අස්ථායී තාප සන්නයන විශ්ලේෂණය
සීමිත මූලද්රව්ය ක්රමය (සීමිත මූලද්රව්ය ක්රමය) මඟින් ඝන ද්රව්යයක තාප සන්නයන විශ්ලේෂණයේ කාල විවික්තීකරණය සහ පුනරාවර්තන විසඳුම ක්රමය මෙහි දක්වයි. සන්තතික මාධ්යයේ පාලක සමීකරණය සහ මායිම් කොන්දේසි සඳහා තාප සන්නයන සමීකරණය බලන්න.
විවික්ත සමීකරණය (ආරම්භක ලක්ෂ්යය)
තාප සන්නයන සමීකරණය (තාප සන්නයන සමීකරණයේ (gov_he_main) සමීකරණය) Galerkin ක්රමයෙන් විවික්තීකරණය කළ විට,
\[\begin{equation} K T + M \frac{\partial T}{\partial t} = F \label{eq:2.4.8} \end{equation}\]
මෙහි,
\[\begin{equation} K = \int\left( k_x \frac{\partial N^T}{\partial x}\frac{\partial N}{\partial x} + k_y \frac{\partial N^T}{\partial y}\frac{\partial N}{\partial y} + k_z \frac{\partial N^T}{\partial z}\frac{\partial N}{\partial z} \right) dV + \int hc N^T N ds + \int hr N^T N ds \label{eq:2.4.9} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M = \int \rho c N^T N dV \label{eq:2.4.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} F = \int Q N^T dV - \int q_s N^T dS + \int{hc} T c N^T dS + \int{hcTr} ({T+Tr}) ({T^2 + T r^2}) N^T dS \label{eq:2.4.11} \end{equation}\]
\[\begin{equation} N = (N^1, N^2, \ldots, Ni) \label{eq:2.4.12} \end{equation}\]
මෙහි \(K\), \(M\), \(F\), \(N\) පිළිවෙළින් තාප සන්නයන න්යාසය (මායිම් දායකත්වය වන සංවහන/විකිරණ පද ඇතුළුව), ස්කන්ධ න්යාසය, තාප භාර දෛශිකය සහ හැඩ-ශ්රිත න්යාසය වේ. ද්රව්ය ගුණ සංකේත (\(\rho\), \(c\), \(k_x, k_y, k_z\), \(Q\), \(hc\), \(hr\) ආදිය) තාප සන්නයන සමීකරණය අනුව අර්ථ දක්වා ඇත.
කාල විවික්තීකරණය සහ පුනරාවර්තන විසඳුම
සමීකරණය \(\eqref{eq:2.4.8}\) රේඛීය නොවන සහ අස්ථායී සමීකරණයකි. කාලය පසුගාමී Euler ක්රමය මඟින් විවික්තීකරණය කර, \(t=t_0\) වේලාවේ උෂ්ණත්වය දන්නා විට \(t=t_0+\Delta t\) වේලාවේ උෂ්ණත්වය පහත සමීකරණයෙන් ගණනය කරමු.
\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} + M_{t=t_0+\Delta t} \frac{T_{t=t_0+\Delta t} - T_{t=t_0}}{\Delta t} = F_{t=t_0+\Delta t} \label{eq:2.4.13} \end{equation}\]
මෙහි සමීකරණය \(\eqref{eq:2.4.13}\) ආසන්නව සපුරන උෂ්ණත්ව දෛශිකය \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\) වැඩිදියුණු කර වඩා නිවැරදි විසඳුම \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)+1}\) සොයමු.
ඒ සඳහා පළමුව උෂ්ණත්ව දෛශිකය පහත පරිදි නිරූපණය කරයි.
\[\begin{equation} T_{t=t_0+\Delta t}= T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.14} \end{equation}\]
තාප සන්නයන න්යාසය හා උෂ්ණත්ව දෛශිකයේ ගුණිතය සහ ස්කන්ධ න්යාසය ආදිය පහත පරිදි ආසන්නව නිරූපණය කරයි.
\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} = K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big) } {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.15} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M_{t=t_0+\Delta t} = M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.16} \end{equation}\]
සමීකරණ \(\eqref{eq:2.4.14}\), \(\eqref{eq:2.4.15}\), \(\eqref{eq:2.4.16}\) සමීකරණය \(\eqref{eq:2.4.13}\) තුළට ආදේශ කළ කර දෙවන අනුපිළිවෙළ සහ ඊට ඉහළ පද නොසලකා හැරිය විට පහත සමීකරණය ලැබේ.
\[\begin{equation} \bigg(\frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac {\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } { \partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big)} {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \bigg) \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \\\ = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.17} \end{equation}\]
තවද වම් පස සංගුණකය න්යාසය පහත සමීකරණයෙන් ආසන්නව ඇගයෙයි.
\[\begin{equation} K^{(i)} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac{\partial \big( K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \big)}{\partial T^{(i)}_{t=t_0+\Delta t}} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)} \label{eq:2.4.18} \end{equation}\]
මෙහි \(K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)}\) යනු ස්පර්ශක දෘඪතා න්යාසයයි.
අවසානයේ පහත සමීකරණය භාවිත කර පුනරාවර්තන ගණනය කිරීමෙන් \(t=t_0+\Delta t\) වේලාවේ උෂ්ණත්වය ගණනය කළ හැක.
\[\begin{equation} K^{(i)} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.19} \end{equation}\]
විශේෂයෙන් ස්ථාවර-තත්ත්ව විශ්ලේෂණයේ පහත සමීකරණය භාවිත කර පුනරාවර්තන ගණනය කරයි.
\[ K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} = F_{t=\infty} - K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} \]
\[\begin{equation} T_{t=\infty}^{(i+1)} = T_{t=\infty}^{(i)} + \Delta{T}_{t=\infty}^{(i)} \label{eq:2.4.20} \end{equation}\]
අස්ථායී විශ්ලේෂණයේ කාල වර්ධකය \(\Delta t\) තෝරාගැනීමේදී කාල විවික්තීකරණය සඳහා අනුක්ත ක්රමය භාවිත කරන නිසා සාමාන්යයෙන් එහි ප්රමාණයට ස්ථායීතාව සීමාවක් නොමැත. එහෙත් කාල වර්ධකය \(\Delta t\) ඉතා විශාල නම් පුනරාවර්තන ගණනය සඳහා අවශ්ය පුනරාවර්තන ගණන වැඩි වේ. සාමාන්යයෙන් කාල වර්ධකය \(\Delta t\) ඉතා විශාල නම් පුනරාවර්තන ගණන වැඩි වේ. ක්රියාත්මක කිරීම ශේෂ දෛශිකයේ ප්රමාණය නිරීක්ෂණය කර, අභිසරණය මන්ද නම් \(\Delta t\) අඩු කරන අතර පුනරාවර්තන අඩු නම් \(\Delta t\) වැඩි කරන ස්වයංක්රීය වර්ධක පාලනය භාවිත කරයි (→ විස්තර සඳහා පියවර පාලන බලන්න).
අදාළ අයිතම