Preskočiť na obsah

Translation update pending

The Slovak translation may be out of date because the Japanese source has changed. The existing translation remains available while it is being updated.

Pokročilé formulácie prvkov

Štandardná formulácia založená na posunutiach uvedená v Formulácia 3D objemových prvkov môže pri takmer nestlačiteľných materiáloch alebo pri tenkostenných konštrukciách dominovaných ohybom vykazovať nadmernú umelú tuhosť známu ako blokovanie (objemové blokovanie alebo šmykové blokovanie). FrontISTR na jeho potlačenie poskytuje metódy B-bar a F-bar, ktoré nahrádzajú iba objemovú časť matice B alebo gradientu deformácie; nekompatibilné prvky s vnútornými stupňami voľnosti; zmiešané u-p prvky, ktoré považujú tlak za nezávislé neznáme pole; a prvky MITC pre škrupiny a nosníky špecializované na doskové a prútové konštrukcie.

Táto kapitola sumarizuje formulácie týchto pokročilých a konštrukčných prvkov po jednotlivých typoch.

Metóda B-bar

Pri použití 8-uzlového lineárneho hexaédra pre takmer nestlačiteľný materiál môže byť pole pretvorenia v jednom prvku v rozpore s podmienkou konštantného objemu, čo vedie k nadmernej tuhosti nazývanej objemové blokovanie. Metóda B-bar zmierňuje túto nadmernú väzbu tak, že zložky matice B prispievajúce k objemovej rozťažnosti nahradí hodnotami vyhodnotenými v strede prvku [Hughes1980].

V strede prvku \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) označme maticu B vypočítanú z priestorových derivácií tvarových funkcií ako \(\bar{\boldsymbol{B}}\); v integračnom bode \(\boldsymbol{r}\) označme bežnú maticu B ako \(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})\). Vo vzťahu posunutie–pretvorenie pre uzol \(\alpha\) a stupeň voľnosti \(i\) sa objemové zložky pretvorenia \((\varepsilon_{11}, \varepsilon_{22}, \varepsilon_{33})\) upravia pridaním

\[ \Delta B_{i\alpha} = \tfrac{1}{3}\bigl(\bar{B}_{i\alpha}(\boldsymbol{0}) - B_{i\alpha}(\boldsymbol{r})\bigr) \]

Pre šmykové zložky \((\varepsilon_{12}, \varepsilon_{23}, \varepsilon_{31})\) sa používa bežná \(\boldsymbol{B}\). Tuhosť prvku a vektor vnútorných síl sa zostavujú pomocou výslednej matice B-bar.

FrontISTR poskytuje túto formuláciu špecificky pre 8-uzlový lineárny hexaéder (ID prvku 361; pozri Systém číslovania prvkov) a možno ju použiť pri malých deformáciách aj vo formuláciách Total Lagrange a Updated Lagrange.

Metóda F-bar

Pri konečnej deformácii vstupuje objemová zmena nelineárne prostredníctvom gradientu deformácie \(\boldsymbol{F}\). Metóda F-bar [deSouzaNeto1996] aplikuje na úrovni gradientu deformácie opatrenie proti objemovému blokovaniu analogické metóde B-bar.

Nech objemový pomer gradientu deformácie vyhodnoteného v strede prvku \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) je \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\) a objemový pomer v integračnom bode je \(J = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\). Gradient deformácie v integračnom bode sa nahradí

\[ \bar{\boldsymbol{F}} = \left(\frac{J_0}{J}\right)^{1/3} \boldsymbol{F} \]

Tým sa dosiahne \(\det \bar{\boldsymbol{F}} = J_0\), takže objemový pomer v celom prvku zodpovedá hodnote v strede prvku. Nahradený \(\bar{\boldsymbol{F}}\) sa používa pri vyhodnocovaní napätia a zostavovaní matice pretvorenie–posunutie a tangenciálna tuhosť prvku obsahuje dodatočné členy spojené s touto náhradou.

FrontISTR implementuje metódu F-bar špecificky pre 8-uzlový lineárny hexaéder a možno ju použiť pri malých deformáciách aj pri nelineárnej geometrii Total Lagrange / Updated Lagrange.

Nekompatibilné prvky

8-uzlovému lineárnemu hexaédru chýbajú módy pretvorenia potrebné pre ohyb a v úlohách dominovaných ohybom vykazuje ohybové blokovanie. Nekompatibilné prvky [Taylor1976] zavádzajú do vnútra prvku dodatočné módy posunutia, ktoré tento nedostatok kompenzujú.

Okrem uzlových posunutí prvku \(\boldsymbol{u}^e\) sa zavedú stupne voľnosti nekompatibilných módov \(\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{R}^{9}\) existujúce iba vnútri prvku, a to ako 3 smery × 3 módy na prvok; pole posunutia sa aproximuje

\[ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha=1}^{8} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha + \sum_{k=1}^{3} M_k(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{\alpha}_k \]

Pre prirodzené súradnice \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\) sa nekompatibilné tvarové funkcie volia ako \(M_1 = 1 - \xi^2\), \(M_2 = 1 - \eta^2\) a \(M_3 = 1 - \zeta^2\). Nezaručujú spojitosť cez hranice prvkov, ale pridávajú vnútorný priestor schopný reprodukovať pretvorenia súvisiace s ohybovými módmi.

Tuhosť prvku sa najprv zostaví v blokovom tvare vonkajšie/vnútorné stupne voľnosti

\[ \begin{bmatrix} \boldsymbol{K}_{dd} & \boldsymbol{K}_{d\alpha} \\ \boldsymbol{K}_{\alpha d} & \boldsymbol{K}_{\alpha\alpha} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u}^e \\ d\boldsymbol{\alpha} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{F}^e_{\text{ext}} \\ \boldsymbol{0} \end{bmatrix} \]

Po zostavení v tomto tvare statická kondenzácia eliminuje vnútorné stupne voľnosti pomocou \(d\boldsymbol{\alpha} = -\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\boldsymbol{K}_{\alpha d}\,d\boldsymbol{u}^e\), čím sa získa tuhosť prvku obsahujúca iba vonkajšie stupne voľnosti

\[ \boldsymbol{K}^e = \boldsymbol{K}_{dd} - \boldsymbol{K}_{d\alpha}\,\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\,\boldsymbol{K}_{\alpha d} \]

ktorá sa odovzdá do globálneho zostavenia.

FrontISTR implementuje nekompatibilný prvok špecificky pre 8-uzlový lineárny hexaéder (C3D8IC) a možno ho použiť pri malých deformáciách aj vo formuláciách Total Lagrange a Updated Lagrange.

Zmiešané U-P prvky

Kým metódy B-bar a F-bar korigujú objemovú zložku v rámci formulácie založenej na posunutiach, zmiešaný prvok u-p (U-P) používa zmiešanú formuláciu [Bathe1996], ktorá zavádza tlak \(\lambda\) ako neznáme pole nezávislé od posunutia. Pri takmer nestlačiteľných materiáloch, napríklad gumovitých materiáloch s Poissonovým číslom veľmi blízkym 0.5 alebo kovoch po plastickej deformácii, vynútenie podmienky konštantného objemu iba pomocou poľa posunutia spôsobuje objemové blokovanie; zavedenie tlaku ako nezávislej premennej túto väzbu uvoľní.

Napätie sa rozdelí na deviátorovú a tlakovú zložku

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} + \lambda\,\boldsymbol{I}, \qquad \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} = \mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\,\boldsymbol{\varepsilon} \]

Tu \(\mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\) je deviátorová elastická matica získaná odstránením objemovej časti úmernej objemovému modulu \(K\) z elastickej matice. Tlak \(\lambda\) a objemové pretvorenie \(g = \mathrm{tr}\,\boldsymbol{\varepsilon}\) sú previazané podmienkou prostredníctvom stlačiteľnosti \(\alpha^{-1} = 1/K\)

\[ g - \alpha^{-1}\lambda = 0 \]

Diskretizácia s posunutím \(\boldsymbol{u}\) a tlakom \(\lambda\) ako neznámymi vedie k spojenej sústave prvku

\[ \begin{bmatrix} \mathbf{K}_{uu} & \mathbf{K}_{up} \\ \mathbf{K}_{up}^{T} & \mathbf{K}_{pp} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u} \\ d\lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{f}_{u} \\ \boldsymbol{f}_{p} \end{bmatrix} \]

kde \(\mathbf{K}_{uu}\) obsahuje deviátorový elastický príspevok a pri konečnej deformácii geometrickú tuhosť; \(\mathbf{K}_{up}\) spája objemové pretvorenie s tlakom; a \(\mathbf{K}_{pp} = -\int \alpha^{-1}\,\boldsymbol{N}_p \boldsymbol{N}_p^{T}\,dV\) je stabilizačný člen tlaku (\(\boldsymbol{N}_p\) je tvarová funkcia tlaku). Keďže tlakové stupne voľnosti sú vnútorné pre prvok,

\[ \mathbf{K}_{\mathrm{eff}} = \mathbf{K}_{uu} - \mathbf{K}_{up}\,\mathbf{K}_{pp}^{-1}\,\mathbf{K}_{up}^{T} \]

vykoná sa statická kondenzácia v tomto tvare a efektívna tuhosť obsahujúca iba vonkajšie (posunové) stupne voľnosti sa odovzdá do globálneho zostavenia.

FrontISTR implementuje U-P prvok špecificky pre 8-uzlový lineárny hexaéder s jedným tlakovým stupňom voľnosti na prvok (konštantným v rámci prvku). Možno ho použiť pri malých deformáciách aj vo formuláciách Total Lagrange a Updated Lagrange. V Updated Lagrange sa deviátorové napätie aktualizuje pomocou objektívnej rýchlosti napätia (typ Jaumann/Hughes-Winget) a tlak \(\lambda\,\boldsymbol{I}\) sa potom uloží pomocou hodnoty získanej statickou kondenzáciou.

Škrupinové prvky

Škrupinové prvky založené na Reissner-Mindlinovej teórii dosiek/škrupín sa používajú pre tenkostenné doskové a škrupinové konštrukcie. S klesajúcou hrúbkou nízkostupňové prvky založené na posunutiach nadhodnocujú priečne šmykové pretvorenie mechanizmom analogickým objemovému blokovaniu (šmykové blokovanie), takže ohybová tuhosť rastie nadmerne. Metóda MITC (Mixed Interpolation of Tensorial Components) [Dvorkin1984] [Bathe1986] sa tomuto problému vyhýba tak, že iba zložky šmykového pretvorenia znovu vyhodnotí v preddefinovaných väzbových bodoch prvku a tieto hodnoty interpoluje späť po prvku.

Uzly škrupinového prvku MITC ležia na strednicovej ploche a každý uzol má šesť stupňov voľnosti: tri translačné zložky a tri rotačné zložky vzhľadom na súradnicový systém normály strednicovej plochy. Tuhosť prvku sa vyhodnocuje trojrozmernou Gaussovou integráciou cez prirodzené súradnice strednicovej plochy a smer hrúbky; hrúbka \(h\) sa pri konštitutívnom vyhodnotení dodáva ako vlastnosť prvku.

FrontISTR poskytuje MITC3 (ID prvku 731), MITC4 (741) a MITC9 (743), reprezentované jednou vrstvou strednicovej plochy, ako aj vrstvené škrupinové prvky MITC3-shell361 (761, 3\(\times\)2 uzly, 3 stupne voľnosti na uzol) a MITC4-shell361 (781, 4\(\times\)2 uzly, 3 stupne voľnosti na uzol), ktorých uzly sú usporiadané v dvoch vrstvách cez hrúbku. Pri vrstvených škrupinových prvkoch pozostávajú uzlové stupne voľnosti iba z troch translačných zložiek a ohybové módy zodpovedajúce rotačným stupňom voľnosti reprezentuje dvojvrstvové usporiadanie.

Nosníkové prvky

Prútové členy, napríklad nosníky a rámové konštrukcie, sa diskretizujú nosníkovými prvkami. Nosníkové prvky reprezentujú predĺženie, ohyb a krut iba pomocou translácií a rotácií uzlov na osi nosníka, pričom deformácia v priereze je reprezentovaná prierezovými konštantami.

Každý uzol nosníka má šesť stupňov voľnosti: tri translačné a tri rotačné zložky. Tuhosť prvku sa získa zostavením matíc tuhosti v uzavretom tvare pre predĺženie, ohyb v dvoch smeroch a krut v lokálnom súradnicovom systéme definovanom osou prvku a referenčnou osou zadanou v údajoch prierezu a následnou transformáciou do globálneho súradnicového systému. Plocha prierezu \(A\), druhé momenty plochy \(I_y\) a \(I_z\) okolo lokálnych osí \(y\) a \(z\) a torzná konštanta sa zadávajú ako údaje prierezu; spolu s Youngovým modulom \(E\) materiálu a modulom šmyku \(G\) odvodeným z Youngovho modulu a Poissonovho pomeru určujú príslušné koeficienty tuhosti.

Pre ohyb sú dostupné dve formulácie: Bernoulliho-Eulerov nosník, ktorý predpokladá, že prierez zostáva po deformácii kolmý na os nosníka a zanedbáva šmykovú deformáciu, a Timoshenkov nosník, ktorý šmykovú deformáciu zohľadňuje. Obe možno zvoliť pre dvojuzlový nosníkový prvok 611, pričom predvolený je Bernoulliho-Eulerov nosník. Pre Timoshenkov nosník s dĺžkou prvku \(L\) sa koeficienty vyjadrujúce príspevok šmykovej deformácie

\[ \Phi_y = \frac{12 E I_z}{G A_s L^2}, \qquad \Phi_z = \frac{12 E I_y}{G A_s L^2} \]

zahŕňajú do koeficientov tuhosti pre príslušné roviny ohybu. Napríklad koeficient tuhosti pre priehyb v lokálnom smere \(y\) je \(12 E I_z / \{ L^3 (1 + \Phi_y) \}\). Tu \(A_s\) je šmyková plocha. Keďže údaje prierezu FrontISTR neuvádzajú \(A_s\) samostatne, používa sa \(A_s = A\). To zodpovedá šmykovému korekčnému faktoru 1. Nastavením \(\Phi_y = \Phi_z = 0\) sa získa tuhosť Bernoulliho-Eulerovho nosníka.

Prvok 641 je prvok so zmiešanými stupňami voľnosti, ktorý reprezentuje nosník pomocou dvoch uzlov s translačnými stupňami voľnosti a dvoch uzlov s rotačnými stupňami voľnosti, a je formulovaný ako Bernoulliho-Eulerov nosník.

Súvisiace témy