Zoznam symbolov fyzikálnych veličín
Táto stránka uvádza symboly fyzikálnych veličín používaných v teoretickej príručke FrontISTR. Konvencie zápisu (tučné písmo pre vektory a tenzory, Einsteinova sumačná konvencia a Voigtov zápis) nájdete v časti Tenzorový zápis a matematické základy.
Konfigurácie a súradnicové systémy
| Symbol | Opis |
| \(\boldsymbol{X}\) | Polohový vektor materiálového bodu v referenčnej (počiatočnej) konfigurácii (materiálové súradnice) |
| \(\boldsymbol{x}\) | Polohový vektor materiálového bodu v aktuálnej konfigurácii (priestorové súradnice) |
| \(\phi(\boldsymbol{X}, t)\) | Zobrazenie pohybu: \(\boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t)\) |
| \(\Omega_0\) | Oblasť zaberaná telesom v referenčnej konfigurácii |
| \(\Omega\) | Oblasť zaberaná telesom v aktuálnej konfigurácii |
| \(\Gamma_0\) | Hranica \(\Omega_0\) |
| \(\Gamma\) | Hranica \(\Omega\) |
| \(\Gamma_B, \Gamma_{0B}\) | Geometrická (posunová) hranica: hranica v aktuálnej/referenčnej konfigurácii, na ktorej je predpísané \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) |
| \(\Gamma_t, \Gamma_{0t}\) | Mechanická hranica: hranica v aktuálnej/referenčnej konfigurácii, na ktorej je predpísané \(\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) (alebo \(\boldsymbol{P}\boldsymbol{N} = \bar{\boldsymbol{t}}\)) |
| \(\boldsymbol{n}\) | Vonkajší jednotkový normálový vektor k ploche v aktuálnej konfigurácii |
| \(\boldsymbol{N}\) | Vonkajší jednotkový normálový vektor k ploche v referenčnej konfigurácii |
| \(t\) | Čas |
Konvencia: Fyzikálne veličiny v referenčnej konfigurácii sa označujú veľkými písmenami alebo dolným indexom \(0\), zatiaľ čo veličiny v aktuálnej konfigurácii sa označujú malými písmenami.
Čas a prírastky (prírastková analýza)
| Symbol | Opis |
| \(\Delta t\) | Časový prírastok: \(\Delta t = t_{n+1} - t_n\) |
| \(^{t}(\cdot)\) | Fyzikálna veličina v čase \(t\) (ľavý horný index). Príklad: \(^{t}\boldsymbol{\sigma}\) je Cauchyho napätie v čase \(t\) |
| \(^{t}\Omega\) | Oblasť aktuálnej konfigurácie v čase \(t\) |
| \(^{t}\Gamma\) | Hranica aktuálnej konfigurácie v čase \(t\) |
Konvencia: V prírastkovej analýze sa stav do času \(t\) považuje za známy a stav v čase \(t + \Delta t\) sa rieši ako neznámy. Ľavý horný index sa vynecháva, ak čas netreba uvádzať explicitne. Formulácia, ktorá používa referenčnú konfiguráciu \(\Omega_0\) ako referenciu, sa nazýva formulácia Total Lagrange, zatiaľ čo formulácia, ktorá ako referenciu používa aktuálnu konfiguráciu \(^{t}\Omega\) na začiatku prírastku, sa nazýva formulácia Updated Lagrange.
Posunutie, rýchlosť, zrýchlenie a objemová sila
| Symbol | Opis |
| \(\boldsymbol{u}\) | Vektor posunutia: \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{u}}\) | Posunutie predpísané na geometrickej hranici \(\Gamma_B\) |
| \(\delta \boldsymbol{u}\) | Virtuálne posunutie (testovacia funkcia): \(\delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) on \(\Gamma_B\) |
| \(\boldsymbol{v}\) | Vektor rýchlosti: \(\boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}\) |
| \(\boldsymbol{a}\) | Vektor zrýchlenia: \(\boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}}\) |
| \(\boldsymbol{g}\) | Objemová sila (na jednotku hmotnosti) |
| \(\boldsymbol{t}\) | Vektor povrchového zaťaženia (na jednotku plochy): \(\boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{t}}\) | Povrchové zaťaženie predpísané na mechanickej hranici \(\Gamma_t\) (Neumannove údaje) |
Diferenciálne operátory
| Symbol | Opis |
| \(\dot{(\cdot)}\) | Materiálová časová derivácia (časová derivácia sledujúca ten istý materiálový bod): \(\dot{A} \equiv DA/Dt\) |
| \(\nabla_X\) | Gradient v referenčnej konfigurácii (gradient podľa materiálových súradníc \(\boldsymbol{X}\)): \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\) |
| \(\nabla_x\) | Gradient v aktuálnej konfigurácii (gradient podľa priestorových súradníc \(\boldsymbol{x}\)): \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\) |
| \(\nabla_S\) | Symetrický gradientový operátor: \(\nabla_S \boldsymbol{u} = \tfrac{1}{2}(\nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T)\) |
Poznámka: \(\nabla_X\) a \(\nabla_x\) sú prepojené vzťahom \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). Gradient bez dolného indexu, \(\nabla\), sa používa, keď je konfigurácia z kontextu zrejmá alebo keď rozdiel zaniká, napríklad pri problémoch s malými deformáciami.
| Symbol | Opis |
| \(\boldsymbol{F}\) | Tenzor gradientu deformácie: \(F_{ij} = \partial x_i / \partial X_j\) |
| \(J\) | Objemový pomer: \(J = dv/dV = \det \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{C}\) | Pravý Cauchyho-Greenov tenzor deformácie: \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{b}\) | Ľavý Cauchyho-Greenov tenzor deformácie: \(\boldsymbol{b} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T\) |
| \(\boldsymbol{L}\) | Tenzor gradientu rýchlosti: \(L_{ij} = \partial v_i / \partial x_j = \dot{F}_{ik}F^{-1}_{kj}\) |
| \(\boldsymbol{D}\) | Tenzor rýchlosti deformácie (symetrická časť \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{D} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}+\boldsymbol{L}^T)\) |
| \(\boldsymbol{W}\) | Tenzor rotácie (antisymetrická časť \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{W} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}^T)\) |
Tenzory pretvorenia
| Symbol | Opis |
| \(\boldsymbol{E}\) | Greenov-Lagrangeov tenzor pretvorenia (referenčná konfigurácia): \(\boldsymbol{E} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{I})\) |
| \(\boldsymbol{e}\) | Almansiho tenzor pretvorenia (aktuálna konfigurácia): \(\boldsymbol{e} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{b}^{-1})\) |
| \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) | Lineárna časť Almansiho tenzora pretvorenia (symetrický gradient posunutia v aktuálnej konfigurácii): \(\boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T)\) |
| \(\boldsymbol{\varepsilon}\) | Tenzor infinitezimálneho pretvorenia (lineárna aproximácia): \(\varepsilon_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i/\partial x_j + \partial u_j/\partial x_i)\) |
Poznámka: \(\boldsymbol{E}\) sa používa predovšetkým vo formulácii Total Lagrange, zatiaľ čo \(\boldsymbol{D}\) sa používa predovšetkým vo formulácii Updated Lagrange.
Tenzory napätia
| Symbol | Opis |
| \(\boldsymbol{\sigma}\) | Cauchyho tenzor napätia (skutočné napätie, aktuálna konfigurácia): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\,d\Gamma\) |
| \(\boldsymbol{P}\) | Prvý Piolov-Kirchhoffov tenzor napätia (nominálne napätie): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
| \(\boldsymbol{S}\) | Druhý Piolov-Kirchhoffov tenzor napätia (referenčná konfigurácia, symetrický): \(\boldsymbol{F}^{-1}d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
Prevodové vzťahy medzi tenzormi napätia:
\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J}\boldsymbol{F}\boldsymbol{S}\boldsymbol{F}^T = \frac{1}{J}\boldsymbol{P}\boldsymbol{F}^T \]
Konvencia: Formulácia Total Lagrange používa dvojicu \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\), zatiaľ čo formulácia Updated Lagrange používa dvojicu \((\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{D})\).
Hustota a hmotnosť
| Symbol | Opis |
| \(\rho\) | Hustota hmotnosti v aktuálnej konfigurácii |
| \(\rho_0\) | Hustota hmotnosti v referenčnej konfigurácii |
Zákon zachovania hmotnosti: \(\rho_0 = J\rho\).
Materiálové konštanty (lineárna elasticita)
| Symbol | Opis |
| \(E\) | Youngov modul |
| \(\nu\) | Poissonovo číslo |
| \(\lambda\) | Prvá Lamého konštanta: \(\lambda = E\nu / [(1+\nu)(1-2\nu)]\) |
| \(\mu\) | Druhá Lamého konštanta (modul šmyku): \(\mu = E / [2(1+\nu)]\) |
| \(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) | Tenzor elasticity (štvrtého rádu): \(\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{E}\), zložky \(C_{ijkl}\) |
| \(D\) (or \(\hat{\tilde{C}}\)) | Materiálová matica (Voigtov zápis, \(6\times6\) v 3D): \(\hat{\sigma} = D\,\hat{\varepsilon}\) |
Zložky tenzora elasticity pre izotropný lineárne elastický materiál:
\[ C_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk}) \]
Hyperelastické materiály
| Symbol | Opis |
| \(W(\boldsymbol{C})\) | Funkcia elastického potenciálu (funkcia hustoty deformačnej energie) |
| \(I_1, I_2, I_3\) | Hlavné invarianty pravého Cauchyho-Greenovho tenzora \(\boldsymbol{C}\) |
| \(\tilde{I}_1, \tilde{I}_2, \tilde{I}_3\) | Redukované invarianty \(\boldsymbol{C}\) (oddelená objemová zmena) |
| \(C_1, C_2\) | Materiálové konštanty Mooneyho-Rivlinovho modelu |
| \(D\) | Materiálová konštanta súvisiaca s objemovou elasticitou |
Elastoplastické materiály
| Symbol | Opis |
| \(\boldsymbol{D}^e\) | Elastická zložka tenzora rýchlosti deformácie |
| \(\boldsymbol{D}^p\) | Plastická zložka tenzora rýchlosti deformácie |
| \(F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa)\) | Funkcia klzu |
| \(\kappa\) | Vnútorná premenná reprezentujúca plastický stav (premenná izotropného spevnenia) |
| \(\lambda^p\) | Plastický multiplikátor (multiplikátor rýchlosti plastického pretvorenia): \(\lambda^p \geq 0\) |
| \(\Theta\) | Plastický potenciál (\(\Theta = F\) pre asociované pravidlo toku) |
| \(\bar{\sigma}\) | Ekvivalentné napätie (napr. von Misesovo napätie) |
| \(\bar{\varepsilon}^p\) | Ekvivalentné plastické pretvorenie |
| \(H(\bar{\varepsilon}^p)\) | Funkcia izotropného spevnenia |
Podmienka komplementarity: \(\lambda^p F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa) = 0\), \(\lambda^p \geq 0\), \(F \leq 0\).
Metóda konečných prvkov
| Symbol | Opis |
| \(\Omega^h, \Omega_0^h\) | Oblasti v aktuálnej a referenčnej konfigurácii aproximované diskretizáciou metódou konečných prvkov: \(\Omega^h = \bigcup_e \Omega^e\) |
| \(\Omega^e, \Omega^e_0\) | Oblasť prvku v aktuálnej a referenčnej konfigurácii |
| \(\Gamma^e_t, \Gamma^e_{0t}\) | Časť hranice prvku patriaca k mechanickej hranici |
| \(\boldsymbol{r}\) | Prirodzené súradnice (lokálne súradnice prvku) |
| \(\boldsymbol{r}_\alpha\) | Bod v prirodzených súradniciach zodpovedajúci uzlu \(\alpha\) |
| \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) | Tvarová funkcia zodpovedajúca uzlu \(\alpha\) prvku \(e\) |
| \(n_e\) | Počet uzlov tvoriacich prvok |
| \(n_g\) | Celkový počet globálnych uzlov |
| \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) | Súradnice a posunutie uzla prvku \(\alpha\) |
| \(\boldsymbol{X}^e, \boldsymbol{u}^e\) | Vektory uzlových súradníc a posunutí prvku: \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\), atď. |
| \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) | Globálne vektory uzlových súradníc a posunutí (usporiadané podľa čísla uzla a potom podľa stupňa voľnosti) |
| \(\boldsymbol{B}\) | Matica vzťahu pretvorenie-posunutie (B-matica) |
| \(\boldsymbol{N}_\alpha, \boldsymbol{N}\) | Matica tvarových funkcií: \(\boldsymbol{N}_\alpha\) je blok \(d \times d\) s tvarovou funkciou \(N_\alpha^e\) pre uzol \(\alpha\) na diagonále a \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\). \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\) |
| \(\boldsymbol{K}^e\) | Matica tuhosti prvku |
| \(\boldsymbol{K}^e_X, \boldsymbol{K}^e_x\) | Integrandy matice tuhosti prvku (vyjadrené v referenčnej a aktuálnej konfigurácii): \(\boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv\) |
| \(\boldsymbol{Q}^e\) (formulácia TL), \(\boldsymbol{q}^e\) (formulácia UL) | Vektor vnútorných síl prvku |
| \(\boldsymbol{F}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e\) | Vonkajšia uzlová sila pôsobiaca na uzol prvku \(\alpha\) a vektor vonkajších uzlových síl prvku: \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\) |
| \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) | Globálny vektor vnútorných síl a globálny vektor vonkajších síl: \(\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T\); analogicky pre \(\boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{Q}_{i_g}, \boldsymbol{F}_{i_g}\) | Vnútorná uzlová sila a vonkajšia uzlová sila v globálnom uzle \(i_g\) (uzlové bloky \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\)) |
| \(\boldsymbol{K}\) | Globálna tangenciálna matica tuhosti: \(\boldsymbol{K} = \partial \boldsymbol{Q}/\partial \boldsymbol{u}\). Matica vytvorená umiestnením bloku \(3\times 3\) \(\boldsymbol{K}_{i_gi_h}\) do riadka \(i_g\), stĺpca \(i_h\) |
| \(\boldsymbol{R}_i\) | Vektor rezídua v Newtonovej-Raphsonovej iterácii: \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\) |
| \(d\boldsymbol{u}_i\) | Korekcia v Newtonovej-Raphsonovej iterácii (získaná riešením lineárnej rovnice \(\boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}\) v iterácii \(i\)) |
| \(i_g\) | Globálne číslo uzla (\(1 \leq i_g \leq n_g\)) |
| \(\mathrm{gdx}(e, \alpha)\) | Globálne číslo uzla zodpovedajúce lokálnemu číslu uzla \(\alpha\) prvku \(e\): \(\mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\) |
| \(\mathcal{E}(i_g)\) | Množina dvojíc \((e, \alpha)\) zodpovedajúcich globálnemu číslu uzla \(i_g\): \(\mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \}\). Používa sa pri operáciách zostavovania |
| \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) | Množina trojíc \((e, \alpha, \beta)\) zodpovedajúcich dvojici globálnych čísel uzlov \((i_g, i_h)\); používa sa pri zostavovaní matice tuhosti |
| \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) | Indexy uzlov tvoriacich prvok |
| \(i, j, k, l, \ldots\) | Indexy stupňov voľnosti (\(1, 2, 3\) v 3D) |
Pokročilé a konštrukčné prvky
| Symbol | Opis |
| \(\bar{\boldsymbol{B}}\) | Matica vzťahu pretvorenie-posunutie s objemovou časťou upravenou metódou B-bar (objemová zložka je nahradená B-maticou vyhodnotenou v strede prvku) |
| \(\bar{\boldsymbol{F}}\) | Gradient deformácie s objemovou časťou upravenou metódou F-bar: \(\bar{\boldsymbol{F}} = (J_0/J)^{1/3} \boldsymbol{F}\) |
| \(J_0\) | Objemový pomer gradientu deformácie vyhodnoteného v strede prvku \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\): \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\) |
| \(\boldsymbol{\alpha}\) | Vektor vnútorných stupňov voľnosti prvku s nekompatibilnými módmi (koeficienty dodatočných módov posunutia, ktoré nevynucujú spojitosť na hranici prvku) |
| \(M_k(\boldsymbol{r})\) | Tvarové funkcie pre nekompatibilné módy: \(M_1=1-\xi^2\), \(M_2=1-\eta^2\), \(M_3=1-\zeta^2\) |
| \(h\) | Hrúbka škrupinového prvku |
| \(A\) | Plocha prierezu nosníkového prvku |
| \(I\) | Druhý moment plochy prierezu nosníkového prvku |
| \(G\) | Modul šmyku: \(G = E/[2(1+\nu)]\) |
Súvisiace témy