Preskočiť na obsah

Kritériá konvergencie

Ako podmienku na ukončenie Newton-Raphsonovej iterácie (Newtonova-Raphsonova metóda) používa FrontISTR dve bezrozmerné veličiny, a to kritérium normy rezídua a kritérium normy korekcie. Obe majú rovnakú definíciu bez ohľadu na typ analýzy (statická analýza, implicitná dynamická analýza) aj na prítomnosť kontaktu.

Rozdelenie posudzovaných veličín

Uzlové stupne voľnosti zahŕňajú zložky s rôznymi fyzikálnymi dimenziami. Pri prvku s 6 stupňami voľnosti má rezíduum translačných stupňov voľnosti dimenziu sily, zatiaľ čo rezíduum rotačných stupňov voľnosti má dimenziu momentu. Pri kontaktných analýzach metódou Lagrangeových multiplikátorov (Kontaktná analýza) sa k vektoru rezídua pridáva riadok zodpovedajúci kontaktnéj medzere (dimenzia dĺžky).

Ak by sa tieto zložky zlúčili do jedného súčtu štvorcov, hodnota normy by ľubovoľne závisela od voľby jednotkového sústavy a význam prahovej hodnoty by nebolo možné jednoznačne určiť. Preto FrontISTR rozdeľuje posudzované veličiny podľa dimenzie, každú z nich normalizuje na bezrozmernú veličinu príslušnou referenčnou veličinou a až potom vykoná posúdenie.

Symbol Zložka Dimenzia
\(\tilde{\boldsymbol{R}}_t\) Rezíduum translačných stupňov voľnosti (uzlové stupne voľnosti 1–3) Sila
\(\tilde{\boldsymbol{R}}_r\) Rezíduum rotačných stupňov voľnosti (uzlové stupne voľnosti 4–6, iba prvky s 6 stupňami voľnosti) Moment
\(d\boldsymbol{\lambda}\) Korekcia Lagrangeových multiplikátorov Sila

Tlakový stupeň voľnosti prvku s prepojením s tekutinou (4 uzlové stupne voľnosti, \(u,v,w,p\)) sa do posúdenia nezahŕňa.

Pri nosníkových a škrupinových prvkoch s 3 uzlovými stupňami voľnosti (641/761/781) sa rotácia vyjadruje stupňami voľnosti 1–3 fiktívneho uzla, ktorý tvorí pár s translačným uzlom. Keďže posúdenie fiktívne uzly nerozlišuje, rezíduum fiktívnych uzlov (moment) je tiež zahrnuté v translačnej zložke \(\tilde{\boldsymbol{R}}_t\). To isté platí pre kritérium normy korekcie aj pre posúdenie podľa maximálnej hodnoty.

Rezíduum \(\tilde{\boldsymbol{R}}\) neobsahuje zložky stupňov voľnosti, ktorým je uvalené obmedzenie posunutia. Rezíduum, ktoré sa na týchto stupňoch voľnosti prejavuje, zodpovedá reakčným silám obmedzenia a nejde o chybu rovnováhy (Newtonova-Raphsonova metóda).

Kritérium normy rezídua

Rezíduum \(\tilde{\boldsymbol{R}}_i\) \(i\)-tej iterácie sa normalizuje do bezrozmerného tvaru veľkosťou síl pôsobiacich v danom čase v systéme. Referenčnú silu \(F_\mathrm{ref}\) pre translačnú zložku a referenčný moment \(M_\mathrm{ref}\) pre rotačnú zložku definujeme ako

\[ F_\mathrm{ref} = \max\left( \|\boldsymbol{Q}_t\|,\ \|\boldsymbol{D}_t\| \right), \qquad M_\mathrm{ref} = \max\left( \|\boldsymbol{Q}_r\|,\ \|\boldsymbol{D}_r\| \right) \]

kde \(\boldsymbol{Q}\) je vektor vnútorných síl a \(\boldsymbol{D}\) je súčet vzťažných a viskóznych síl

\[ \boldsymbol{D} = \boldsymbol{M}\ddot{\boldsymbol{u}}_{n+1} + \boldsymbol{C}\dot{\boldsymbol{u}}_{n+1} \]

(dynamická analýza). Pri statickej analýze platí \(\boldsymbol{D} = \boldsymbol{0}\). Indexy \(t, r\) označujú translačnú resp. rotačnú zložku definovanú v predchádzajúcej sekcii. Posudzovaná veličina je

\[ \frac{\|\tilde{\boldsymbol{R}}_{i,t}\|}{F_\mathrm{ref}} < \varepsilon_f, \qquad \frac{\|\tilde{\boldsymbol{R}}_{i,r}\|}{M_\mathrm{ref}} < \varepsilon_f \]

Referenčnú silu aj referenčný moment volíme ako najväčšiu hodnotu noriem vnútorných síl, resp. vzťažných a viskóznych síl, a nie ako ich vektorový súčet \(\|\boldsymbol{Q} + \boldsymbol{D}\|\). Dôvodom je, že pri voľnom kmitaní bez pôsobenia vonkajších síl platí v rovnovážnom stave \(\boldsymbol{Q} = -\boldsymbol{D}\) a referenčná veličina založená na vektorovom súčte by klesla na \(0\). Pri najväčšej hodnote noriem k takémuto vyrušeniu nedôjde.

Ak referenčná veličina klesne pod vopred stanovenú dolnú hranicu (\(10^{-8}\)) (napríklad pri prvej iterácii začatej zo stavu bez zaťaženia), nelíme referenčnou veličinou, ale posudzovanou veličinou je samotná norma rezídua. Posúdenie sa vtedy vykonáva podľa absolútnej hodnoty rezídua.

Kritérium normy korekcie

Korekciu \(d\boldsymbol{u}_i\) získanú v \(i\)-tej iterácii normalizujeme prírastkom posunutia \(\Delta\boldsymbol{u}\) nahromadeným do tej doby v danom podkroku.

\[ \frac{\|d\boldsymbol{u}_{i,t}\|}{\|\Delta\boldsymbol{u}_t\|} < \varepsilon_d, \qquad \frac{\|d\boldsymbol{u}_{i,r}\|}{\|\Delta\boldsymbol{u}_r\|} < \varepsilon_d \]

Dostatočne malá korekcia vzhľadom na kumulatívny prírastok znamená, že iterácia dosiahla stacionárny stav. Toto kritérium sa používa ako doplňujúce posúdenie pre úlohy, pri ktorých rezíduum klesá len pomaly. Ak je menovateľ \(0\), považuje sa kritérium za nesplnené.

Kritérium Lagrangeových multiplikátorov

Pri kontaktných analýzach metódou Lagrangeových multiplikátorov sa do posúdenia pridáva kritérium, v ktorom je korekcia multiplikátorov normalizovaná veľkosťou samotných multiplikátorov

\[ \frac{\|d\boldsymbol{\lambda}_i\|}{\max\left( \|\boldsymbol{\lambda}\|,\ F_\mathrm{ref} \right)} < \varepsilon_\lambda \]

Keďže obmedzenie kontaktnéj medzery je do sústavy rovníc zahrnuté ako rovnica pre Lagrangeove multiplikátory, konvergencia multiplikátorov sa považuje za splnenie obmedzenia. Samotné rezíduum medzery, ktoré má dimenziu dĺžky, sa do kritéria normy rezídua nezahŕňa, pretože sa ho nedá sčítať s rezíduom síl.

Lagrangeove multiplikátory sú kontaktné sily a majú rovnakú dimenziu ako referenčná sila \(F_\mathrm{ref}\), preto sa menovateľ zospodu obmedzuje hodnotou \(F_\mathrm{ref}\). Normalizácia iba \(\|\boldsymbol{\lambda}\|\) by viedla k neobmedzene prísnejšiemu posúdeniu v stave, keď kontakt takmer nepreberá zaťaženie, a navyše pri uzloch, ktoré práve vstúpili do kontaktu, by platilo \(\|\boldsymbol{\lambda}\| = 0\) a zároveň \(\|d\boldsymbol{\lambda}_i\| \neq 0\), takže by sa posúdenie nedalo splniť. Postup pri klesnutí menovateľa pod dolnú hranicu je rovnaký ako pri kritériu normy rezídua.

Posúdenie podľa maximálnej hodnoty

Keďže L2 norma je súčtom štvorcov všetkých stupňov voľnosti, rezíduum zostávajúce iba na niektorých uzloch sa so zväčšujúcim sa počtom uzlov zriedi v celku a vyhodnotí sa ako menšie. Aby sa zachytili lokálne stavy, keď nie je splnená rovnováha — ako napríklad pri kontaktných uzloch — možno vedľa kritérií z predchádzajúcich sekcií použiť posúdenie, v ktorom je v každom kritériu L2 norma nahradená najväčšou hodnotou absolútnych hodnôt zložiek stupňov voľnosti.

Najväčšiu hodnotu translačnej zložky vektora \(\boldsymbol{v}\) pre uzol \(I\) a stupeň voľnosti \(k\) definujeme ako

\[ \|\boldsymbol{v}_t\|_\infty = \max_{I}\ \max_{k=1,2,3} |v_{Ik}| \]

Rotačná zložka \(\|\boldsymbol{v}_r\|_\infty\) sa definuje podobne pre \(k = 4,5,6\) a pre Lagrangeove multiplikátory je to najväčšia hodnota absolútnych hodnôt všetkých zložiek. Posudzovaná veličina vznikne nahradením L2 normy v každom kritériu touto najväčšou hodnotou, a to v čitateli aj v menovateli.

\[ \frac{\|\tilde{\boldsymbol{R}}_{i,t}\|_\infty}{F^\infty_\mathrm{ref}} < \varepsilon^\infty_f, \qquad F^\infty_\mathrm{ref} = \max\left( \|\boldsymbol{Q}_t\|_\infty,\ \|\boldsymbol{D}_t\|_\infty \right) \]
\[ \frac{\|d\boldsymbol{u}_{i,t}\|_\infty}{\|\Delta\boldsymbol{u}_t\|_\infty} < \varepsilon^\infty_d, \qquad \frac{\|d\boldsymbol{\lambda}_i\|_\infty}{\max\left( \|\boldsymbol{\lambda}\|_\infty,\ F^\infty_\mathrm{ref} \right)} < \varepsilon^\infty_\lambda \]

Pre rotačnú zložku platí to isté. Postup pri klesnutí referenčnej veličiny pod dolnú hranicu a pri menovateli rovnom \(0\) je rovnaký ako pri kritériách s L2 normou.

Referenčné veličiny sa tiež berú ako najväčšie hodnoty rovnakej formy, aby sa veľkosť posudzovaných veličín udržala na porovnateľnej úrovni s kritériami s L2 normou a dala sa použiť s prahmi rovnakého rádu. Zložky jednotlivých stupňov voľnosti sa nedelia rôznymi referenčnými veličinami. V smeroch bez zaťaženia by referenčná veličina klesala k \(0\) a posudzovaná veličina by stratila zmysel.

Pri posúdení podľa maximálnej hodnoty je určený uzol a stupeň voľnosti, ktoré dosahujú maximum. FrontISTR to pre rezíduum aj pre korekciu vypisuje do denníka pre každú iteráciu.

Kombinácia posúdení

Každú z doteraz popísaných posudzovaných veličín (pre rezíduum, korekciu a Lagrangeove multiplikátory; translačná zložka aj rotačná zložka; L2 norma aj maximálna hodnota) možno individuálne určiť, či sa v posúdení používa (CHECK), alebo nie (SKIP). Predvolene sú všetky posúdenia podľa L2 normy nastavené na CHECK a všetky posúdenia podľa maximálnej hodnoty na SKIP.

Kritérium normy rezídua a kritérium normy korekcie sa považujú za splnené, ak je splnené ktorékoľvek z nich. Kritérium Lagrangeových multiplikátorov je naopak overovaním, že obmedzenie kontaktu je splnené, a preto sa pri analýzach, kde Lagrangeove multiplikátory existujú, vyžaduje vždy. V rámci jedného kritéria musia byť splnené všetky položky označené ako CHECK, a to medzi translačnou a rotačnou zložkou aj medzi L2 normou a maximálnou hodnotou.

Aby sme to vyjadrili vzorcom, definujeme pre skupinu posudzovaných veličín \(G\) nasledujúce dva výrazy:

\[ \mathrm{all\_ok}(G) = \bigwedge_{m \in G} \left( m \text{ je splnená} \ \vee\ m \text{ je SKIP} \right), \qquad \mathrm{any\_check}(G) = \bigvee_{m \in G} \left( m \text{ je CHECK} \right) \]

\(\mathrm{all\_ok}(G)\) nadobúda hodnotu pravda, ak v \(G\) nie je žiadna posudzovaná veličina označená ako CHECK. Podmienka konvergencie je

\[ \mathrm{all\_ok}(\text{kritérium Lagrangeových multiplikátorov}) \ \wedge\ \left\{ \left( \mathrm{any\_check}(\text{kritérium normy korekcie}) \wedge \mathrm{all\_ok}(\text{kritérium normy korekcie}) \right) \ \vee\ \left( \mathrm{any\_check}(\text{kritérium normy rezídua}) \wedge \mathrm{all\_ok}(\text{kritérium normy rezídua}) \right) \right\} \]

Pripojenie \(\mathrm{any\_check}\) k dvom skupinám spojeným „alebo“ zabezpečuje, aby skupina bez žiadnej položky CHECK nenechala posúdenie prejsť. Rotačná zložka analýz bez rotačných stupňov voľnosti a kritérium Lagrangeových multiplikátorov analýz bez Lagrangeových multiplikátorov sa do posúdenia nepoužijú ani vtedy, keď je pre ne určené CHECK. Pri predvolenom nastavení je podmienka konvergencie

\[ \left( \text{kritérium Lagrangeových multiplikátorov} \right) \ \wedge\ \left\{ \left( \text{kritérium normy korekcie} \right) \ \vee\ \left( \text{kritérium normy rezídua} \right) \right\} \]

a pri analýzach s rotačnými stupňami voľnosti sa posudzujú obe zložky — translačná aj rotačná — a pri analýzach bez Lagrangeových multiplikátorov sa hodnotí podmienka bez kritéria Lagrangeových multiplikátorov.

Spôsob určenia a predvolené hodnoty prahov \(\varepsilon_f, \varepsilon_d, \varepsilon_\lambda\) pre posúdenie podľa L2 normy nájdete v !STEP, nastavenia CHECK/SKIP a prahy pre posúdenie podľa maximálnej hodnoty v !CONVERG_PARAM a vodítko pre výber medzi kritériami v Nelineárna iterácia a časová integrácia (funkcia).

Súvisiace témy