අන්තර්ගතය වෙත යන්න

සංඛ්‍යාත ප්‍රතිචාර විශ්ලේෂණය

ගැටලු සැකසුම

සංඛ්‍යාත ප්‍රතිචාර විශ්ලේෂණය යනු බාහිර බලය කාලය සමඟ හාර්මොනික ආකාරයෙන් වෙනස් වන විට, ස්ථාවර තත්ත්වයේ පද්ධතියේ ප්‍රතිචාර විස්තාරය සහ අදියර සංඛ්‍යාත වසමේ ඇගයීමයි. අවමන්දනය නොමැති සහ අවමන්දනය සහිත අවස්ථාවල චලන සමීකරණය වෙනස් රාමුවක් ගන්නා බැවින්, මෙම පරිච්ඡේදයේ පළමුව අවමන්දනය නොමැති නිදහස් කම්පනයෙන් ස්වාභාවික ප්‍රකාර ලබාගෙන, එය ප්‍රකාර පදනම ලෙස භාවිත කර අවමන්දනය සහිත හාර්මොනික ප්‍රතිචාරය විස්තාරණය කරයි.

අවමන්දනය නොමැති නිදහස් කම්පනය සහ ස්වාභාවික ප්‍රකාර

අවමන්දනය නොසලකා හරින විට චලන සමීකරණය පහත පරිදි වේ.

\[\begin{equation} M \ddot{U} + K U = 0 \label{eq:2.6.1} \end{equation}\]

එය එක් එක් ස්වාභාවික ප්‍රකාරයට අනුව විස්තාරණය කළ විට,

\[\begin{equation} U = U_j e^{i \omega_j t} \label{eq:2.6.2} \end{equation}\]

වේ. මෙය \(\eqref{eq:2.6.1}\) සමීකරණයට ආදේශ කළ විට,

\[\begin{equation} K U_j = \omega_j^2 M U_j \label{eq:2.6.3} \end{equation}\]

ලැබේ. මෙම සාමාන්‍යකෘත ස්වයං අග ගැටලුවේ සංඛ්‍යාත්මක විසඳුම් ක්‍රම (මාරුකළ ප්‍රතිලෝම පුනරාවර්තනය සහ Lanczos ක්‍රමය) මෝඩල් විශ්ලේෂණය හි සලකා බලයි. මෙම කොටස, ලබාගන්නා ස්වාභාවික සංඛ්‍යාත හා ප්‍රකාර හැඩවලින් හාර්මොනික ප්‍රතිචාර ප්‍රසාරණයට අවශ්‍ය ගුණ සාරාංශ කරයි.

ස්වාභාවික සංඛ්‍යාත තාත්වික වීම

මෙම ස්වාභාවික සංඛ්‍යාත තාත්වික සංඛ්‍යා වන බව පහත පරිදි පෙන්විය හැක. \(\omega_j^2 = \lambda_j\) ලෙස තබා, \(\eqref{eq:2.6.3}\) සමීකරණයේ සංකීර්ණ සංයුග්මය ගත් විට \(\eqref{eq:2.6.4}\) ලැබේ.

\[\begin{equation} K U_j = \lambda_j M U_j K \overline{UJ} = \overline{\lambda_J} M \overline{U_J} \label{eq:2.6.4} \end{equation}\]

මෙයට \(\overline{U}_J^T\) ගුණ කළ විට,

\[\begin{equation} U_j^T K \overline{U}_J = \overline{\lambda}_J U_j^T M \overline{U}_J \overline{U}_J^T K U_j = \lambda_j \overline{U}_J^T M U_j \label{eq:2.6.5} \end{equation}\]

ලැබේ. \(\eqref{eq:2.6.5}\) අනුව,

\[\begin{equation} 0 = ( \lambda_j - \overline{\lambda_J} ) \overline{U_J}^T M U_j \label{eq:2.6.6} \end{equation}\]

වේ. ස්කන්ධ න්‍යාසය ධන-නිශ්චිත සමමිතික බැවින් ශූන්‍ය දෛශිකය නොවන ස්වයං දෛශිකය සඳහා

\[\begin{equation} \overline{U_J} M U_j > 0 \label{eq:2.6.7} \end{equation}\]

සත්‍ය වේ. එබැවින්,

\[\begin{equation} \lambda_j =\overline{\lambda_J} \label{eq:2.6.8} \end{equation}\]

වන අතර \(\omega_j^2 = \lambda_j\) තාත්වික සංඛ්‍යාවක් වේ.

ස්වාභාවික ප්‍රකාරවල ලම්බකතාව සහ සාමාන්‍යකරණය

දැන් වෙනස් ප්‍රකාර දෙකක් සලකා බලමු.

\[\begin{equation} K U_i = \lambda_i M U_i K U_j = \lambda_j M U_j \label{eq:2.6.9} \end{equation}\]

මෙයින්,

\[\begin{equation} ( \lambda_i - \lambda_j ) U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.10} \end{equation}\]

ලැබෙන අතර, ස්වයං අග වෙනස් නම්,

\[\begin{equation} U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.11} \end{equation}\]

වේ. එනම් වෙනස් ස්වාභාවික ප්‍රකාර ස්කන්ධ න්‍යාසය සම්බන්ධයෙන් ලම්බක වේ. එකම ප්‍රකාරයක් සඳහා ස්කන්ධ න්‍යාසය සම්බන්ධයෙන් සාමාන්‍යකරණය කිරීමෙන් (\(\eqref{eq:2.6.12}\)) සැකසීම පහසු වේ.

\[\begin{equation} U_i^T M U_i = 1 \label{eq:2.6.12} \end{equation}\]

අවමන්දනය සහිත හාර්මොනික ප්‍රතිචාරය

ඊළඟට අවමන්දනය සලකා බලන සංඛ්‍යාත ප්‍රතිචාර විශ්ලේෂණය සූත්‍රගත කිරීම පෙන්වයි. අදාළ චලන සමීකරණය \(\eqref{eq:2.6.13}\) හි දක්වා ඇත.

\[\begin{equation} M \ddot{U} + C \dot{U} + K U = F \label{eq:2.6.13} \end{equation}\]

මෙහි අවමන්දන පදය Rayleigh වර්ගය ලෙස උපකල්පනය කර \(\eqref{eq:2.6.14}\) පරිදි ලියයි.

\[\begin{equation} C = \alpha M + \beta K \label{eq:2.6.14} \end{equation}\]

මෝඩල් විශ්ලේෂණයෙන් ලබාගත් ස්වයං දෛශික භාවිත කර විස්ථාපන දෛශිකය කාලය t හි \(\eqref{eq:2.6.15}\) පරිදි විස්තාරණය කළ හැක.

\[\begin{equation} U(t) = \sum_i b_i(t) U_i \label{eq:2.6.15} \end{equation}\]

බාහිර බල පදය හාර්මොනික දෝලකය ආකාරයේ

\[\begin{equation} F(t) = ( F_R + i F_I )e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.16} \end{equation}\]

වන විට \(b_{j}(t)\) තීරණය කරයි. චලන සමීකරණය \(\eqref{eq:2.6.13}\) බලකළ කම්පනය ආකාරයක් වන බැවින්,

\[\begin{equation} b_j (t) = (b_{jR} + b_{jI}) e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.17} \end{equation}\]

සත්‍ය වේ. \(b_{j}(t)\) ප්‍රසාරණ සංගුණකයේ තාත්වික කොටස සහ අතාත්වික කොටස සොයාගත් විට ඒවා \(\eqref{eq:2.6.18}i\) සහ \(\eqref{eq:2.6.19}\) ආකාරය ගනී.

\[\begin{equation} b_{jR} = \frac{ U^T_j F_R (\omega^2_j - \Omega^2) + U^T_j F_I (\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.18} \end{equation}\]
\[\begin{equation} b_{jI} = \frac{ U^T_j F_I(\omega^2_j - \Omega^2) - U^T_j F_R(\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.19} \end{equation}\]

වේ.

අදාළ අයිතම