අන්තර්ගතය වෙත යන්න

මෝඩල් විශ්ලේෂණය

සාමාන්‍යකෘත ස්වයං අගය ගැටලුව

සන්තතික මාධ්‍යයක නිදහස් කම්පන විශ්ලේෂණය කිරීමේදී අවකාශීය විවික්තීකරණය කර, රූපය 2.3.1 හි පෙන්වන සංකේන්ද්‍රිත ස්කන්ධ සහිත බහු-නිදහස්-අංශක පද්ධතියක් ලෙස ආකෘතිකරණය කරයි. අවමන්දනය නොමැති නිදහස් කම්පන ගැටලුවේ පාලක සමීකරණය (චලන සමීකරණය) පහත පරිදි වේ.

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = 0 \label{eq:2.3.1} \end{equation}\]

මෙහි \(u\) යනු සාමාන්‍යකෘත විස්ථාපන දෛශිකය, \(M\) යනු ස්කන්ධ න්‍යාසය සහ \(K\) යනු දෘඪතා න්‍යාසයයි. \(\omega\) ස්වාභාවික කෝණික සංඛ්‍යාතය ලෙසත්, \(a\) සහ \(b\) එකවර ශූන්‍ය නොවන අත්තනෝමතික නියත ලෙසත්, \(x\) දෛශිකයක් ලෙසත් ගෙන පහත ශ්‍රිතය නිර්වචනය කරමු.

\[\begin{equation} u(t) = (a \sin \omega t + b \cos \omega t ) x \label{eq:2.3.2} \end{equation}\]

එහි දෙවන අවකලනය වන්නේ

\[\begin{equation} \ddot{u}(t) = -\omega^2 (a \sin \omega t + b \cos \omega t) x \label{eq:2.3.3} \end{equation}\]

සමීකරණය \(\eqref{eq:2.3.2}\) සහ සමීකරණය \(\eqref{eq:2.3.3}\), සමීකරණය \(\eqref{eq:2.3.1}\) තුළට ආදේශ කළ විට

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = (a \sin \omega t + b \cos \omega t) (K-\omega^2 M) x = 0 \label{eq:2.3.4} \end{equation}\]

ඉහත සමීකරණය ලැබේ.

සුළු නොවන කම්පනයක් සඳහා \(a \sin \omega t + b \cos \omega t\) යන ප්‍රකාශනය සර්වසම ලෙස ශූන්‍ය නොවේ.

\[ (K-\omega^2M)x=0 \]

එබැවින් ඉහත සම්බන්ධතාව ලැබේ. \(\lambda=\omega^2\) ලෙස තැබීමෙන්

\[\begin{equation} K x = \lambda M x \label{eq:2.3.5} \end{equation}\]

ඉහත සමීකරණය ලැබේ.

අදිශය \(\lambda\) ස්වයං අගය ලෙසත්, දෛශිකය \(x\) ස්වයං දෛශිකය ලෙසත් හඳුන්වන අතර, සමීකරණය \(\eqref{eq:2.3.5}\) මඟින් ප්‍රකාශ වන ගැටලුව සාමාන්‍යකෘත ස්වයං අග ගැටලුව ලෙස හඳුන්වයි.

ස්වාභාවික කෝණික සංඛ්‍යාතය \(\omega\), ස්වයං අගය \(\lambda=\omega^2\) වෙතින් ලැබෙන අතර, අදාළ ස්වයං දෛශිකය \(x\) ප්‍රකාර හැඩය නිරූපණය කරයි.

අවමන්දනය නොමැති නිදහස් කම්පනය සඳහා බහු-නිදහස්-අංශක පද්ධතිය උදාහරණයක්

රූපය 2.3.1 අවමන්දනය නොමැති නිදහස් කම්පනය සඳහා බහු-නිදහස්-අංශක පද්ධතිය උදාහරණයක්

න්‍යාසයේ ගුණාංග සහ උපකල්පන

පෙර කොටසේ ලබාගත් සාමාන්‍යකෘත ස්වයං අග ගැටලුව \(Kx=\lambda Mx\) සඳහා මෙම අත්පොත න්‍යාස සමමිතික යැයි උපකල්පනය කරයි. සංකීර්ණ න්‍යාස සඳහා මෙය හර්මිටියානු න්‍යාසවලටත්, තාත්වික න්‍යාස සඳහා සමමිතික න්‍යාසවලටත් අනුරූප වේ.

\(k_{ij}\) යනු \(K\) න්‍යාසයේ \(ij\) ප්‍රවේශය ලෙස ගනිමු. හර්මිටියානු ගුණය

\[\begin{equation} k_{ij} = \bar{k}_{ji} \label{eq:2.3.6} \end{equation}\]

යන ඉහත සමීකරණයෙන් ප්‍රකාශ වේ. මෙහි \(\bar{k}_{ji}\) යනු \(k_{ji}\) හි සංකීර්ණ සංයුග්මයයි. තාත්වික න්‍යාස සඳහා මෙම සම්බන්ධතාව \(k_{ij}=k_{ji}\) බවට පත් වේ.

තාත්වික සමමිතික \(H\) න්‍යාසයක්, සෑම ශූන්‍ය නොවන \(x\) දෛශිකයක් සඳහාම

\[\begin{equation} x^{t} H x > 0 \label{eq:2.3.7} \end{equation}\]

ඉහත අසමානතාව සපුරන්නේ නම් ධන නිශ්චිත වේ. එවිට \(H\) හි සියලු ස්වයං අගයන් ධන වේ.

ව්‍යුහාත්මක ස්වයං අග ගැටලුවකදී ස්කන්ධ න්‍යාසය \(M\) සාමාන්‍යයෙන් ධන නිශ්චිත ලෙස සලකයි. එහෙත් දෘඪතා න්‍යාසය \(K\), සීමාකරණ මත පදනම්ව ධන අර්ධ-නිශ්චිත විය හැකි අතර දෘඪ දේහ ප්‍රකාරවලට අනුරූප ශූන්‍ය ස්වයං අගයන් තිබිය හැක.

මාරුකළ ප්‍රතිලෝම පුනරාවර්තන ක්‍රමය

සීමිත-මූලද්‍රව්‍ය ව්‍යුහාත්මක විශ්ලේෂණයේ ප්‍රායෝගිකව සියලු ස්වයං අගයන් අවශ්‍ය නොවන අතර පහළ ප්‍රකාර කිහිපයක ස්වයං අගයන් පමණක් ප්‍රමාණවත් වන අවස්ථා බහුලය. HEC-MW විශාල පරිමාණ ගැටලු සඳහා අදහස් කර ඇති බැවින් න්‍යාස විශාල සහ ඉතා විරල (ශූන්‍ය මූලද්‍රව්‍ය බහුල) වේ. ඒ නිසා මේ කරුණ සැලකිල්ලට ගෙන පහළ ප්‍රකාරවල ස්වයං අගයන් කාර්යක්ෂමව සොයාගැනීම වැදගත් වේ.

මාරුව \(\sigma\) සඳහා, \(-\sigma\) ස්වයං අගයක් නොවී \(K+\sigma M\) ඒකීය නොවේ නම්, සමීකරණය \(\eqref{eq:2.3.5}\) පහත පරිදි පරිවර්තනය කළ හැක.

\[\begin{equation} (K + \sigma M)^{-1} M x = \frac{1}{\lambda+\sigma} x \label{eq:2.3.8} \end{equation}\]

මෙම පරිවර්තනය ස්වයං දෛශිකය \(x\) නොවෙනස්ව තබා, ස්වයං අගය \(\lambda\) \(1/(\lambda+\sigma)\) වෙත සිතියම්ගත කරයි.

එබැවින් \(\lambda\), \(-\sigma\) ට සමීප වන තරමට පරිවර්තිත ස්වයං අගයේ නිරපේක්ෂ අගය විශාල වේ. ව්‍යුහාත්මක ස්වයං අග ගැටලුවකදී \(\lambda \geq 0\) සහ \(\sigma \geq 0\) වන බැවින්, අවම ස්වයං අගය විශාලතම නිරපේක්ෂ අගය ඇති ස්වයං අගය වෙත සිතියම්ගත වේ. මෙම ගුණය භාවිත කර, විශාල නිරපේක්ෂ අගයන් ඇති ස්වයං අගයන් වෙත පළමුව අභිසරණය වීමට නැඹුරු පුනරාවර්තන ක්‍රමයක් සමීකරණය \(\eqref{eq:2.3.8}\) මත යෙදීමෙන් පහළ අනුපිළිවෙළේ ස්වයං අගයන් ආරෝහණ අනුපිළිවෙළින් කාර්යක්ෂමව ලබාගත හැක.

මෙම ක්‍රමය මාරුකළ ප්‍රතිලෝම පුනරාවර්තනය ලෙස හඳුන්වයි.

සීමාකරණ සහිත විශ්ලේෂණ සඳහා FrontISTR විසින් \(\sigma = 0\) ලෙස තබන අතර, සමීකරණය \(\eqref{eq:2.3.8}\), \(K^{-1} M x = \frac{1}{\lambda} x\) බවට, එනම් මාරුවක් නොමැති ප්‍රතිලෝම පුනරාවර්තනය බවට පත් වේ. සීමාකරණ නොමැති නිදහස්-නිදහස් විශ්ලේෂණයකදී \(K\) න්‍යාසය, දෘඪ දේහ ප්‍රකාරවලට අනුරූප ශූන්‍ය ස්වයං අගයන් ඇති බැවින් ඒකීය වේ; \(\sigma\) සඳහා ධන අගයක් දීමෙන් \(K+\sigma M\) නිත්‍යකරණය වේ. \(\sigma\) හි අගය !EIGEN තුළ SIGMA මඟින් සඳහන් කරයි.

Lanczos ක්‍රමය

භාවිත කිරීමට හේතුව (Jacobi ක්‍රමය සමඟ සසඳීම)

සම්භාව්‍ය ක්‍රම අතර Jacobi ක්‍රමය හොඳින් දන්නා ක්‍රමයකි.

න්‍යාසය ප්‍රමාණය කුඩා සහ ඝන න්‍යාසයක් වන විට මෙම ක්‍රමය කාර්යක්ෂම වේ. එහෙත් HEC-MW හසුරුවන න්‍යාස විශාල හා විරල බැවින් Jacobi ක්‍රමය භාවිත නොකර Lanczos පුනරාවර්තන විසඳුම් ක්‍රමය භාවිත කරයි.

ඇල්ගොරිතමය සහ ලක්ෂණ

1950 දශකයේ C. Lanczos විසින් යෝජනා කළ මෙම ක්‍රමය න්‍යාසය ත්‍රි-විකර්ණීකරණය කරන ඇල්ගොරිතමයක් වන අතර පහත ලක්ෂණ ඇත.

  • මෙය පුනරාවර්තන ක්‍රමයක් වන අතර න්‍යාසය විරලව තබා ගණනය කළ හැක.
  • මෙහි මෙහෙයුම් ප්‍රධාන වශයෙන් න්‍යාස-දෛශික ගුණිත බැවින් සමාන්තරීකරණයට ඉතා සුදුසුය.
  • සීමිත-මූලද්‍රව්‍ය ජාල සමඟ සම්බන්ධ ජ්‍යාමිතික වසම් විභජනයට ඉතා සුදුසුය.
  • ලබාගත යුතු ස්වයං අගයන් ගණන හෝ ප්‍රකාර පරාසය සීමා කිරීමෙන් කාර්යක්ෂම ගණනයක් කළ හැක.

Lanczos ක්‍රමය ආරම්භක දෛශිකයකින් පටන්ගෙන, ලම්බක දෛශික අනුක්‍රමයෙන් ගොඩනඟා Krylov උපඅවකාශයක පදනම ලබාගනී.

සීමිත නිරවද්‍යතා අංකගණිතයේදී වටකිරීමේ දෝෂ නිසා දෛශිකවල ලම්බකතාව නැති විය හැක. මෙම බලපෑම අඩු කිරීමට FrontISTR ක්‍රියාත්මක කිරීම සෑම දෛශිකයක්ම කලින් ලබාගත් Lanczos පදනම් දෛශිකවලට සාපේක්ෂව නැවත ලම්බක කරයි.

ජ්‍යාමිතික අර්ථය (Krylov උපඅවකාශය)

සමීකරණය \(\eqref{eq:2.3.8}\) පහත විචල්‍ය පරිවර්තනය මඟින්

\[ A = (K + \sigma M)^{-1} M \]
\[\begin{equation} \frac{1}{\lambda+\sigma}= \zeta \label{eq:2.3.9} \end{equation}\]

ගැටලුව නැවත ලියන විට

\[\begin{equation} A x = \zeta x \label{eq:2.3.10} \end{equation}\]

ඉහත සමීකරණය ලැබේ.

අත්තනෝමතික ශූන්‍ය නොවන \(q_0\) දෛශිකයක් සඳහා

\[ q_0,\ Aq_0,\ A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0 \]

මෙම දෛශික මඟින් ජනනය වන අවකාශය

\[ \mathcal{K}_m(A,q_0) = \operatorname{span} \{q_0,Aq_0,A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0\} \]

Krylov උපඅවකාශය ලෙස හඳුන්වයි.

Lanczos ක්‍රමය මෙම Krylov උපඅවකාශයේ පදනම අනුක්‍රමයෙන් ගොඩනඟයි.

FrontISTR විසින් ස්කන්ධ න්‍යාසය \(M\) සමඟ සම්බන්ධ පහත අභ්‍යන්තර ගුණිතය

\[ \langle x,y\rangle_M = x^T M y \]

පදනම ලම්බ-ඒකක බවට පත් කිරීමට භාවිත කරයි. පහත රූපවල දැක්වෙන අභ්‍යන්තර ගුණිතය \(\langle x,y\rangle\) සහ නෝමය \(\|x\|\) FrontISTR ගණනයේදී මෙම \(M\)-අභ්‍යන්තර ගුණිතය සහ අදාළ \(M\)-නෝමය ලෙස

\[ \|x\|_M=\sqrt{x^T M x} \]

පිළිවෙළින් අර්ථ දක්වයි.

රූපය 2.3.2 හි දැක්වෙන පරිදි, \(A\) න්‍යාසයෙන් නිර්වචිත රේඛීය පරිවර්තනය අත්තනෝමතික \(q_0\) දෛශිකයකට යොදන්න.

න්‍යාසය \(A\) මඟින් \(q_0\) හි රේඛීය පරිවර්තනය

රූපය 2.3.2 න්‍යාසය \(A\) මඟින් \(q_0\) හි රේඛීය පරිවර්තනය

පරිවර්තිත දෛශිකය, එය සහ මුල් දෛශිකය ජනනය කරන අවකාශය තුළ ලම්බක කරයි. විශේෂයෙන්, රූපය 2.3.3 හි දැක්වෙන පරිදි Gram-Schmidt ලම්බකරණය සිදු කරයි. ලැබෙන දෛශිකය \(r_1\) ලෙස ගත් විට, එය සාමාන්‍යකරණය කිරීමෙන් \(q_1\) ලැබේ.

\(q_0\) ට ලම්බක දෛශිකය \(q_1\)

රූපය 2.3.3 \(q_0\) ට ලම්බක දෛශිකය \(q_1\)

එම ක්‍රමයෙන් \(q_1\) වෙතින් \(q_2\) ලබාගනී. මෙහි \(q_2\), රූපය 2.3.4 හි දැක්වෙන පරිදි \(q_1\) සහ \(q_0\) දෙකටම ලම්බක වේ.

\(q_1\) සහ \(q_0\) ට ලම්බක දෛශිකය \(q_2\)

රූපය 2.3.4 \(q_1\) සහ \(q_0\) ට ලම්බක දෛශිකය \(q_2\)

මෙලෙස Lanczos ක්‍රමය Krylov උපඅවකාශයේ ලම්බ-ඒකක පදනම අනුක්‍රමයෙන් ගොඩනඟයි. න්‍යායාත්මකව, ස්වයං අග ගැටලුවේ සමමිතිය නිසා මෙම පුනරාවර්තනය නවතම පදනම් දෛශික අඩංගු ත්‍රිපද පුනරාවර්තන සම්බන්ධතාවක් ලෙස ප්‍රකාශ කළ හැක.

එහෙත් සීමිත නිරවද්‍යතා අංකගණිතයෙන් ඇතිවන ලම්බකතාව නැතිවීම අඩු කිරීමට, FrontISTR ක්‍රියාත්මක කිරීම සෑම දෛශිකයක්ම \(M\)-අභ්‍යන්තර ගුණිතය භාවිත කර කලින් ලබාගත් Lanczos පදනම් දෛශිකවලට සාපේක්ෂව නැවත ලම්බක කරයි.

ත්‍රිවිකර්ණීකරණය

FrontISTR හි Lanczos පුනරාවර්තනයේදී, පදනම් දෛශික පෙර කොටසේ විස්තර කළ \(M\)-අභ්‍යන්තර ගුණිතයට සාපේක්ෂව ලම්බ-ඒකක කර ඇති බැවින්

\[ q_i^T M q_j = \delta_{ij} \]

ඉහත සම්බන්ධතාව සපුරයි.

සමීකරණය \(\eqref{eq:2.3.10}\) හි \(A\) න්‍යාසය භාවිත කළ විට, න්‍යායාත්මක Lanczos පුනරාවර්තනය

\[\begin{equation} A q_i = \beta_i q_{i-1} + \alpha_i q_i + \beta_{i+1} q_{i+1} \label{eq:2.3.11} \end{equation}\]

ඉහත ත්‍රිපද පුනරාවර්තන සම්බන්ධතාවෙන් ප්‍රකාශ වේ.

පළමුව \(\alpha_i\) පහත පරිදි නිර්වචනය කරයි.

\[ \alpha_i = q_i^T M A q_i \]

ඊළඟට තාවකාලික අවශේෂය

\[ \tilde{r}_{i+1} = Aq_i - \beta_i q_{i-1} - \alpha_i q_i \]

ලෙස නිර්වචනය කරයි.

සීමිත නිරවද්‍යතා අංකගණිතයෙන් ඇතිවන ලම්බකතාව නැතිවීම අඩු කිරීමට FrontISTR ක්‍රියාත්මක කිරීම \(\tilde{r}_{i+1}\), \(M\)-අභ්‍යන්තර ගුණිතය භාවිත කර කලින් ලබාගත් Lanczos පදනම් දෛශිකවලට සාපේක්ෂව නැවත ලම්බක කරයි. නැවත ලම්බක කිරීමෙන් පසු අවශේෂය \(r_{i+1}\) නම්

\[\begin{equation} \beta_{i+1} = \sqrt{r_{i+1}^T M r_{i+1}}, \qquad q_{i+1} = \frac{r_{i+1}}{\beta_{i+1}} \label{eq:2.3.12} \end{equation}\]

ඉහත සම්බන්ධතා සපුරයි.

Lanczos පුනරාවර්තනයෙන් ලබාගත් පදනම් දෛශික \(m\) පහත පරිදි එකතු කරමු.

\[ Q_m=[q_0,q_1,\ldots,q_{m-1}] \]

එවිට සීමිත Lanczos පුනරාවර්තන ගණනකට පසු

\[\begin{equation} A Q_m = Q_m T_m + \beta_m q_m e_m^T \label{eq:2.3.13} \end{equation}\]

ඉහත සම්බන්ධතාව සපුරයි.

මෙහි \(e_m\) යනු \(m\)-මාන ඒකක දෛශිකයක් වන අතර, එහි \(m\) වන සංරචකය 1 සහ අනෙකුත් සංරචක ශූන්‍ය වේ. තවද

\[\begin{equation} T_m= \begin{pmatrix} \alpha_0 & \beta_1 & & &\\ \beta_1 & \alpha_1 & \beta_2 & &\\ & \ddots & \ddots & \ddots &\\ & & \beta_{m-2} & \alpha_{m-2}& \beta_{m-1}\\ & & & \beta_{m-1} & \alpha_{m-1} \end{pmatrix} \label{eq:2.3.14} \end{equation}\]

යනු සමමිතික ත්‍රිවිකර්ණීය න්‍යාසයකි.

එබැවින් ත්‍රිවිකර්ණීය න්‍යාසය \(T_m\) හි ස්වයං අගයන් ගණනය කිරීමෙන් මුල් විශාල පරිමාණ ස්වයං අග ගැටලුවේ ස්වයං අගයන් ආසන්න කළ හැක.

අදාළ අයිතම