිව්වන අනුපිළිවෙළ ටෙන්සරයකි. එය සෘජුව වැඩසටහනක හසුරුවීම ගණනය සහ කේතනය (බහුමාන අරාවන් සහ ගැඹුරු අන්තර්නිහිත ලූප) අතින් අවාසිදායක බැවින්, සාමාන්‍ය සීමිත මූලද්‍රව්‍ය වැඩසටහන්වල සමමිතිය භාවිත කර ආතතිය සහ වික්‍රියාව තීරු දෛශික ලෙසත් සිව්වන අනුපිළිවෙළ ප්‍රත්‍යාස්ථතා ටෙන්සරය ද්විමාන න්‍යාසයක් ලෙසත් සම්පීඩනය කරයි. මෙය Voigt සංකේතනය ලෙස හැඳින්වේ.

මෙතැන් සිට ටෙන්සර රාශිය \(\boldsymbol{A}\) හි න්‍යාස/දෛශික නිරූපණය \(\hat{A}\) ලෙස ලියා මුල් ටෙන්සරයෙන් වෙන් කරයි.

ආතති හා වික්‍රියා දෛශික සංකේතනය

සමමිතික ආතති ටෙන්සරය \(\boldsymbol{\sigma}\) සහ වික්‍රියා ටෙන්සරය \(\boldsymbol{\varepsilon}\) සඳහා, ද්විමාන අවස්ථාවක

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ 2 \varepsilon_{12} \end{bmatrix} \]

ත්‍රිමාන අවස්ථාවක

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{12} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2 \varepsilon_{12} \\ 2 \varepsilon_{23} \\ 2 \varepsilon_{31} \end{bmatrix} \]

ලෙස තීරු දෛශික ලෙස හසුරුවයි. විචලන හා අවකලිත වැනි ව්‍යුත්පන්න රාශි සඳහාද එම නීතිය යොදයි. වික්‍රියා පැත්තේ ශියර් සංරචකවලට 2 ගුණකයක් ඇත (ආතති පැත්තේ නැත) යන්න වැදගත්ය. මෙම අසමමිතිය නිසා ටෙන්සර අභ්‍යන්තර ගුණිතය දෛශික අභ්‍යන්තර ගුණිතයක් ලෙස

\[ \boldsymbol{\sigma} : \delta\boldsymbol{\varepsilon} = \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \sum_{i=j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} + 2\sum_{i<j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \hat{\sigma}^T\,\delta\hat{\varepsilon} \]

පහසුවෙන් ලියිය හැක. ක්‍රියාත්මක කිරීමේදී ශියර් වික්‍රියා සංරචකයේ 2 ගුණකය වැරදිව හසුරුවීම පහසු බැවින්, සෑමවිටම “ආතතියට නැත / වික්‍රියාවට ඇත” යන සම්මුතිය මතක තබාගත යුතුය. සමුද්දේශ වින්‍යාසයේ රාශි වන දෙවන Piola-Kirchhoff ආතතිය \(\boldsymbol{S}\) සහ Green-Lagrange වික්‍රියාව \(\boldsymbol{E}\) සඳහාද එකම Voigt සම්මුතිය යොදයි.

සිව්වන අනුපිළිවෙළ ටෙන්සරයේ න්‍යාස සංකේතනය

ආතතිය සහ වික්‍රියාව අතර රේඛීය සම්බන්ධතාව \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon}\) (සංරචක ආකාරයෙන් \(\sigma_{ij} = C_{ijkl} \varepsilon_{kl}\)) සඳහා, \(\boldsymbol{\varepsilon}\) හි සමමිතිය භාවිත කර

\[ \sigma_{ij} = \tilde{C}_{ijkl} \varepsilon_{kl}, \qquad \tilde{C}_{ijkl} = \frac{1}{2}\bigl( C_{ijkl} + C_{ijlk} \bigr) \]

ලෙස නැවත ලියිය හැක. ත්‍රිමාන අවස්ථාවක \(\tilde{C}\), 6×6 ද්‍රව්‍ය න්‍යාසය \(\hat{\tilde{C}}\) ලෙස පෙළගැස්වූ විට මුල් ටෙන්සර සම්බන්ධතාව

\[ \hat{\sigma} = \hat{\tilde{C}}\, \hat{\varepsilon} \]

ලෙස දැක්විය හැක. මෙතැන් සිට මෙම අත්පොතේ වෙනත් ලෙස සඳහන් නොකළහොත් ද්‍රව්‍ය න්‍යාසය \(D\) (හෝ \(\hat{C}\)) ලෙස ලියයි. සමදිශ රේඛීය ප්‍රත්‍යාස්ථතාව සඳහා නිශ්චිත සංරචක රේඛීය ප්‍රත්‍යාස්ථතාව බලන්න.

අවකල ක්‍රියාකාරක සම්මුති

සමමිතික අනුක්‍රමණ ක්‍රියාකාරකය

දෛශික ක්ෂේත්‍රය \(\boldsymbol{u}\) සඳහා සමමිතික අනුක්‍රමණ ක්‍රියාකාරකය \(\nabla_S\) පහත පරිදි අර්ථ දක්වයි.

\[ \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\bigl( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \bigr) \]

සංරචක ආකාරයෙන් \((\nabla_S \boldsymbol{u})_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i / \partial x_j + \partial u_j / \partial x_i)\) වේ. කුඩා විරූපණයේ වික්‍රියාව \(\boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u}\) මෙම ක්‍රියාකාරකයෙන් සංක්ෂිප්තව ලියිය හැක. සීමිත විරූපණයේදී අනුක්‍රමණය ගන්නා වින්‍යාසය (සමුද්දේශ/වත්මන්) තෝරාගැනීම චලනය, විරූපණය සහ වික්‍රියාව හි සලකා බලයි.

ද්‍රව්‍යමය කාල අවකලනය

රාශිය \(A\) හි ද්‍රව්‍යමය කාල අවකලනය—එකම ද්‍රව්‍ය ලක්ෂ්‍යය අනුගමනය කර කාලයට ගන්නා අවකලනය—උඩු තිතකින් \(\dot{A}\) ලෙස ලියයි:

\[ \dot{A} \equiv \frac{D A}{D t}. \]

වේගය සහ ත්වරණය මෙම සම්මුතිය අනුගමනය කරයි.

අදාළ අයිතම