අන්තර්ගතය වෙත යන්න

Newton-Raphson ක්‍රමය

රේඛීයකරණය සහ පුනරාවර්තන සමීකරණය

බාහිර බල අතථ්‍ය කාර්යය සහ ගෝලීය සමීකරණය එකලස් කිරීම හි ලැබුණු, කාලය \(t_{n+1}\) හි නෝඩීය විස්ථාපනය \(\boldsymbol{u}_{n+1}\) සම්බන්ධ රේඛීය නොවන සමීකරණය Newton-Raphson ක්‍රමයෙන් විසඳයි. කාලය \(t_n\) දක්වා නෝඩීය විස්ථාපනය \(\boldsymbol{u}_n\) දන්නා බව ගෙන විස්ථාපනය වර්ධකය \(\Delta\boldsymbol{u}\) නොදන්නා විචල්‍යය ලෙස

\[ \boldsymbol{u}_{n+1} = \boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u} \]

සොයයි. ඉදිරියේ බාහිර බල දෛශිකය නෝඩීය විස්ථාපනය මත රඳා පවතින බව නොසලකා \(\boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = \boldsymbol{F}_{n+1}\) ලෙස

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}) - \boldsymbol{F}_{n+1} = \boldsymbol{0} \]

විසඳයි.

වත්මන් විසඳුම \(\Delta\boldsymbol{u}\) හි ස්පර්ශක දෘඪතාව

\[ \boldsymbol{K} = \left. \frac{\partial \boldsymbol{Q}}{\partial \boldsymbol{u}} \right|_{\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}} \]

භාවිත කර රේඛීය නොවන සමීකරණය රේඛීයකරණය කළ විට

\[ \boldsymbol{K}\, d\boldsymbol{u} + \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}) - \boldsymbol{F}_{n+1} = \boldsymbol{0} \]

ලැබේ. \(i\) වන පුනරාවර්තනයේ නිවැරදි කිරීම \(d\boldsymbol{u}_i\) සහ පුනරාවර්තනය ආරම්භයේ ශේෂ දෛශිකය

\[ \boldsymbol{R}_{i-1} = \boldsymbol{F}_{n+1} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}) \]

ලෙස ලියන විට පුනරාවර්තන සම්බන්ධය

\[ \boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}, \qquad \Delta\boldsymbol{u} \leftarrow \Delta\boldsymbol{u} + d\boldsymbol{u}_i \]

ආකාරය ගනී. ශේෂය \(\boldsymbol{R}_i\) යනු සමතුලිත තත්ත්වයෙන් ඇති බල අසමතුලිතතාව ප්‍රමාණයකි.

ස්පර්ශක දෘඪතා න්‍යාසය නිර්මාණය

ස්පර්ශක දෘඪතාව \(\boldsymbol{K} = \partial\boldsymbol{Q}/\partial\boldsymbol{u}\) යනු අභ්‍යන්තර බල–අතථ්‍ය කාර්ය විවික්තීකරණය හි ලැබුණු මූලද්‍රව්‍යය අභ්‍යන්තර බල දෛශිකය නෝඩීය විස්ථාපනය අනුව අවකලනය කර, එක් එක් මූලද්‍රව්‍යයේ අනුකලන පදය මූලද්‍රව්‍ය වසම මත අනුකලනය කර එකතු කිරීමෙන් සාදයි. මූලද්‍රව්‍ය මට්ටමේ අනුකලන පදය \(\boldsymbol{K}^e_X\) (යොමු-වින්‍යාසය සංකේතනය, TL ක්‍රමය) හෝ \(\boldsymbol{K}^e_x\) (වත්මන්-වින්‍යාසය සංකේතනය, UL ක්‍රමය) ලෙස ලියන විට මූලද්‍රව්‍ය ස්පර්ශක දෘඪතාව

\[ \boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV \quad (\text{TL}), \qquad \boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv \quad (\text{UL}) \]

මඟින් ලැබේ. පහත TL/UL අනුකලන පදවල අවසාන ආකෘති දක්වයි. දෙකම ද්‍රව්‍ය-දෘඪතා පදය (ආරම්භක-විස්ථාපන පදය) සහ ජ්‍යාමිතික-දෘඪතාව පදය (ආරම්භක-ආතතිය පදය) එකතුවකට බෙදේ.

Total Lagrange ක්‍රමය

Total Lagrange ක්‍රමයේ දෙවන Piola-Kirchhoff ආතතිය අනුපාතය \(\dot{\boldsymbol{S}}\) සහ Green-Lagrange වික්‍රියාව අනුපාතය \(\dot{\boldsymbol{E}}\) අතර රේඛීය සම්බන්ධතාව \(\dot{\boldsymbol{S}} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\dot{\boldsymbol{E}}\) යැයි උපකල්පනය කරයි. මෙය රේඛීය ප්‍රත්‍යාස්ථ දේහය (St.Venant-Kirchhoff දේහය) සහ අධිප්‍රත්‍යාස්ථ දේහවල සංයුති නියම ට අනුරූප වන අතර FrontISTR හි Total Lagrange ක්‍රමය මෙම ද්‍රව්‍ය සඳහා භාවිත කරයි. එවිට මූලද්‍රව්‍යය ස්පර්ශක දෘඪතාව අනුකලන පදය ටෙන්සර ආකෘතියෙන්

\[ \delta\boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{K}^e_X\, \dot{\boldsymbol{u}}^e = \dot{\boldsymbol{S}}:\delta\boldsymbol{E} + \boldsymbol{S}:(\delta\boldsymbol{F}^T \dot{\boldsymbol{F}}) \]

ලෙස ලියයි. දකුණු පස පළමු පදය ද්‍රව්‍ය-දෘඪතා පදය (ආරම්භක-විස්ථාපන පදය) සහ දෙවන පදය ජ්‍යාමිතික-දෘඪතාව පදය (ආරම්භක-ආතතිය පදය) වේ.

FrontISTR ක්‍රියාත්මක කිරීමේ මෙම අනුකලන පදය Voigt සංකේතනය භාවිත කරන න්‍යාස ආකෘතියෙන්

\[ \boldsymbol{K}^e_X = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \tilde{\boldsymbol{C}}\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}) + \boldsymbol{F}_9^T\, \boldsymbol{S}_9\, \boldsymbol{F}_9 \]

ගණනය කරයි. එක් එක් න්‍යාසය පහත පරිදි වේ. \(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}\) යනු අභ්‍යන්තර බල–අතථ්‍ය කාර්ය විවික්තීකරණය හි හඳුන්වාදුන් B න්‍යාස ය; \(\tilde{\boldsymbol{C}}\) යනු සංයුති නියමය \(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) හි Voigt සංකේතනය \(6\times 6\) ද්‍රව්‍ය-දෘඪතා න්‍යාසය (ටෙන්සරය සංකේතනය සහ ගණිතමය මූලිකතා) වේ. \(\boldsymbol{S}_9, \boldsymbol{F}_9\) යනු ජ්‍යාමිතික-දෘඪතාව පදය න්‍යාසය ගුණිතයක් ලෙස නිරූපණයට භාවිත කරන නැවත-අනුපිළිවෙළ කිරීමේ න්‍යාස වේ. පළමුව \(3\times 3\) දෙවන-අනුපිළිවෙළ ටෙන්සරය \(\boldsymbol{A}\) 9-සංරචකය දෛශිකයකට යළි සකසන සංකේතනය \([\,\cdot\,]\)

\[ [\boldsymbol{A}] = (A_{11}, A_{21}, A_{31}, A_{12}, A_{22}, A_{32}, A_{13}, A_{23}, A_{33})^T \]

ලෙස නිර්වචනය කළ විට, \(\boldsymbol{F}_9\) යනු විරූපණ-අනුක්‍රමණ විචලනය \([\delta\boldsymbol{F}] = \boldsymbol{F}_9\, \delta\boldsymbol{u}^e\) ලෙස නිරූපණය කරන \(9\times d n_e\) න්‍යාසයකි. මූලද්‍රව්‍යය නෝඩය \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) සඳහා \(9\times d\) ඛණ්ඩය

\[ [\boldsymbol{F}_9]_\alpha = \begin{bmatrix} (\partial N_\alpha^e/\partial X_1)\, \boldsymbol{I} \\ (\partial N_\alpha^e/\partial X_2)\, \boldsymbol{I} \\ (\partial N_\alpha^e/\partial X_3)\, \boldsymbol{I} \end{bmatrix} \qquad (\boldsymbol{I} \text{ යනු } 3\times 3 \text{ ඒකක න්‍යාසයයි}) \]

මූලද්‍රව්‍යය නෝඩය අනුපිළිවෙළ අනුව තිරස්ව සකසන \(\boldsymbol{F}_9 = [[\boldsymbol{F}_9]_1, \ldots, [\boldsymbol{F}_9]_{n_e}]\) ලෙස ලැබේ. \(\boldsymbol{S}_9\) මෙය සමඟ එක්ව ජ්‍යාමිතික-දෘඪතාව පදය \(\delta\boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{F}_9^T \boldsymbol{S}_9 \boldsymbol{F}_9\, \dot{\boldsymbol{u}}^e\) ලෙස නිරූපණය වන සේ තෝරාගත් \(9\times 9\) න්‍යාසය

\[ \boldsymbol{S}_9 = \begin{bmatrix} S_{11} \boldsymbol{I} & S_{12} \boldsymbol{I} & S_{13} \boldsymbol{I} \\ S_{21} \boldsymbol{I} & S_{22} \boldsymbol{I} & S_{23} \boldsymbol{I} \\ S_{31} \boldsymbol{I} & S_{32} \boldsymbol{I} & S_{33} \boldsymbol{I} \end{bmatrix} \]

වේ.

Updated Lagrange ක්‍රමය

Updated Lagrange ක්‍රමයේ සාපේක්ෂ Kirchhoff ආතතිය ටෙන්සරයේ Jaumann අනුපාතය \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) සහ විරූපණ අනුපාත ටෙන්සරය \(\boldsymbol{D}\) අතර රේඛීය සම්බන්ධතාව \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{D}\) යැයි උපකල්පනය කරයි. මෙය රේඛීය-ප්‍රත්‍යාස්ථ, ප්‍රත්‍යාස්ථ-ප්ලාස්ටික් සහ ක්‍රීප් ද්‍රව්‍ය සඳහා පොදු හයිපොප්‍රත්‍යාස්ථ සංයුති නියමය ආකෘතියකි; FrontISTR හි Updated Lagrange ක්‍රමය මෙම ද්‍රව්‍ය සඳහා භාවිත කරයි. එවිට වත්මන් වින්‍යාසය අනුව ලියන මූලද්‍රව්‍යය ස්පර්ශක-දෘඪතාව අනුකලන පදය ටෙන්සර ආකෘතියෙන්

\[ \delta\boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{K}^e_x\, \dot{\boldsymbol{u}}^e = \boldsymbol{\sigma}^{\nabla T}:\delta\boldsymbol{A}_{(L)} + \boldsymbol{\sigma}:(\delta\boldsymbol{F}_t^T\, \boldsymbol{L}) \]

ලෙස ලියයි (\(\boldsymbol{\sigma}^{\nabla T}\) Truesdell අනුපාතය, \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) Almansi වික්‍රියාවේ රේඛීය කොටස, \(\boldsymbol{F}_t = \partial\boldsymbol{u}/\partial\boldsymbol{x}\) වත්මන් වින්‍යාසය සම්බන්ධ විස්ථාපනය අනුක්‍රමණය, සහ \(\boldsymbol{L}\) වේග-අනුක්‍රමණ ටෙන්සරය වේ). දකුණු පස පළමු පදය ද්‍රව්‍ය-දෘඪතා පදය සහ දෙවන පදය ජ්‍යාමිතික-දෘඪතාව පදය වේ.

FrontISTR ක්‍රියාත්මක කිරීමේ මෙම අනුකලන පදය Voigt සංකේතනය භාවිත කරන න්‍යාස ආකෘතියෙන්

\[ \boldsymbol{K}^e_x = \boldsymbol{b}^T\, (\tilde{\boldsymbol{C}} - \boldsymbol{G})\, \boldsymbol{b} + \boldsymbol{f}_9^T\, \boldsymbol{\sigma}_9\, \boldsymbol{f}_9 \]

ගණනය කරයි. \(\boldsymbol{b}\) යනු වත්මන් වින්‍යාසයෙන් සාදන B න්‍යාසය (අභ්‍යන්තර බල–අතථ්‍ය කාර්ය විවික්තීකරණය) වේ. \(\boldsymbol{\sigma}_9, \boldsymbol{f}_9\) යනු TL ක්‍රමයේ \(\boldsymbol{S}_9, \boldsymbol{F}_9\) නිර්වචනයේ දෙවන PK ආතතිය \(\boldsymbol{S}\) වෙනුවට Cauchy ආතතිය \(\boldsymbol{\sigma}\) සහ යොමු වින්‍යාසයේ අනුක්‍රමණය \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) වෙනුවට වර්තමාන වින්‍යාසයේ අනුක්‍රමණය \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) ආදේශ කළ ඒවාය.

\(\boldsymbol{G}\) යනු හයිපොප්‍රත්‍යාස්ථ සංයුති නියමය \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{D}\) Truesdell-අනුපාතය මත පදනම් වූ සංයුති නියමයක් ලෙස ස්පර්ශක-දෘඪතාව රාමුවට ගැලපීමට අවශ්‍ය Cauchy-ආතතිය මත රඳා පවතින නිවැරදි කිරීම න්‍යාසයයි. සිව්වන-අනුපිළිවෙළ ටෙන්සරය සංරචක \(G_{ijkl} = \delta_{il}\sigma_{kj} + \delta_{jl}\sigma_{ik}\) \(6\times 6\) Voigt සංකේතනයකට සකසා

\[ \boldsymbol{G} = \begin{bmatrix} 2\sigma_{11} & 0 & 0 & \sigma_{12} & 0 & \sigma_{31} \\ 0 & 2\sigma_{22} & 0 & \sigma_{12} & \sigma_{23} & 0 \\ 0 & 0 & 2\sigma_{33} & 0 & \sigma_{23} & \sigma_{31} \\ \sigma_{12} & \sigma_{12} & 0 & \tfrac{\sigma_{11}+\sigma_{22}}{2} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} & \tfrac{\sigma_{23}}{2} \\ 0 & \sigma_{23} & \sigma_{23} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} & \tfrac{\sigma_{22}+\sigma_{33}}{2} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} \\ \sigma_{31} & 0 & \sigma_{31} & \tfrac{\sigma_{23}}{2} & \tfrac{\sigma_{12}}{2} & \tfrac{\sigma_{33}+\sigma_{11}}{2} \end{bmatrix} \]

වේ.

ගෝලීය දෘඪතා න්‍යාසය එකලස් කිරීම

ගෝලීය ස්පර්ශක දෘඪතාව \(\boldsymbol{K}\) සාදන්නේ මූලද්‍රව්‍ය දෘඪතාව \(\boldsymbol{K}^e\) නෝඩ් අනුව \(d\times d\) ඛණ්ඩ \(\boldsymbol{K}^e_{\alpha\beta}\) ලෙස බෙදා, මූලද්‍රව්‍යය නෝඩීය රාශි එකලස් කිරීම හි හඳුන්වාදුන් දෙවන-අනුපිළිවෙළ-ටෙන්සරය එකලස් කුලකය \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) භාවිත කර

\[ \boldsymbol{K}_{i_gi_h} = \sum_{(e,\alpha,\beta) \in \mathcal{E}^2(i_g, i_h)} \boldsymbol{K}^e_{\alpha\beta} \]

යන ඛණ්ඩ \(i_g\) වන පේළිය සහ \(i_h\) වන තීරුවේ සකස් කිරීමෙනි. ක්‍රියාත්මක කිරීමේ කුලකය \(\mathcal{E}^2\) ප්‍රකාශිත ලෙස නොසාදා මූලද්‍රව්‍යය ලූපය තුළ අදාළ ඛණ්ඩයට සෘජුව එකතු කරයි. න්‍යාසයේ අනුපිළිවෙළ එක් නෝඩයකට DOF \(\times\) ගෝලීය නෝඩය ගණන \(n_g\) වන නමුත් මූලද්‍රව්‍ය මඟින් සම්බන්ධ නොවන නෝඩ් අතර සංරචක \(0\) බැවින් විරල-න්‍යාස ආකෘතියෙන් තබයි.

TL සහ UL මූලද්‍රව්‍ය දෘඪතාව ආකෘති, යොමු-වින්‍යාසය මාරු කිරීම (නෝඩීය ඛණ්ඩාංක සහ B-න්‍යාසය නිර්මාණ මූලාශ්‍රය) සහ \(\boldsymbol{G}\) න්‍යාසය තිබීම/නොතිබීම හැර එකම ආකාරය බැවින් FrontISTR දෙකම පොදු උපක්‍රියාකාරකයකින් ක්‍රියාත්මක කරයි.

පුනරාවර්තන ඇල්ගොරිතමය

ඉහත සියල්ල එකතු කළ විට පුනරාවර්තනය ආරම්භයේ \(\Delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) ලෙස තබා ආරම්භක ශේෂය \(\boldsymbol{R}_0 = \boldsymbol{F}_{n+1} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n)\) සොයා, \(i\) වන පුනරාවර්තනයේ පහත පියවර ක්‍රියාත්මක කරයි.

  1. වත්මන් විස්ථාපනය \(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}\) හි ස්පර්ශක දෘඪතාව \(\boldsymbol{K}_i = \partial\boldsymbol{Q}/\partial\boldsymbol{u}|_{\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}}\) ස්පර්ශක දෘඪතා න්‍යාසය නිර්මාණය ක්‍රියාවලියෙන් ගණනය කරයි.
  2. ජ්‍යාමිතික මායිම් කොන්දේසි ඇතුළත් කිරීමට විස්ථාපනය-සීමාකළ DOF සඳහා ස්පර්ශක-දෘඪතා න්‍යාසය සහ ශේෂ දෛශිකය වෙනස් කර \(\tilde{\boldsymbol{K}}_i, \tilde{\boldsymbol{R}}_{i-1}\) ලබා ගනී (ජ්‍යාමිතික මායිම් කොන්දේසිය සැකසීම).
  3. රේඛීය සමීකරණය \(\tilde{\boldsymbol{K}}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \tilde{\boldsymbol{R}}_{i-1}\) විසඳා නිවැරදි කිරීම \(d\boldsymbol{u}_i\) සොයයි. මෙම පියවර පුනරාවර්තන ගණනයේ ගණනමය භාරයේ විශාලතම කොටස ගන්නා අවස්ථා බහුලය.
  4. විස්ථාපනය වර්ධකය \(\Delta\boldsymbol{u} \leftarrow \Delta\boldsymbol{u} + d\boldsymbol{u}_i\) ලෙස යාවත්කාලීන කර, එයට අනුව අභ්‍යන්තර බල දෛශිකය \(\boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\) සහ ශේෂය \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F}_{n+1} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\) ගණනය කරයි.
  5. අභිසරණ පරීක්ෂාව කර සපුරා ඇත්නම් පුනරාවර්තනය අවසන් කරයි. ශේෂය \(\boldsymbol{R}_i\) තුළ ජ්‍යාමිතික මායිම් කොන්දේසි පනවා ඇති DOF වල සීමාකිරීම ප්‍රතික්‍රියා ට අනුරූප සංරචක ඇති බැවින් ඒවා ඉවත් කළ \(\tilde{\boldsymbol{R}}_i\) වලින් අභිසරණය මිනුම ගොඩනගයි. නිශ්චිත මිනුම් සහ සීමා අගයන් අභිසරණ නිර්ණායක හි විස්තර කරයි. අභිසරණය නොවී පුනරාවර්තනය සීමාවට ළඟා වුවහොත් පුනරාවර්තනය අසාර්ථකත්වය ලෙස සලකයි.

පුනරාවර්තනය අභිසරණය ලැබූ අවස්ථාවේ \(\Delta\boldsymbol{u}\) \(\boldsymbol{u}_n\) ට එකතු කර කාලය \(t_{n+1}\) හි සමුච්චිත විස්ථාපනය \(\boldsymbol{u}_{n+1} = \boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u}\) ලෙස ගෙන ඊළඟ කාල පියවරට යයි.

අදාළ අයිතම