Modálna analýza¶

Zovšeobecnený problém vlastných hodnôt¶

Pri analýze voľného kmitania kontinua sa konštrukcia priestorovo diskretizuje a modeluje ako sústava s viacerými stupňami voľnosti a sústredenými hmotnosťami, ako je znázornené na obrázku 2.3.1. Pre problém netlmeného voľného kmitania má riadiaca rovnica (pohybová rovnica) nasledujúci tvar.

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = 0 \label{eq:2.3.1} \end{equation}\]

Tu je $u$ zovšeobecnený vektor posunutí, $M$ je matica hmotnosti a $K$ je matica tuhosti. Nech $\omega$ je vlastná uhlová frekvencia, nech $a$ a $b$ sú ľubovoľné konštanty, ktoré nie sú súčasne nulové, a nech $x$ je vektor. Definujme funkciu

\[\begin{equation} u(t) = (a \sin \omega t + b \cos \omega t ) x \label{eq:2.3.2} \end{equation}\]

Jej druhá derivácia je

\[\begin{equation} \ddot{u}(t) = -\omega^2 (a \sin \omega t + b \cos \omega t) x \label{eq:2.3.3} \end{equation}\]

Dosadením rovnice $\eqref{eq:2.3.2}$ a rovnice $\eqref{eq:2.3.3}$ do rovnice $\eqref{eq:2.3.1}$ dostaneme

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = (a \sin \omega t + b \cos \omega t) (K-\omega^2 M) x = 0 \label{eq:2.3.4} \end{equation}\]

Tým dostaneme uvedenú rovnicu.

Pre netriviálne kmitanie výraz $a \sin \omega t + b \cos \omega t$ nie je identicky nulový.

\[ (K-\omega^2M)x=0 \]

Preto platí uvedený vzťah. Ak položíme $\lambda=\omega^2$, dostaneme

\[\begin{equation} K x = \lambda M x \label{eq:2.3.5} \end{equation}\]

Tým dostaneme uvedenú rovnicu.

Skalár $\lambda$ sa nazýva vlastná hodnota, vektor $x$ sa nazýva vlastný vektor a problém vyjadrený rovnicou $\eqref{eq:2.3.5}$ sa nazýva zovšeobecnený problém vlastných hodnôt.

Vlastná uhlová frekvencia $\omega$ sa získa z vlastnej hodnoty $\lambda=\omega^2$ a zodpovedajúci vlastný vektor $x$ predstavuje tvar kmitania.

Príklad sústavy s viacerými stupňami voľnosti pri netlmenom voľnom kmitaní

Obrázok 2.3.1 Príklad sústavy s viacerými stupňami voľnosti pri netlmenom voľnom kmitaní

Vlastnosti matíc a predpoklady¶

Pre zovšeobecnený problém vlastných hodnôt $Kx=\lambda Mx$, získaný v predchádzajúcej časti, sa v tejto príručke predpokladá, že matice sú symetrické. Pre komplexné matice to zodpovedá hermitovským maticiam, pre reálne matice symetrickým maticiam.

Nech $k_{ij}$ je prvok $ij$ matice $K$. Hermitovská vlastnosť je

\[\begin{equation} k_{ij} = \bar{k}_{ji} \label{eq:2.3.6} \end{equation}\]

vyjadrená uvedenou rovnicou, kde $\bar{k}_{ji}$ je komplexne združená hodnota $k_{ji}$. Pre reálne matice sa tento vzťah zmení na $k_{ij}=k_{ji}$.

Reálna symetrická matica $H$ je kladne definitná, ak pre každý nenulový vektor $x$

\[\begin{equation} x^{t} H x > 0 \label{eq:2.3.7} \end{equation}\]

platí uvedená nerovnosť. V takom prípade sú všetky vlastné hodnoty matice $H$ kladné.

V konštrukčnom probléme vlastných hodnôt sa matica hmotnosti $M$ zvyčajne považuje za kladne definitnú. Matica tuhosti $K$ však môže byť v závislosti od obmedzení kladne semidefinitná a môže mať nulové vlastné hodnoty zodpovedajúce módom tuhého telesa.

Posunutá inverzná iterácia¶

V praktickej štrukturálnej analýze metódou konečných prvkov spravidla nie sú potrebné všetky vlastné hodnoty; často postačuje nanajvýš niekoľko vlastných hodnôt nižšieho rádu. HEC-MW je určený pre rozsiahle problémy, v ktorých sú matice veľké a mimoriadne riedke, s veľkým počtom nulových prvkov. Preto je dôležité efektívne vypočítať vlastné hodnoty módov nižšieho rádu so zreteľom na tieto vlastnosti.

Pre posun $\sigma$, ak $-\sigma$ nie je vlastná hodnota a $K+\sigma M$ je regulárna matica, možno rovnicu $\eqref{eq:2.3.5}$ transformovať takto.

\[\begin{equation} (K + \sigma M)^{-1} M x = \frac{1}{\lambda+\sigma} x \label{eq:2.3.8} \end{equation}\]

Táto transformácia nemení vlastný vektor $x$ a zobrazuje vlastnú hodnotu $\lambda$ na $1/(\lambda+\sigma)$.

Čím je $\lambda$ bližšie k $-\sigma$, tým väčšia je absolútna hodnota transformovanej vlastnej hodnoty. V konštrukčnom probléme vlastných hodnôt platí $\lambda \geq 0$ a $\sigma \geq 0$, takže najnižšia vlastná hodnota sa zobrazí na vlastnú hodnotu s najväčšou absolútnou hodnotou. Využitím tejto vlastnosti a použitím iteračnej metódy, ktorá má tendenciu najprv konvergovať k vlastným hodnotám s veľkou absolútnou hodnotou, na rovnicu $\eqref{eq:2.3.8}$ možno efektívne získať vlastné hodnoty nižšieho rádu vo vzostupnom poradí.

Táto metóda sa nazýva posunutá inverzná iterácia.

Pre analýzy s obmedzeniami FrontISTR nastaví $\sigma = 0$ a rovnica $\eqref{eq:2.3.8}$ sa zmení na $K^{-1} M x = \frac{1}{\lambda} x$, teda na neposunutú inverznú iteráciu. Pri voľnej–voľnej analýze bez obmedzení je $K$ singulárna, pretože má nulové vlastné hodnoty zodpovedajúce módom tuhého telesa; priradením kladnej hodnoty parametru $\sigma$ sa $K+\sigma M$ regularizuje. Hodnota $\sigma$ sa zadáva pomocou SIGMA v !EIGEN.

Lanczosova metóda¶

Dôvod použitia (porovnanie s Jacobiho metódou)¶

Jacobiho metóda je dobre známa klasická metóda.

Je účinná, keď je matica malá a hustá. Keďže matice spracúvané systémom HEC-MW sú veľké a riedke, Jacobiho metóda sa nepoužíva; namiesto nej sa používa iteračná Lanczosova metóda.

Algoritmus a vlastnosti¶

Táto metóda, ktorú navrhol C. Lanczos v 50. rokoch 20. storočia, je algoritmus na trojdiagonalizáciu matice a má nasledujúce vlastnosti.

Je to iteračná metóda, ktorá môže vykonávať výpočet pri zachovaní riedkosti matice.
Jej operácie pozostávajú najmä zo súčinov matice a vektora, takže je vhodná na paralelizáciu.
Je vhodná na geometrickú dekompozíciu domény spojenú so sieťami konečných prvkov.
Umožňuje efektívne výpočty obmedzením počtu vlastných hodnôt alebo rozsahu módov, ktoré sa majú získať.

Lanczosova metóda začína počiatočným vektorom, postupne konštruuje ortogonálne vektory a získava bázu Krylovovho podpriestoru.

Pri aritmetike s konečnou presnosťou môžu chyby zaokrúhľovania spôsobiť stratu ortogonality vektorov. Na potlačenie tohto vplyvu implementácia FrontISTR reortogonalizuje každý vektor vzhľadom na už získané Lanczosove bázové vektory.

Geometrická interpretácia (Krylovov podpriestor)¶

Použitím nasledujúcich transformácií premenných na rovnicu $\eqref{eq:2.3.8}$

\[ A = (K + \sigma M)^{-1} M \]

\[\begin{equation} \frac{1}{\lambda+\sigma}= \zeta \label{eq:2.3.9} \end{equation}\]

možno problém prepísať ako

\[\begin{equation} A x = \zeta x \label{eq:2.3.10} \end{equation}\]

Tým dostaneme uvedenú rovnicu.

Pre ľubovoľný nenulový vektor $q_0$

\[ q_0,\ Aq_0,\ A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0 \]

priestor generovaný týmito vektormi

\[ \mathcal{K}_m(A,q_0) = \operatorname{span} \{q_0,Aq_0,A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0\} \]

sa nazýva Krylovov podpriestor.

Lanczosova metóda postupne konštruuje bázu tohto Krylovovho podpriestoru.

FrontISTR používa nasledujúci skalárny súčin spojený s maticou hmotnosti $M$

\[ \langle x,y\rangle_M = x^T M y \]

na ortonormalizáciu bázy. Skalárny súčin $\langle x,y\rangle$ a norma $\|x\|$, znázornené na nasledujúcich obrázkoch, sa vo výpočtoch FrontISTR interpretujú ako tento $M$-skalárny súčin a zodpovedajúca $M$-norma

\[ \|x\|_M=\sqrt{x^T M x} \]

v uvedenom poradí.

Na ľubovoľný vektor $q_0$ sa aplikuje lineárna transformácia definovaná maticou $A$, ako je znázornené na obrázku 2.3.2.

$Lineárna transformácia vektora $q_0$ maticou $A$$

Obrázok 2.3.2 Lineárna transformácia vektora $q_0$ maticou $A$

Transformovaný vektor sa ortogonalizuje v priestore, ktorý generuje spolu s pôvodným vektorom. Konkrétne sa vykoná Gramova-Schmidtova ortogonalizácia, ako je znázornené na obrázku 2.3.3. Nech je výsledný vektor $r_1$; jeho normalizáciou sa získa $q_1$.

$Vektor $q_1$ ortogonálny na $q_0$$

Obrázok 2.3.3 Vektor $q_1$ ortogonálny na $q_0$

Rovnakým postupom sa z $q_1$ získa $q_2$. Vektor $q_2$ je pritom ortogonálny na $q_1$ aj $q_0$, ako je znázornené na obrázku 2.3.4.

$Vektor $q_2$ ortogonálny na $q_1$ a $q_0$$

Obrázok 2.3.4 Vektor $q_2$ ortogonálny na $q_1$ a $q_0$

Lanczosova metóda takto postupne konštruuje ortonormálnu bázu Krylovovho podpriestoru. Teoreticky symetria problému vlastných hodnôt umožňuje vyjadriť túto iteráciu ako trojčlenný rekurentný vzťah zahŕňajúci najnovšie bázové vektory.

Implementácia FrontISTR však reortogonalizuje každý vektor vzhľadom na už získané Lanczosove bázové vektory pomocou $M$-skalárneho súčinu, aby potlačila stratu ortogonality spôsobenú aritmetikou s konečnou presnosťou.

Trojdiagonalizácia¶

V Lanczosovej iterácii FrontISTR sa bázové vektory ortonormalizujú vzhľadom na $M$-skalárny súčin opísaný v predchádzajúcej časti, takže

\[ q_i^T M q_j = \delta_{ij} \]

platí uvedený vzťah.

Pri použití matice $A$ z rovnice $\eqref{eq:2.3.10}$ má teoretická Lanczosova iterácia tvar

\[\begin{equation} A q_i = \beta_i q_{i-1} + \alpha_i q_i + \beta_{i+1} q_{i+1} \label{eq:2.3.11} \end{equation}\]

vyjadrený uvedeným trojčlenným rekurentným vzťahom.

Najprv sa $\alpha_i$ definuje takto.

\[ \alpha_i = q_i^T M A q_i \]

Potom sa predbežné rezíduum definuje ako

\[ \tilde{r}_{i+1} = Aq_i - \beta_i q_{i-1} - \alpha_i q_i \]

je uvedené vyššie.

Na potlačenie straty ortogonality spôsobenej aritmetikou s konečnou presnosťou implementácia FrontISTR reortogonalizuje $\tilde{r}_{i+1}$ vzhľadom na už získané Lanczosove bázové vektory pomocou $M$-skalárneho súčinu. Ak $r_{i+1}$ je rezíduum po reortogonalizácii, potom

\[\begin{equation} \beta_{i+1} = \sqrt{r_{i+1}^T M r_{i+1}}, \qquad q_{i+1} = \frac{r_{i+1}}{\beta_{i+1}} \label{eq:2.3.12} \end{equation}\]

platia uvedené vzťahy.

Usporiadajme $m$ bázových vektorov získaných Lanczosovou iteráciou do

\[ Q_m=[q_0,q_1,\ldots,q_{m-1}] \]

Potom po konečnom počte Lanczosových iterácií

\[\begin{equation} A Q_m = Q_m T_m + \beta_m q_m e_m^T \label{eq:2.3.13} \end{equation}\]

platí uvedený vzťah.

Tu je $e_m$ $m$-rozmerný jednotkový vektor, ktorého $m$-tá zložka je 1 a všetky ostatné zložky sú nulové, a

\[\begin{equation} T_m= \begin{pmatrix} \alpha_0 & \beta_1 & & &\\ \beta_1 & \alpha_1 & \beta_2 & &\\ & \ddots & \ddots & \ddots &\\ & & \beta_{m-2} & \alpha_{m-2}& \beta_{m-1}\\ & & & \beta_{m-1} & \alpha_{m-1} \end{pmatrix} \label{eq:2.3.14} \end{equation}\]

je symetrická trojdiagonálna matica.

Vlastné hodnoty pôvodného rozsiahleho problému vlastných hodnôt tak možno aproximovať výpočtom vlastných hodnôt trojdiagonálnej matice $T_m$.

Súvisiace témy¶

Analýza frekvenčnej odozvy — Frekvenčná odozva s využitím výsledkov modálnej analýzy
Typy analýz — Funkčný prehľad modálnej analýzy