අන්තර්ගතය වෙත යන්න

ජ්‍යාමිතික මායිම් කොන්දේසි සැකසීම

Newton-Raphson ක්‍රමය මඟින් එක් එක් පුනරාවර්තනයේදී විසඳන රේඛීය සමීකරණය \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\) තුළ තවමත් ජ්‍යාමිතික මායිම් කොන්දේසි (විස්ථාපන සීමා) ඇතුළත් කර නොමැත. මෙම පරිච්ඡේදයේ, විස්ථාපන සීමාව \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) ලබා දී ඇති නිදහස් අංශක සඳහා, පුනරාවර්තනයෙන් පසු විස්ථාපනය නියමිත සීමා අගයට ළඟා වන පරිදි දෘඪතා න්‍යාසය \(\boldsymbol{K}\) සහ අවශේෂ දෛශිකය \(\boldsymbol{R}\) වෙනස් කරන ආකාරය පෙන්වයි. බහු-ලක්ෂ්‍ය සීමා (MPC) සහ ස්පර්ශය හා සම්බන්ධ රේඛීය නොවන සීමා වෙනම ක්‍රමයකින් සැකසෙන අතර, ඒවා සඳහා බහු-ලක්ෂ්‍ය සීමා සහ ස්පර්ශය බලන්න.

විස්ථාපන සීමාව ඇති නිදහස් අංශක නොදන්නා විචල්‍ය ලෙස තබාගැනීමේ ප්‍රතිපත්තිය

ජ්‍යාමිතික මායිම් කොන්දේසියක් ලබා දී ඇති නෝඩයක විස්ථාපනය තවදුරටත් නොදන්නා විචල්‍යයක් නොවන අතර, එය නියමිත අගය \(\bar{u}_i\) ට ස්ථිර කර ඇත. මේවා නියතයන් ලෙස සලකා රේඛීය සමීකරණය \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\) වෙතින් ඉවත් කළ හැකි වුවද, FrontISTR තුළ සීමාකළ නිදහස් අංශකද අනෙක් නිදහස් අංශක මෙන්ම සංශෝධන දෛශිකය \(d\boldsymbol{u}\) තුළ තබාගෙන, \(\boldsymbol{K}\) සහ \(\boldsymbol{R}\) වෙනස් කිරීමෙන් සීමාව ක්‍රියාත්මක කරයි.

මෙම ක්‍රමයේදී සීමා තිබේද නැද්ද යන්න අනුව සංගුණක න්‍යාසයේ මානය හෝ නිදහස් අංශකවල අනුපිළිවෙළ වෙනස් නොවන බැවින්, විචල්‍ය ඉවත් කිරීමෙන් හිස් වූ පේළි සහ තීරු නැවත සකස් කිරීම අවශ්‍ය නොවේ. සංගුණක න්‍යාසය විරල න්‍යාස ආකෘතියෙන් තබාගන්නා ක්‍රියාත්මක කිරීමකදී එවැනි නැවත සකස් කිරීම සංකීර්ණ වන බැවින්, FrontISTR සංගුණක න්‍යාසය සහ දකුණු පස යාවත්කාලීන කිරීමෙන් පමණක් සීමාව ඉටු කරන දෙවන ක්‍රමය භාවිත කරයි.

Newton-Raphson සංශෝධන ප්‍රමාණය සඳහා ප්‍රතිස්ථාපන ඉලක්කය

විස්ථාපනය සීමා කර ඇති නිදහස් අංශකය \(i\) සඳහා, Newton-Raphson පුනරාවර්තනයෙන් ලබාගන්නා සංශෝධන ප්‍රමාණය \(du_i\) පහත පරිදි වන ලෙස

\[ du_i = d\bar{u}_i \equiv \begin{cases} \bar{u}_i & (\text{1 වන පුනරාවර්තනය}) \\ 0 & (\text{2 වන සහ ඉන්පසු පුනරාවර්තන}) \end{cases} \]

\(\boldsymbol{K}\) සහ \(\boldsymbol{R}\) වෙනස් කරයි. එවිට පළමු පුනරාවර්තනයේදී විස්ථාපන වර්ධකය නියමිත සීමා අගය \(\bar{u}_i\) වෙත ළඟා වන අතර, දෙවන පුනරාවර්තනයේ සිට සංශෝධන ප්‍රමාණය \(0\) වී සීමා අගය පවත්වා ගනී.

න්‍යාසය සහ අවශේෂ දෛශිකය වෙනස් කිරීමේ ක්‍රියාපටිපාටිය

පෙර කොටසේ ප්‍රතිස්ථාපන ඉලක්කය, රේඛීය සමීකරණය \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\) යන ආකාරය තබාගෙන, පහත වෙනස්කම් 2 මඟින් ඉටු කරයි.

  1. \(i\) පේළියේ විකර්ණීකරණය: \(du_i\) හි සංගුණකය වන විකර්ණ පදය \(K_{ii}\) \(1\) කින්ද, අනෙක් සියලු සංගුණක \(K_{ij}\ (j \not= i)\) \(0\) කින්ද ප්‍රතිස්ථාපනය කර, දකුණු පස \(R_i \to d\bar{u}_i\) ලෙස සකසයි. එවිට \(i\) පේළියේ සමීකරණය \(du_i = d\bar{u}_i\) වේ.
  2. \(j(\not= i)\) පේළිවලින් දකුණු පසට මාරු කිරීම: \(j(\not= i)\) පේළියක් සඳහා \(K_{ji} \not= 0\) නම්, \(K_{ji} du_i = K_{ji} d\bar{u}_i\) පදය දකුණු පසට මාරු කරයි. එනම්, දකුණු පසින් \(K_{ji} d\bar{u}_i\) අඩු කර, \(du_i\) හි සංගුණකය \(K_{ji}\) \(0\) කරයි.

සංරචක ආකාරයෙන් ලියූ විට, වෙනස් කිරීමට පෙර සහ පසු සමීකරණ පහත පරිදි අනුරූප වේ.

\[ \begin{bmatrix} K_{11} & K_{12} & \cdots & K_{1i} & \cdots & K_{1N} \\ K_{21} & K_{22} & \cdots & K_{2i} & \cdots & K_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ K_{i1} & K_{i2} & \cdots & K_{ii} & \cdots & K_{iN} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\ K_{N1} & K_{N2} & \cdots & K_{Ni} & \cdots & K_{NN} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du_1 \\ du_2 \\ \vdots \\ du_i \\ \vdots \\ du_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1 \\ R_2 \\ \vdots \\ R_i \\ \vdots \\ R_N \end{bmatrix} \]
\[ \Longrightarrow \quad \begin{bmatrix} K_{11} & K_{12} & \cdots & 0 & \cdots & K_{1N} \\ K_{21} & K_{22} & \cdots & 0 & \cdots & K_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\ K_{N1} & K_{N2} & \cdots & 0 & \cdots & K_{NN} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du_1 \\ du_2 \\ \vdots \\ du_i \\ \vdots \\ du_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1 - K_{1i} d\bar{u}_i \\ R_2 - K_{2i} d\bar{u}_i \\ \vdots \\ d\bar{u}_i \\ \vdots \\ R_N - K_{Ni} d\bar{u}_i \\ \end{bmatrix} \]

වෙනස් කළ සංගුණක න්‍යාසය සහ දකුණු පස පිළිවෙළින් \(\tilde{\boldsymbol{K}}, \tilde{\boldsymbol{R}}\) ලෙස ලියන විට, අවසානයේ විසඳිය යුතු රේඛීය සමීකරණය

\[ \tilde{\boldsymbol{K}}\, d\boldsymbol{u} = \tilde{\boldsymbol{R}} \]

වේ. සීමාකළ නිදහස් අංශක කිහිපයක් තිබේ නම්, එක් එක් සීමාකළ නිදහස් අංශකය \(i\) සඳහා ඉහත 1, 2 වෙනස්කම් අනුපිළිවෙළින් යොදයි.

විරල න්‍යාස ක්‍රියාත්මක කිරීමේ සැකසුම් පරාසය

ක්‍රියාත්මක කිරීමේදී, සංගුණක න්‍යාසය \(\boldsymbol{K}\) විරල න්‍යාස ආකෘතියෙන් තබා ඇත. එබැවින් පෙර කොටසේ ක්‍රියාපටිපාටිය 2 හි \(j(\not= i)\) පේළි සැකසීම සිදු කරන්නේ \(i\) තීරුවේ ශූන්‍ය නොවන සංරචක ඇති පේළි සඳහා පමණි; එනම්, සීමාකළ නිදහස් අංශකය \(i\) සමඟ මූලද්‍රව්‍ය හරහා සම්බන්ධ වූ නෝඩවල නිදහස් අංශක සඳහා පමණි. සම්බන්ධ නොවන නිදහස් අංශක සඳහා \(K_{ji} = 0\) වන නිසා, පදය මාරු කිරීමෙන් දකුණු පස වෙනස් නොවේ. මෙම සීමා කිරීම හේතුවෙන්, සමස්ත නෝඩ් ගණනට සාපේක්ෂව දේශීය ක්‍රියා පමණක් භාවිත කර සීමා සැකසීම සම්පූර්ණ කළ හැක.

අදාළ අයිතම