අන්තර්ගතය වෙත යන්න

Translation update pending

The Sinhala translation may be out of date because the Japanese source has changed. The existing translation remains available while it is being updated.

ගතික විශ්ලේෂණ ක්‍රම

මෙම කොටස සෘජු කාලය අනුකලනය යොදා ගතික ගැටලු විශ්ලේෂණය කරන ක්‍රම විස්තර කරයි. පහත අනුක්ත ක්‍රමය සහ ප්‍රකාශිත ක්‍රමය සඳහා සූත්‍රගත කිරීම් දක්වා ඇත.

චලන සමීකරණයේ විවික්තීකරණය (පොදු රාමුව)

TBD (ඊළඟ අදියරේදී සම්පූර්ණ කරනු ඇත).

අනුක්ත ක්‍රමය (Newmark-β ක්‍රමය)

ගතික ගැටලු සඳහා, පහත දැක්වෙන චලන සමීකරණය විසඳීමට සෘජු කාලය අනුකලනය යොදා ඇත.

\[\begin{equation} M( t + \Delta t ) \ddot{U} (t + \Delta t) + C( t + \Delta t ) \dot{U}(t + \Delta t) + Q( t + \Delta t ) = F( t + \Delta t ) \label{eq:2.5.1} \end{equation}\]

මෙහි \(M\) ස්කන්ධ න්‍යාසය, \(C\) අවමන්දන න්‍යාසය, \(Q\) අභ්‍යන්තර බල දෛශිකය සහ \(F\) බාහිර බල දෛශිකය වේ. රේඛීය නොවන විශ්ලේෂණයකදීත් ස්කන්ධ න්‍යාසය විරූපණයෙන් ස්වාධීනව ස්ථිර ලෙස සලකයි.

කාල වර්ධකය \(\Delta t\) තුළ විස්ථාපනය, වේගය සහ ත්වරණයේ වෙනස්කම් Newmark-\(\beta\) ක්‍රමය භාවිත කර \(\eqref{eq:2.5.2}\) සහ \(\eqref{eq:2.5.3}\) සමීකරණවල පරිදි සන්නිකටනය කරයි.

\[\begin{equation} \dot{U}(t + \Delta t) = \frac{\gamma}{\beta \Delta t} \Delta U( t + \Delta t ) - \frac{\gamma - \beta}{\beta} \dot{U}( t ) - \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2\beta} \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}(t + \Delta t) = \frac{1}{\beta \Delta t^2}\Delta U(t + \Delta t) - \frac{1}{\beta \Delta t} \dot{U}(t) - \frac{1 - 2\beta}{2\beta} \ddot {U}(t) \label{eq:2.5.3} \end{equation}\]

මෙහි \(\gamma\) සහ \(\beta\) Newmark-\(\beta\) ක්‍රමයේ පරාමිති වේ.

ප්‍රසිද්ධ පරිදි, \(\gamma\) සහ \(\beta\) පහත අගයන් ගත් විට රේඛීය ත්වරණ ක්‍රමය හෝ ත්‍රපීසීය නියමයට සමාන වේ.

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{6}\) (රේඛීය ත්වරණ ක්‍රමය)

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{4}\) (ත්‍රපීසීය නියමය)

\(\eqref{eq:2.5.2}\) සහ \(\eqref{eq:2.5.3}\) සමීකරණ \(\eqref{eq:2.5.1}\) වෙත ආදේශ කළ විට පහත සමීකරණය ලැබේ.

\[\begin{align} \nonumber \left( \frac{1}{\beta \Delta t^2} \mathbf{M} + \frac{\gamma}{\beta \Delta t} C + K \right) \Delta U ( t + \Delta t ) &= F ( t + \Delta t ) - Q ( t + \Delta t ) \\ \nonumber &+ \frac{1}{\beta \Delta t} M \dot{U} ( t ) + \frac{1 - 2\beta}{2\beta} M \ddot{U} ( t ) \\ &+ \frac{\gamma - \beta}{\beta} C \dot{U} (t) + \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2 \beta} C \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.4} \end{align}\]

විශේෂයෙන් රේඛීය ගැටලුවකදී \(K_L\) රේඛීය දෘඪතා න්‍යාසය ලෙස ගෙන, \(Q ( t + \Delta t ) = K_L U (t + \Delta t)\) වේ. එය ඉහත සමීකරණයට ආදේශ කළ විට පහත සමීකරණය ලැබේ.

\[\begin{align} \nonumber M \left\lbrace -\frac{1}{\beta \Delta t^2} U(t) -\frac{1}{\beta \Delta t}\dot U(t) - \frac{2\beta}{1-2\beta} \ddot U(t) \right\rbrace &+ C\left\lbrace - \frac{\gamma}{\beta \Delta t} U(t) + \left(1 - \frac{\gamma}{\beta}\right) \dot U(t) + \Delta{t}\frac{ 2\beta-\gamma}{2\beta}\ddot U(t)\right\rbrace \\ & + \frac{1}{\beta \Delta{t}^2} M + \frac{\gamma}{\beta \Delta{t}} C + K_L U(t+\Delta{t}) = F(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.5} \end{align}\]

තවද, ජ්‍යාමිතික මායිම් කොන්දේසියක් ලෙස ත්වරණය නියම කර ඇති ස්ථානයකදී, \(\eqref{eq:2.5.2}\) සමීකරණයෙන් පහත විස්ථාපනය ලැබේ.

\[\begin{equation} u_{is} (t+\Delta{t}) = u_{is} (t) + \Delta t \dot{u}(t) + \Delta t^2 \left(\frac{1}{2} -\beta \right) {\ddot{u}}_{is} (t + \Delta t) \label{eq:2.5.6} \end{equation}\]

එසේම, වේගය නියම කර ඇති ස්ථානයකදී, \(\eqref{eq:2.5.6}\) සමීකරණයෙන් පහත විස්ථාපනය ලැබේ.

\[\begin{equation} u_{is}(t+\Delta{t})= u_{is}(t)+\Delta t \frac{ \gamma - \beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t) +(\Delta{t})^2 \frac{ \gamma - 2\beta}{ 2\gamma} \ddot{u_{is}}(t) +\Delta t \frac{\beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.7} \end{equation}\]

මෙහි \(u_{is}(t+\Delta{t})\) යනු කාලය \(t+\Delta{t}\) හි නෝඩ් විස්ථාපනය, \(\dot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) යනු කාලය \(t+\Delta{t}\) හි නෝඩ් වේගය, \(\ddot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) යනු කාලය \(t+\Delta{t}\) හි නෝඩ් ත්වරණය, \(i\) නෝඩ් නිදහස් අංශ අංකය සහ \(s\) නෝඩ් අංකය වේ. ස්කන්ධය පදය සහ අවමන්දනය පදය හසුරුවන්නේ පහත පරිදිය.

ස්කන්ධය පදය හසුරුවීම

ප්‍රතිපත්තියක් ලෙස ස්කන්ධ න්‍යාසය සංකේන්ද්‍රිත ස්කන්ධ න්‍යාසයක් ලෙස සලකයි.

අවමන්දනය පදය හසුරුවීම

අවමන්දනය පදය \(\eqref{eq:2.5.8}\) සමීකරණයෙන් නිරූපිත Rayleigh අවමන්දනය ලෙස සලකයි.

\[\begin{equation} C = R_m M + R_k K_L \label{eq:2.5.8} \end{equation}\]

මෙහි \(R_m\) සහ \(R_k\) Rayleigh අවමන්දනය පරාමිති වේ.

!DYNAMIC කාඩ්පතෙන් නියම කරන \(R_m\), \(R_k\) සම්පූර්ණ ආකෘතියට එකසේ යොදයි. එක් එක් ද්‍රව්‍යයට වෙනස් \(R_m\), \(R_k\) ලබාදීමට නම්, අදාළ ද්‍රව්‍යයේ !MATERIAL ඛණ්ඩය තුළ !DAMPING කාඩ්පත නියම කරන්න. !DAMPING නියම කළ ද්‍රව්‍යයට අයත් මූලද්‍රව්‍ය සඳහා, එම මූලද්‍රව්‍යයේ ස්කන්ධ න්‍යාසය \(M_i\) සහ ස්පර්ශක දෘඪතා න්‍යාසය \(K_i\) භාවිත කර \(C_i = R_m M_i + R_k K_i\) ලෙස මූලද්‍රව්‍යය අවමන්දන න්‍යාසය ගණනය කර ගෝලීය අවමන්දන න්‍යාසයට එකතු කරයි. මෙම හැකියාව අනුක්ත ක්‍රමය සඳහා පමණක් වලංගු වේ.

ප්‍රකාශිත ක්‍රමය (මධ්‍යම වෙනස ක්‍රමය)

ප්‍රකාශිත ක්‍රමයේදී කාලය t හි පහත චලන සමීකරණය පදනම් කරගනී.

\[\begin{equation} M \ddot{U}(t) + C (t) \dot{U}(t) + Q(t) = F(t) \label{eq:2.5.9} \end{equation}\]

මෙහි කාලය \(t + \Delta t\) සහ \(t - \Delta t\) හි විස්ථාපන, කාලය \(t\) වටා Taylor ප්‍රසාරණයකින් නිරූපණය කර \(\Delta t\) හි දෙවන අනුපිළිවෙළ දක්වා ගත් විට පහත පරිදි වේ.

\[\begin{equation} U(t+\Delta{t}) = U(t)+\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} U(t-\Delta{t})=U(t)-\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.11} \end{equation}\]

\(\eqref{eq:2.5.3}\) සහ \(\eqref{eq:2.5.4}\) සමීකරණවල වෙනස සහ එකතුවෙන් පහත සමීකරණ ලැබේ.

\[\begin{equation} \dot{U}(t)=\frac{1}{2\Delta{t}} (U(t+\Delta{t})-U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.12} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}= \frac{1}{(2\Delta{t})^2} (U(t+\Delta{t})-2U(t)+U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.13} \end{equation}\]

\(\eqref{eq:2.5.12}\) සහ \(\eqref{eq:2.5.13}\) සමීකරණ \(\eqref{eq:2.5.9}\) වෙත ආදේශ කළ විට පහත සමීකරණය ලැබේ.

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U ( t + \Delta t ) \\ = F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} 2 U(t) - U( t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \label{eq:2.5.14} \end{equation}\]

විශේෂයෙන් රේඛීය ගැටලුවකදී \(Q(t) = K_L U(t)\) වන අතර, ඉහත සමීකරණය පහත පරිදි වේ.

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U( t + \Delta t ) \\ = F(t) - K_L U(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U (t - \Delta t) \label{eq:2.5.15} \end{equation}\]

මෙහි ස්කන්ධ න්‍යාසය \(M\) සංකේන්ද්‍රිත ස්කන්ධ න්‍යාසයක් ලෙස සහ අවමන්දන න්‍යාසය සමානුපාතික අවමන්දන න්‍යාසය \(C = R_m M\) ලෙස තැබූ විට, \(\eqref{eq:2.5.15}\) සඳහා සමගාමී සමීකරණ විසඳීම අවශ්‍ය නොවේ.

එබැවින් \(\eqref{eq:2.5.15}\) මඟින් \(U(t+\Delta t)\) පහත සමීකරණයෙන් ලබාගත හැක.

\[\begin{equation} U( t + \Delta t ) \\ = \frac{1}{( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C )} \{ F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \} \label{eq:2.5.17} \end{equation}\]

අදාළ අයිතම