Preskočiť na obsah

Translation update pending

The Slovak translation may be out of date because the Japanese source has changed. The existing translation remains available while it is being updated.

Zoznam symbolov fyzikálnych veličín

Táto stránka uvádza symboly fyzikálnych veličín používaných v teoretickej príručke FrontISTR. Konvencie zápisu (tučné písmo pre vektory a tenzory, Einsteinova sumačná konvencia a Voigtov zápis) nájdete v časti Tenzorový zápis a matematické základy.

Konfigurácie a súradnicové systémy

Symbol Opis
\(\boldsymbol{X}\) Polohový vektor materiálového bodu v referenčnej (počiatočnej) konfigurácii (materiálové súradnice)
\(\boldsymbol{x}\) Polohový vektor materiálového bodu v aktuálnej konfigurácii (priestorové súradnice)
\(\phi(\boldsymbol{X}, t)\) Zobrazenie pohybu: \(\boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t)\)
\(\Omega_0\) Oblasť zaberaná telesom v referenčnej konfigurácii
\(\Omega\) Oblasť zaberaná telesom v aktuálnej konfigurácii
\(\Gamma_0\) Hranica \(\Omega_0\)
\(\Gamma\) Hranica \(\Omega\)
\(\Gamma_B, \Gamma_{0B}\) Geometrická (posunová) hranica: hranica v aktuálnej/referenčnej konfigurácii, na ktorej je predpísané \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\)
\(\Gamma_t, \Gamma_{0t}\) Mechanická hranica: hranica v aktuálnej/referenčnej konfigurácii, na ktorej je predpísané \(\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) (alebo \(\boldsymbol{P}\boldsymbol{N} = \bar{\boldsymbol{t}}\))
\(\boldsymbol{n}\) Vonkajší jednotkový normálový vektor k ploche v aktuálnej konfigurácii
\(\boldsymbol{N}\) Vonkajší jednotkový normálový vektor k ploche v referenčnej konfigurácii
\(t\) Čas

Konvencia: Fyzikálne veličiny v referenčnej konfigurácii sa označujú veľkými písmenami alebo dolným indexom \(0\), zatiaľ čo veličiny v aktuálnej konfigurácii sa označujú malými písmenami.

Čas a prírastky (prírastková analýza)

Symbol Opis
\(\Delta t\) Časový prírastok: \(\Delta t = t_{n+1} - t_n\)
\(^{t}(\cdot)\) Fyzikálna veličina v čase \(t\) (ľavý horný index). Príklad: \(^{t}\boldsymbol{\sigma}\) je Cauchyho napätie v čase \(t\)
\(^{t}\Omega\) Oblasť aktuálnej konfigurácie v čase \(t\)
\(^{t}\Gamma\) Hranica aktuálnej konfigurácie v čase \(t\)

Konvencia: V prírastkovej analýze sa stav do času \(t\) považuje za známy a stav v čase \(t + \Delta t\) sa rieši ako neznámy. Ľavý horný index sa vynecháva, ak čas netreba uvádzať explicitne. Formulácia, ktorá používa referenčnú konfiguráciu \(\Omega_0\) ako referenciu, sa nazýva formulácia Total Lagrange, zatiaľ čo formulácia, ktorá ako referenciu používa aktuálnu konfiguráciu \(^{t}\Omega\) na začiatku prírastku, sa nazýva formulácia Updated Lagrange.

Posunutie, rýchlosť, zrýchlenie a objemová sila

Symbol Opis
\(\boldsymbol{u}\) Vektor posunutia: \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\)
\(\bar{\boldsymbol{u}}\) Posunutie predpísané na geometrickej hranici \(\Gamma_B\)
\(\delta \boldsymbol{u}\) Virtuálne posunutie (testovacia funkcia): \(\delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) na \(\Gamma_B\)
\(\boldsymbol{v}\) Vektor rýchlosti: \(\boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}\)
\(\boldsymbol{a}\) Vektor zrýchlenia: \(\boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}}\)
\(\boldsymbol{g}\) Objemová sila (na jednotku hmotnosti)
\(\boldsymbol{t}\) Vektor povrchového zaťaženia (na jednotku plochy): \(\boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\)
\(\bar{\boldsymbol{t}}\) Povrchové zaťaženie predpísané na mechanickej hranici \(\Gamma_t\) (Neumannove údaje)

Diferenciálne operátory

Symbol Opis
\(\dot{(\cdot)}\) Materiálová časová derivácia (časová derivácia sledujúca ten istý materiálový bod): \(\dot{A} \equiv DA/Dt\)
\(\nabla_X\) Gradient v referenčnej konfigurácii (gradient podľa materiálových súradníc \(\boldsymbol{X}\)): \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\)
\(\nabla_x\) Gradient v aktuálnej konfigurácii (gradient podľa priestorových súradníc \(\boldsymbol{x}\)): \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\)
\(\nabla_S\) Symetrický gradientový operátor: \(\nabla_S \boldsymbol{u} = \tfrac{1}{2}(\nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T)\)

Poznámka: \(\nabla_X\) a \(\nabla_x\) sú prepojené vzťahom \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). Gradient bez dolného indexu, \(\nabla\), sa používa, keď je konfigurácia z kontextu zrejmá alebo keď rozdiel zaniká, napríklad pri problémoch s malými deformáciami.

Tenzory deformácie

Symbol Opis
\(\boldsymbol{F}\) Tenzor gradientu deformácie: \(F_{ij} = \partial x_i / \partial X_j\)
\(J\) Objemový pomer: \(J = dv/dV = \det \boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{C}\) Pravý Cauchyho-Greenov tenzor deformácie: \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{b}\) Ľavý Cauchyho-Greenov tenzor deformácie: \(\boldsymbol{b} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T\)
\(\boldsymbol{L}\) Tenzor gradientu rýchlosti: \(L_{ij} = \partial v_i / \partial x_j = \dot{F}_{ik}F^{-1}_{kj}\)
\(\boldsymbol{D}\) Tenzor rýchlosti deformácie (symetrická časť \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{D} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}+\boldsymbol{L}^T)\)
\(\boldsymbol{W}\) Tenzor rotácie (antisymetrická časť \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{W} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}^T)\)

Tenzory pretvorenia

Symbol Opis
\(\boldsymbol{E}\) Greenov-Lagrangeov tenzor pretvorenia (referenčná konfigurácia): \(\boldsymbol{E} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{I})\)
\(\boldsymbol{e}\) Almansiho tenzor pretvorenia (aktuálna konfigurácia): \(\boldsymbol{e} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{b}^{-1})\)
\(\boldsymbol{A}_{(L)}\) Lineárna časť Almansiho tenzora pretvorenia (symetrický gradient posunutia v aktuálnej konfigurácii): \(\boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T)\)
\(\boldsymbol{\varepsilon}\) Tenzor infinitezimálneho pretvorenia (lineárna aproximácia): \(\varepsilon_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i/\partial x_j + \partial u_j/\partial x_i)\)

Poznámka: \(\boldsymbol{E}\) sa používa predovšetkým vo formulácii Total Lagrange, zatiaľ čo \(\boldsymbol{D}\) sa používa predovšetkým vo formulácii Updated Lagrange.

Tenzory napätia

Symbol Opis
\(\boldsymbol{\sigma}\) Cauchyho tenzor napätia (skutočné napätie, aktuálna konfigurácia): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\,d\Gamma\)
\(\boldsymbol{P}\) Prvý Piolov-Kirchhoffov tenzor napätia (nominálne napätie): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\)
\(\boldsymbol{S}\) Druhý Piolov-Kirchhoffov tenzor napätia (referenčná konfigurácia, symetrický): \(\boldsymbol{F}^{-1}d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\)

Prevodové vzťahy medzi tenzormi napätia:

\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J}\boldsymbol{F}\boldsymbol{S}\boldsymbol{F}^T = \frac{1}{J}\boldsymbol{P}\boldsymbol{F}^T \]

Konvencia: Formulácia Total Lagrange používa dvojicu \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\), zatiaľ čo formulácia Updated Lagrange používa dvojicu \((\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{D})\).

Hustota a hmotnosť

Symbol Opis
\(\rho\) Hustota hmotnosti v aktuálnej konfigurácii
\(\rho_0\) Hustota hmotnosti v referenčnej konfigurácii

Zákon zachovania hmotnosti: \(\rho_0 = J\rho\).

Materiálové konštanty (lineárna elasticita)

Symbol Opis
\(E\) Youngov modul
\(\nu\) Poissonovo číslo
\(\lambda\) Prvá Lamého konštanta: \(\lambda = E\nu / [(1+\nu)(1-2\nu)]\)
\(\mu\) Druhá Lamého konštanta (modul šmyku): \(\mu = E / [2(1+\nu)]\)
\(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) Tenzor elasticity (štvrtého rádu): \(\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{E}\), zložky \(C_{ijkl}\)
\(D\) (or \(\hat{\tilde{C}}\)) Materiálová matica (Voigtov zápis, \(6\times6\) v 3D): \(\hat{\sigma} = D\,\hat{\varepsilon}\)

Zložky tenzora elasticity pre izotropný lineárne elastický materiál:

\[ C_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk}) \]

Hyperelastické materiály

Symbol Opis
\(W(\boldsymbol{C})\) Funkcia elastického potenciálu (funkcia hustoty deformačnej energie)
\(I_1, I_2, I_3\) Hlavné invarianty pravého Cauchyho-Greenovho tenzora \(\boldsymbol{C}\)
\(\tilde{I}_1, \tilde{I}_2, \tilde{I}_3\) Redukované invarianty \(\boldsymbol{C}\) (oddelená objemová zmena)
\(C_1, C_2\) Materiálové konštanty Mooneyho-Rivlinovho modelu
\(D\) Materiálová konštanta súvisiaca s objemovou elasticitou

Elastoplastické materiály

Symbol Opis
\(\boldsymbol{D}^e\) Elastická zložka tenzora rýchlosti deformácie
\(\boldsymbol{D}^p\) Plastická zložka tenzora rýchlosti deformácie
\(F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa)\) Funkcia klzu
\(\kappa\) Vnútorná premenná reprezentujúca plastický stav (premenná izotropného spevnenia)
\(\lambda^p\) Plastický multiplikátor (multiplikátor rýchlosti plastického pretvorenia): \(\lambda^p \geq 0\)
\(\Theta\) Plastický potenciál (\(\Theta = F\) pre asociované pravidlo toku)
\(\bar{\sigma}\) Ekvivalentné napätie (napr. von Misesovo napätie)
\(\bar{\varepsilon}^p\) Ekvivalentné plastické pretvorenie
\(H(\bar{\varepsilon}^p)\) Funkcia izotropného spevnenia

Podmienka komplementarity: \(\lambda^p F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa) = 0\), \(\lambda^p \geq 0\), \(F \leq 0\).

Metóda konečných prvkov

Symbol Opis
\(\Omega^h, \Omega_0^h\) Oblasti v aktuálnej a referenčnej konfigurácii aproximované diskretizáciou metódou konečných prvkov: \(\Omega^h = \bigcup_e \Omega^e\)
\(\Omega^e, \Omega^e_0\) Oblasť prvku v aktuálnej a referenčnej konfigurácii
\(\Gamma^e_t, \Gamma^e_{0t}\) Časť hranice prvku patriaca k mechanickej hranici
\(\boldsymbol{r}\) Prirodzené súradnice (lokálne súradnice prvku)
\(\boldsymbol{r}_\alpha\) Bod v prirodzených súradniciach zodpovedajúci uzlu \(\alpha\)
\(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) Tvarová funkcia zodpovedajúca uzlu \(\alpha\) prvku \(e\)
\(n_e\) Počet uzlov tvoriacich prvok
\(n_g\) Celkový počet globálnych uzlov
\(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) Súradnice a posunutie uzla prvku \(\alpha\)
\(\boldsymbol{X}^e, \boldsymbol{u}^e\) Vektory uzlových súradníc a posunutí prvku: \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\), atď.
\(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) Globálne vektory uzlových súradníc a posunutí (usporiadané podľa čísla uzla a potom podľa stupňa voľnosti)
\(\boldsymbol{B}\) Matica vzťahu pretvorenie-posunutie (B-matica)
\(\boldsymbol{N}_\alpha, \boldsymbol{N}\) Matica tvarových funkcií: \(\boldsymbol{N}_\alpha\) je blok \(d \times d\) s tvarovou funkciou \(N_\alpha^e\) pre uzol \(\alpha\) na diagonále a \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\). \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\)
\(\boldsymbol{K}^e\) Matica tuhosti prvku
\(\boldsymbol{K}^e_X, \boldsymbol{K}^e_x\) Integrandy matice tuhosti prvku (vyjadrené v referenčnej a aktuálnej konfigurácii): \(\boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv\)
\(\boldsymbol{Q}^e\) (formulácia TL), \(\boldsymbol{q}^e\) (formulácia UL) Vektor vnútorných síl prvku
\(\boldsymbol{F}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e\) Vonkajšia uzlová sila pôsobiaca na uzol prvku \(\alpha\) a vektor vonkajších uzlových síl prvku: \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\)
\(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) Globálny vektor vnútorných síl a globálny vektor vonkajších síl: \(\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T\); analogicky pre \(\boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{Q}_{i_g}, \boldsymbol{F}_{i_g}\) Vnútorná uzlová sila a vonkajšia uzlová sila v globálnom uzle \(i_g\) (uzlové bloky \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\))
\(\boldsymbol{K}\) Globálna tangenciálna matica tuhosti: \(\boldsymbol{K} = \partial \boldsymbol{Q}/\partial \boldsymbol{u}\). Matica vytvorená umiestnením bloku \(3\times 3\) \(\boldsymbol{K}_{i_gi_h}\) do riadka \(i_g\), stĺpca \(i_h\)
\(\boldsymbol{R}_i\) Vektor rezídua v Newtonovej-Raphsonovej iterácii: \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\)
\(d\boldsymbol{u}_i\) Korekcia v Newtonovej-Raphsonovej iterácii (získaná riešením lineárnej rovnice \(\boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}\) v iterácii \(i\))
\(i_g\) Globálne číslo uzla (\(1 \leq i_g \leq n_g\))
\(\mathrm{gdx}(e, \alpha)\) Globálne číslo uzla zodpovedajúce lokálnemu číslu uzla \(\alpha\) prvku \(e\): \(\mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\)
\(\mathcal{E}(i_g)\) Množina dvojíc \((e, \alpha)\) zodpovedajúcich globálnemu číslu uzla \(i_g\): \(\mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \}\). Používa sa pri operáciách zostavovania
\(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) Množina trojíc \((e, \alpha, \beta)\) zodpovedajúcich dvojici globálnych čísel uzlov \((i_g, i_h)\); používa sa pri zostavovaní matice tuhosti
\(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) Indexy uzlov tvoriacich prvok
\(i, j, k, l, \ldots\) Indexy stupňov voľnosti (\(1, 2, 3\) v 3D)

Pokročilé a konštrukčné prvky

Symbol Opis
\(\bar{\boldsymbol{B}}\) Matica vzťahu pretvorenie-posunutie s objemovou časťou upravenou metódou B-bar (objemová zložka je nahradená B-maticou vyhodnotenou v strede prvku)
\(\bar{\boldsymbol{F}}\) Gradient deformácie s objemovou časťou upravenou metódou F-bar: \(\bar{\boldsymbol{F}} = (J_0/J)^{1/3} \boldsymbol{F}\)
\(J_0\) Objemový pomer gradientu deformácie vyhodnoteného v strede prvku \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\): \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\)
\(\boldsymbol{\alpha}\) Vektor vnútorných stupňov voľnosti prvku s nekompatibilnými módmi (koeficienty dodatočných módov posunutia, ktoré nevynucujú spojitosť na hranici prvku)
\(M_k(\boldsymbol{r})\) Tvarové funkcie pre nekompatibilné módy: \(M_1=1-\xi^2\), \(M_2=1-\eta^2\), \(M_3=1-\zeta^2\)
\(h\) Hrúbka škrupinového prvku
\(A\) Plocha prierezu nosníkového prvku
\(I\) Druhý moment plochy prierezu nosníkového prvku (okolo lokálnych osí \(y\) a \(z\) sa označuje ako \(I_y\) a \(I_z\))
\(G\) Modul šmyku: \(G = E/[2(1+\nu)]\)
\(L\) Dĺžka nosníkového prvku
\(A_s\) Šmyková plocha prierezu nosníkového prvku (vo FrontISTR sa používa \(A_s = A\))
\(\Phi_y, \Phi_z\) Koeficienty vyjadrujúce príspevok šmykovej deformácie Timoshenkovho nosníka: \(\Phi_y = 12EI_z/(GA_sL^2)\), \(\Phi_z = 12EI_y/(GA_sL^2)\)

Súvisiace témy