Preskočiť na obsah

Verifikácia pomocou modelu jednoduchého tvaru

Elastická statická analýza

V tejto verifikácii sa používa konzolový nosník s konečno-prvkovou sieťou znázornenou na obrázku 9.1.1. Analýzy sa vykonali pre sedem prípadov exA až exG s rôznymi zaťažovacími podmienkami podľa obrázka 9.1.2. Prípad exG má rovnaké zaťažovacie podmienky ako exA, používa však priamy riešič.

Výsledky verifikácie jednotlivých zaťažovacích podmienok sú uvedené v tabuľkách 9.1.1 až 9.1.7.

Príklad siete konzolového nosníka (hexaedrické prvky) Obr. 9.1.1 Príklad siete konzolového nosníka (hexaedrické prvky)
(a) exA,G: Sústredené zaťaženie
(b) exD: Gravitačné zaťaženie
(c) exB: Plošne rozložené zaťaženie
(d) exE: Odstredivá sila
(e) exC: Objemové zaťaženie
(f) exF: Tepelné zaťaženie
Položka Hodnota
Youngov modul \(E = 4000.0\ \mathrm{kgf/mm^2}\)
Dĺžka \(L = 10.0\ \mathrm{mm}\)
Poissonovo číslo \(\nu = 0.3\)
Plocha prierezu \(A = 1.0\ \mathrm{mm^2}\)
Hustota \(\rho = 8.0102 \times 10^{-10}\ \mathrm{kgf}\;\mathrm{s}^2/\mathrm{mm}^4\)
Kvadratický moment plochy \(I = 1.0/12.0\ \mathrm{mm^4}\)
Gravitačné zrýchlenie \(g = 9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\)
Súčiniteľ lineárnej tepelnej rozťažnosti \(\alpha = 1.0 \times 10^{-5}\)

Obr. 9.1.2 Verifikačné podmienky modelu konzolového nosníka

Tabuľka 9.1.1: exA: Výsledky verifikácie úlohy so sústredeným zaťažením

Názov prípadu Počet prvkov Predpokladaná hodnota : \(\delta_{max}= -1.000\) Poznámky
NASTRAN Komerčný softvér FrontISTR
A231 40 -0.338 -0.371 -0.371 33 uzlov / úloha rovinného napätia
A232 40 -0.942 -1.002 -1.002 105 uzlov / úloha rovinného napätia
A241 20 -0.720 -0.711 -0.711 33 uzlov / úloha rovinného napätia
A242 20 -0.910 -1.002 -1.002 85 uzlov / úloha rovinného napätia
A341 240 -0.384 -0.384 -0.386 99 uzlov
A342 240 -0.990 -0.990 -0.999 525 uzlov
A351 80 -0.353 -0.355 -0.351 99 uzlov
A352 80 -0.993 -0.993 -0.992 381 uzlov
A361 40 -0.954 -0.985 -0.984 99 uzlov
A362 40 -0.994 -0.993 -0.993 220 uzlov
A731 40 - - -0.991 33 uzlov / priama metóda
A741 20 - - -0.996 33 uzlov / priama metóda

Tabuľka 9.1.2: exB: Výsledky verifikácie úlohy s plošne rozloženým zaťažením

Názov prípadu Počet prvkov Predpokladaná hodnota : \(\delta_{max}= -3.750\) Poznámky
NASTRAN Komerčný softvér FrontISTR
B231 40 -1.281 -1.403 -1.403 33 uzlov / úloha rovinného napätia
B232 40 -3.579 -3.763 -3.763 105 uzlov / úloha rovinného napätia
B241 20 -3.198 -2.680 -2.680 33 uzlov / úloha rovinného napätia
B242 20 -3.426 -3.765 -3.765 85 uzlov / úloha rovinného napätia
B341 240 -1.088 -1.449 -1.454 99 uzlov
B342 240 -3.704 -3.704 -3.748 525 uzlov
B351 80 -3.547 -1.338 -1.325 99 uzlov
B352 80 -0.3717 -3.716 -3.713 381 uzlov
B361 40 -3.557 -3.691 -3.688 99 uzlov
B362 40 -3.726 -3.717 -3.717 220 uzlov
B731 40 - - -3.722 33 uzlov / priama metóda
B741 20 - - -3.743 33 uzlov / priama metóda

Tabuľka 9.1.3: exC: Výsledky verifikácie úlohy s objemovým zaťažením

Názov prípadu Počet prvkov Predpokladaná hodnota : \(\delta_{max} = -2.944 \times 10^{-5}\) Poznámky
NASTRAN Komerčný softvér FrontISTR
C231 40 - -1.101e-5 -1.101e-5 33 uzlov / úloha rovinného napätia
C232 40 - -2.951e-5 -2.951e-5 105 uzlov / úloha rovinného napätia
C241 20 - -2.102e-5 -2.102e-5 33 uzlov / úloha rovinného napätia
C242 20 - -2.953e-5 -2.953e-5 85 uzlov / úloha rovinného napätia
C341 240 - -1.136e-5 -1.140e-5 99 uzlov
C342 240 - -2.905e-5 -2.937e-5 525 uzlov
C351 80 - -1.050e-5 -1.039e-5 99 uzlov
C352 80 - -2.914e-5 -2.911e-5 381 uzlov
C361 40 - -2.895e-5 -2.893e-5 99 uzlov
C362 40 - -2.915e-5 -2.915e-5 220 uzlov
C731 40 - - -2.922e-5 33 uzlov / priama metóda
C741 20 - - -2.938e-5 33 uzlov / priama metóda

Tabuľka 9.1.4: exD: Výsledky verifikácie úlohy s gravitačným zaťažením

Názov prípadu Počet prvkov Predpokladaná hodnota : \(\delta_{max} = -2.944 \times 10^{-5}\) Poznámky
NASTRAN Komerčný softvér FrontISTR
D231 40 -1.101e-5 -1.101e-5 -1.101e-5 33 uzlov / úloha rovinného napätia
D232 40 -2.805e-5 -2.951e-5 -2.951e-5 105 uzlov / úloha rovinného napätia
D241 20 -2.508e-5 -2.102e-5 -2.102e-5 33 uzlov / úloha rovinného napätia
D242 20 -2.684e-5 -2.953e-5 -2.953e-5 85 uzlov / úloha rovinného napätia
D341 240 -1.172e-5 -1.136e-5 -1.140e-5 99 uzlov
D342 240 -2.906e-5 -2.905e-5 -2.937e-5 525 uzlov
D351 80 -1.046e-5 -1.050e-5 -1.039e-5 99 uzlov
D352 80 -2.917e-5 -2.914e-5 -2.911e-5 381 uzlov
D361 40 -2.800e-5 -2.895e-5 -2.893e-5 99 uzlov
D362 40 -2.919e-5 -2.915e-5 -2.915e-5 220 uzlov
D731 40 - - -2.922e-5 33 uzlov / priama metóda
D741 20 - - -2.938e-5 33 uzlov / priama metóda

Tabuľka 9.1.5: exE: Výsledky verifikácie úlohy s odstredivou silou

Názov prípadu Počet prvkov Predpokladaná hodnota : \(\delta_{max} = 2.635 \times 10^{-3}\) Poznámky
NASTRAN Komerčný softvér FrontISTR
E231 40 2.410e-3 2.616e-3 2.650e-3 33 uzlov / úloha rovinného napätia
E232 40 2.447e-3 2.627e-3 2.628e-3 105 uzlov / úloha rovinného napätia
E241 20 2.386e-3 2.622e-3 2.624e-3 33 uzlov / úloha rovinného napätia
E242 20 2.387e-3 2.627e-3 2.629e-3 85 uzlov / úloha rovinného napätia
E341 240 2.708e-3 2.579e-3 2.625e-3 99 uzlov
E342 240 2.639e-3 2.614e-3 2.638e-3 525 uzlov
E351 80 2.642e-3 2.598e-3 2.625e-3 99 uzlov
E352 80 2.664e-3 2.617e-3 2.616e-3 381 uzlov
E361 40 2.611e-3 2.603e-3 2.603e-3 99 uzlov
E362 40 2.623e-3 2.616e-3 2.616e-3 220 uzlov
E731 40 - - 2.619e-3 33 uzlov / priama metóda
E741 20 - - 2.622e-3 33 uzlov / priama metóda

Tabuľka 9.1.6: exF: Výsledky verifikácie úlohy s tepelným napätím

Názov prípadu Počet prvkov Predpokladaná hodnota : \(\delta_{max} = 1.000 \times 10^{-2}\) Poznámky
NASTRAN Komerčný softvér FrontISTR
F231 40 - 1.016e-2 1.007e-2 33 uzlov / úloha rovinného napätia
F232 40 - 1.007e-2 1.007e-2 105 uzlov / úloha rovinného napätia
F241 20 - 1.010e-2 1.010e-2 33 uzlov / úloha rovinného napätia
F242 20 - 1.006e-2 1.006e-2 85 uzlov / úloha rovinného napätia
F341 240 - 1.047e-2 1.083e-2 99 uzlov
F342 240 - 1.018e-2 1.022e-2 525 uzlov
F351 80 - 1.031e-2 1.062e-2 99 uzlov
F352 80 - 1.015e-2 1.017e-2 381 uzlov
F361 40 - 1.026e-2 1.026e-2 99 uzlov
F362 40 - 1.016e-2 1.016e-2 220 uzlov

Tabuľka 9.1.7: exG: Výsledky verifikácie priamej metódy (úloha so sústredeným zaťažením)

Názov prípadu Počet prvkov Predpokladaná hodnota: δmax= -1.000 Poznámky
NASTRAN Komerčný softvér FrontISTR
G231 40 -0.338 -0.371 -0.371 33 uzlov / úloha rovinného napätia
G232 40 -0.942 -1.002 -1.002 105 uzlov / úloha rovinného napätia
G241 20 -0.720 -0.711 -0.711 33 uzlov / úloha rovinného napätia
G242 20 -0.910 -1.002 -1.002 85 uzlov / úloha rovinného napätia
G341 240 -0.384 -0.384 -0.386 99 uzlov
G342 240 -0.990 -0.990 -0.999 525 uzlov
G351 80 -0.353 -0.355 -0.351 99 uzlov
G352 80 -0.993 -0.993 -0.992 381 uzlov
G361 40 -0.954 -0.985 -0.984 99 uzlov
G362 40 -0.994 -0.993 -0.993 220 uzlov
G731 40 - - -0.991 33 uzlov / priama metóda
G741 20 - - -0.996 33 uzlov / priama metóda

Nelineárna statická analýza

(2-1) exnl1: Geometricky nelineárna analýza

Verifikačný model prípadu exI je zhodný s modelmi prípadov exA až exG. Obrázok 9.1.3 znázorňuje schému verifikačného modelu. Na tomto modeli sa vykoná geometricky nelineárna analýza. Výsledky verifikácie sú uvedené v tabuľke 9.1.8.

Nelineárny výpočet sa vykonáva pre referenčné zaťaženie \(P = 1.0\ \mathrm{kgf}\), s prírastkom zaťaženia \(0.1P\) v 10 krokoch.

Verifikačný model Obr. 9.1.3 Verifikačný model

Tabuľka 9.1.8 exI: Výsledky verifikácie (priebeh maximálneho priehybu)

Názov prípadu 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 Lineárne riešenie
I231 - - - - - - - - - - -
I232 - - - - - - - - - - -
I241 - - - - - - - - - - -
I242 - - - - - - - - - - -
I341 0.039 0.077 0.116 0.154 0.193 0.232 0.270 0.309 0.348 0.386 0.386
I342 0.099 0.200 0.300 0.400 0.499 0.599 0.698 0.797 0.896 0.995 0.999
I351 0.035 0.070 0.105 0.141 0.176 0.211 0.246 0.281 0.316 0.351 0.351
I352 0.099 0.198 0.298 0.397 0.496 0.595 0.693 0.792 0.890 0.987 0.992
I361 0.070 0.139 0.209 0.278 0.348 0.417 0.487 0.556 0.625 0.694 0.984
I362 0.099 0.197 0.298 0.397 0.496 0.595 0.694 0.793 0.891 0.988 0.993

(2-2) exnl2: Analýza elastoplastickej deformácie

Táto verifikačná úloha vychádza z testu NL1 organizácie National Agency for Finite Element Methods and Standards (U.K.) (NAFEMS), a vykonáva analýzu elastoplastickej deformácie so zohľadnením geometrickej nelinearity a viacerých zákonov spevnenia. Obrázok 9.1.4 znázorňuje analytický model.

Model analýzy elastoplastickej deformácie

Obr. 9.1.4 Model analýzy elastoplastickej deformácie

(1) Verifikačné podmienky

Položka Hodnota
Materiál Misesov elastoplastický materiál
Youngov modul \(E = 250\ \mathrm{GPa}\)
Poissonovo číslo \(\nu=0.25\)
Počiatočné medzné napätie \(5\ \mathrm{MPa}\)
Počiatočné medzné pretvorenie \(0.25\times10^{-4}\)
Koeficient izotropného spevnenia \(H_i = 0\) alebo \(62.5\ \mathrm{GPa}\)

(2) Okrajové podmienky

Položka Okrajová podmienka Hodnota
Krok 1 Predpísané posunutie v uzloch 2 a 3 \(u_x = 0.2500031251 * 10^{-4}\)
Krok 2 Predpísané posunutie v uzloch 2 a 3 \(u_x = 0.25000937518 * 10^{-4}\)
Krok 3 Predpísané posunutie v uzloch 3 a 4 \(u_y = 0.2500031251 * 10^{-4}\)
Krok 4 Predpísané posunutie v uzloch 3 a 4 \(u_y = 0.25000937518 * 10^{-4}\)
Krok 5 Predpísané posunutie v uzloch 2 a 3 \(u_x = -0.25000937518 * 10^{-4}\)
Krok 6 Predpísané posunutie v uzloch 2 a 3 \(u_x = -0.2500031251 * 10^{-4}\)
Krok 7 Predpísané posunutie v uzloch 3 a 4 \(u_y = -0.25000937518 * 10^{-4}\)
Krok 8 Predpísané posunutie v uzloch 3 a 4 \(u_y = -0.2500031251 * 10^{-4}\)

Všetky uzly, ktoré tu nie sú uvedené, sú úplne zafixované. Teoretické riešenie tejto úlohy je nasledovné.

Pretvorenie (\(\times10^{-4}\))
[\(\varepsilon_x\), \(\varepsilon_y\), \(\varepsilon_z\)]		 Ekvivalentné napätie (MPa)
[\(H_i=0\ H_k=0\); \(H_i=62.5\ H_k=0\)]
0.25, 0, 0 5.0; 5.0
0.50, 0, 0 5.0; 5.862
0.50, 0.25, 0 5.0; 5.482
0.50, 0.50, 0 5.0; 6.362
0.25, 0.50, 0 5.0; 6.640
0, 0.50, 0 5.0; 7.322
0, 0.25, 0 3.917; 4.230
0, 0, 0 5.0; 5.673

Na porovnanie sú výsledky výpočtu nasledovné.

Pretvorenie (\(\times10^{-4}\))
[\(\varepsilon_x\), \(\varepsilon_y\), \(\varepsilon_z\)]		 Ekvivalentné napätie (MPa)
[\(H_i=0\ H_k=0\); \(H_i=62.5\ H_k=0\)]
\(\varepsilon_{x}\) \(\varepsilon_{y}\)
0.25, 0, 0 5.0 (0.0%); 5.0 (0.0%)
0.50, 0, 0 5.0 (0.0%); 5.862 (0.0%)
0.50, 0.25, 0 5.0 (0.0%); 5.482 (0.0%)
0.50, 0.50, 0 5.0 (0.0%); 6.362 (-0.05%)
0.25, 0.50, 0 5.0 (0.0%); 6.640 (-0.21%)
0, 0.50, 0 5.0 (0.0%); 7.322 (-0.34%)
0, 0.25, 0 3.824 (-2.4%); 4.230 (-2.70%)
0, 0, 0 5.0 (0.0%); 5.673 (5.673 (-2.50%)

Kontaktná analýza (1)

Táto verifikačná úloha vychádza z kontaktnej testovacej úlohy CGS-4 organizácie National Agency for Finite Element Methods and Standards (U.K.), a overuje kontaktnú analýzu s konečným sklzom a trením. Obrázok 9.1.5 znázorňuje analytický model.

Model kontaktnej analýzy

Obr. 9.1.5 Model kontaktnej analýzy

Podmienka rovnováhy pre túto úlohu je nasledovná.

\[ F \cos \alpha - G \sin \alpha = \pm f_{c} \]

Vo fáze priľnavého trenia je trecia sila

\[ f_{c} = E_t \Delta u \]

a vo fáze klzného trenia je

\[ f_{c} = \mu(G \cos \alpha + F \sin \alpha) \]

Tým sa získa uvedený vzťah.

Porovnanie výsledkov výpočtu s analytickým riešením je nasledovné.

\(\mu\) \(F/G\) Analytické riešenie \(F/G\) Výsledky výpočtu
0.0 0.1 0.1
0.1 0.202 0.202
0.2 0.306 0.306
0.3 0.412 0.412

Kontaktná analýza (2): Hertzova kontaktná úloha

Táto verifikácia analyzuje Hertzovu kontaktnú úlohu medzi nekonečne dlhým valcom a nekonečnou rovinou. Polomer valca je \(R = 8\ \mathrm{mm}\), pričom Youngov modul \(E\) a Poissonovo číslo \(\mu\) deformovateľného telesa sú \(1100\ \mathrm{MPa}\) a \(0.0\). Predpokladá sa, že kontaktná plocha je v porovnaní s polomerom valca dostatočne malá; vzhľadom na symetriu úlohy sa analyzuje model štvrtiny valca.

Analytický model Hertzovej kontaktnej úlohy Obr. 9.1.6 Analytický model Hertzovej kontaktnej úlohy

(1) Výsledky verifikácie kontaktného polomeru

Teoretický vzťah na výpočet kontaktného polomeru je nasledovný:

\[ a = \sqrt{\frac{4FR}{\pi E^{*}}} \]

kde

\[ E^{*} = E/2(1 - \mu^{2}) \]

Tým sa získa uvedený výraz. Za daných výpočtových podmienok je pri tlaku \(F=100\) kontaktný polomer \(a=1.36\).

Obrázok 9.1.7 znázorňuje ekvivalentné uzlové sily v kontaktných bodoch. Kontaktný polomer sa určí extrapoláciou tohto rozdelenia uzlových síl.

Rozdelenie ekvivalentných uzlových síl v kontaktných bodoch

Obr. 9.1.7 Rozdelenie ekvivalentných uzlových síl v kontaktných bodoch

(2) Výsledky verifikácie maximálneho šmykového napätia

V teoretickom riešení je v kontaktnej polohe

\[ z = 0.78a \]

maximálne šmykové napätie

\[ \tau_{\max} = 0.30\sqrt{\frac{\text{FE}^{*}}{\pi R}} \]

Toto je teoretické maximálne šmykové napätie. Za daných výpočtových podmienok

\[ \tau_{\max} = 14.2 \]

Toto je teoretická hodnota za daných podmienok. Na porovnanie výpočet dáva

\[ \tau_{\max} = 15.6 \]

Toto je vypočítaný výsledok.

Rozdelenie šmykového napätia (maximálna hodnota = 15.6 Obr. 9.1.8 Rozdelenie šmykového napätia (maximálna hodnota = 15.6)

(3) Modálna analýza

Verifikačné modely prípadov exJ až exK sú zhodné s modelmi prípadov exA až exG. Obrázok 9.1.9 znázorňuje schému verifikačného modelu. Na tomto modeli sa vykoná modálna analýza. Vypočítajú sa prvé tri vlastné frekvencie. Prípad exJ používa iteračný riešič, zatiaľ čo prípad exK používa priamy riešič. Výsledky verifikácie sú uvedené v tabuľkách 9.1.9 až 9.1.12.

Verifikačný model Obr. 9.1.9 Verifikačný model

Vlastné frekvencie konzolového nosníka sa získajú z nasledujúcich rovníc.

Prvý mód

\[ n_1 = \frac{1.875^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } \]

Druhý mód

\[ n_2 = \frac{4.694^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } \]

Tretí mód

\[ n_3 = \frac{7.855^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } \]

Hodnoty vlastností verifikačného modelu sú

Položka Hodnota
\(I\) \(1.0/12.0\ \mathrm{mm}^4\)
\(E\) \(4000.0\ \mathrm{kgf/mm^2}\)
\(l\) \(10.0\ \mathrm{mm}\)
\(\omega\) \(7.85 \times 10^{-6}\ \mathrm{kgf/mm^3}\)
\(g\) \(9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\)

Prvé tri vlastné frekvencie sú teda nasledovné:

Číslo módu Hodnota
\(n_1\) 3.609e3
\(n_2\) 2.262e4
\(n_3\) 6.335e4

Tabuľka 9.1.9: exJ: Výsledky verifikácie iteračnej metódy pre prvú vlastnú frekvenciu

Názov prípadu Počet prvkov Predpokladaná hodnota : n1=3.609e3 Poznámky
NASTRAN FrontISTR
J231 40 5.861e3 5.861e3 33 uzlov / úloha rovinného napätia
J232 40 3.596e3 3.593e3 105 uzlov / úloha rovinného napätia
J241 20 3.586e3 4.245e3 33 uzlov / úloha rovinného napätia
J242 20 3.590e3 3.587e3 85 uzlov / úloha rovinného napätia
J341 240 5.442e3 5.429e3 99 uzlov
J342 240 3.621e3 3.595e3 525 uzlov
J351 80 3.695e3 4.298e3 99 uzlov
J352 80 3.610e3 3.609e3 381 uzlov
J361 40 3.679e3 3.619e3 99 uzlov
J362 40 3.611e3 3.606e3 220 uzlov

Tabuľka 9.1.10: Výsledky verifikácie iteračnej metódy exJ pre druhú vlastnú frekvenciu

Názov prípadu Počet prvkov Predpokladaná hodnota : n2=2.262e4 Poznámky
NASTRAN FrontISTR
J231 40 3.350e4 3.351e4 33 uzlov / úloha rovinného napätia
J232 40 2.163e4 2.156e4 105 uzlov / úloha rovinného napätia
J241 20 2.149e4 2.516e4 33 uzlov / úloha rovinného napätia
J242 20 2.149e4 2.143e4 85 uzlov / úloha rovinného napätia
J341 240 3.145e4 3.138e4 99 uzlov
J342 240 2.171e4 2.155e4 525 uzlov
J351 80 2.208e4 2.546e4 99 uzlov
J352 80 2.156e4 2.149e4 381 uzlov
J361 40 2.202e4 2.168e4 99 uzlov
J362 40 2.154e4 2.144e4 220 uzlov

Poznámka: V trojrozmerných (3D) modeloch sú prvý a druhý mód degenerované. Preto sa tretia vypočítaná vlastná frekvencia uvádza v tabuľke ako druhá vlastná frekvencia.

Tabuľka 9.1.11: Výsledky verifikácie priamej metódy exK pre prvú vlastnú frekvenciu

Názov prípadu Počet prvkov Predpokladaná hodnota : n1=3.609e3 Poznámky
NASTRAN FrontISTR
J231 40 5.861e3 5.861e3 33 uzlov / úloha rovinného napätia
J232 40 3.596e3 3.593e3 105 uzlov / úloha rovinného napätia
J241 20 3.586e3 4.245e3 33 uzlov / úloha rovinného napätia
J242 20 3.590e3 3.587e3 85 uzlov / úloha rovinného napätia
J341 240 5.442e3 5.429e3 99 uzlov
J342 240 3.621e3 3.595e3 525 uzlov
J351 80 3.695e3 4.298e3 99 uzlov
J352 80 3.610e3 3.609e3 381 uzlov
J361 40 3.679e3 3.619e3 99 uzlov
J362 40 3.611e3 3.606e3 220 uzlov
J731 40 - 3.606e3 220 uzlov
J741 20 - 3.594e3 220 uzlov

Tabuľka 9.1.12: Výsledky verifikácie priamej metódy exK pre druhú vlastnú frekvenciu

Názov prípadu Počet prvkov Predpokladaná hodnota : n2=2.262e4 Poznámky
NASTRAN FrontISTR
J231 40 3.350e4 3.351e4 33 uzlov / úloha rovinného napätia
J232 40 2.163e4 2.156e4 105 uzlov / úloha rovinného napätia
J241 20 2.149e4 2.516e4 33 uzlov / úloha rovinného napätia
J242 20 2.149e4 2.143e4 85 uzlov / úloha rovinného napätia
J341 240 3.145e4 3.138e4 99 uzlov
J342 240 2.171e4 2.155e4 525 uzlov
J351 80 2.208e4 2.546e4 99 uzlov
J352 80 2.156e4 2.149e4 381 uzlov
J361 40 2.202e4 2.168e4 99 uzlov
J362 40 2.154e4 2.144e4 220 uzlov
J731 40 - 2.156e4 220 uzlov
J741 20 - 2.153e4 220 uzlov

Poznámka: V 3D modeloch sú prvý a druhý mód degenerované. Preto sa tretia vypočítaná vlastná frekvencia uvádza v tabuľke ako druhá vlastná frekvencia.

(4) Analýza vedenia tepla

Spoločné podmienky ustálených analýz vedenia tepla sú znázornené na obrázku 9.1.10. Jednotlivé podmienky verifikačných prípadov exM až exT sú znázornené na obrázku 9.1.11. Rozdelenie siete je ekvivalentné s rozdelením použitým pre exA.

Výsledky verifikácie (tabuľky rozdelenia teploty) jednotlivých prípadov sú uvedené v tabuľkách 9.1.13 až 9.1.20.

Analýza vedenia tepla
Dĺžka medzi AB \(L = 10.0\ \mathrm{m}\)
Plocha prierezu \(A = 1.0\ \mathrm{mm^2}\)

Teplotná závislosť tepelnej vodivosti

Tepelná vodivosť \(\lambda\) (W/(m·K)) Teplota (°C)
50.0 0.0
35.0 500.0
20.0 1000.0

Obr. 9.1.10: Verifikačné podmienky ustálenej analýzy vedenia tepla
exM: Lineárny materiál
exN: Úloha so zadanou teplotou
exO: Úloha so sústredeným tepelným tokom
exP: Úloha s rozloženým tepelným tokom
exQ: Úloha s konvekčným prestupom tepla
exR: Úloha so sálavým prestupom tepla
exS: Úloha s objemovým generovaním tepla
exT: Úloha s vnútornou medzerou

Obr. 9.1.11: Podmienky analýzy jednotlivých verifikačných prípadov

Tabuľka 9.1.13: Výsledky verifikácie exM (ustálený výpočet lineárneho materiálu)

Názov prípadu Typ prvku Prvky/uzly Vzdialenosť od konca A (m)
Koniec A 2.0 4.0 6.0 8,0 Koniec B
M361A 361 40／33 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361B 361 40／105 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361C 361 20／33 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361D 361 20／85 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361E 361 240／99 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361F 361 24／525 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361G 361 80／99 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0

Tabuľka 9.1.14: Výsledky verifikácie exN (úloha so zadanou teplotou)

Názov prípadu Typ prvku Prvky/uzly Vzdialenosť od konca A (m)
Koniec A 2.0 4.0 6.0 8,0 Koniec B
Komerčný softvér 361 40／99 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N231 231 40／33 0.0 87.2 179.5 278.0 384.1 500.0
N232 232 40／105 0.0 86.0 178.3 276.8 382.9 500.0
N241 241 20／33 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N242 242 20／85 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N341 341 240／99 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N342 342 24／525 0.0 87.9 179.9 278.0 383.6 500.0
N351 351 80／99 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N352 352 80／381 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N361 361 40／99 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N362 362 40／330 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N731 731 40／33 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N741 741 20／33 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0

Tabuľka 9.1.15: Výsledky verifikácie exO (úloha so sústredeným tepelným tokom)

Názov prípadu Typ prvku Prvky/uzly Vzdialenosť od konca A (m)
Koniec A 2.0 4.0 6.0 8,0 Koniec B
Komerčný softvér 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O231 231 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O232 232 40／105 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O241 241 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O242 242 20／85 0.0 103.2 213.7 333.4 465.2 618.0
O341 341 240／99 - - - - - -
O342 342 24／525 0.0 104.4 214.9 334.7 466.3 614.6
O351 351 80／99 - - - - - -
O352 352 80／381 0.0 103.2 213.7 333.3 465.0 624.2
O361 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O362 362 40／330 0.0 103.2 213.7 333.4 465.5 623.5
O731 731 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.5
O741 741 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6

Tabuľka 9.1.16: Výsledky verifikácie exP (úloha s rozloženým tepelným tokom)

Názov prípadu Typ prvku Prvky/uzly Vzdialenosť od konca A (m)
Koniec A 2.0 4.0 6.0 8,0 Koniec B
Komerčný softvér 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P231 231 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P232 232 40／105 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P241 241 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P242 242 20／85 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P341 341 240／99 - - - - - -
P342 342 24／525 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P351 351 80／99 - - - - - -
P352 352 80／381 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P361 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P362 362 40／330 0.0 103.2 213.7 333.4 465.5 612.6
P731 731 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.5
P741 741 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6

Tabuľka 9.1.17: Výsledky verifikácie exQ (úloha s konvekčným prestupom tepla)

Názov prípadu Typ prvku Prvky/uzly Vzdialenosť od konca A (m)
Koniec A 2.0 4.0 6.0 8,0 Koniec B
Komerčný softvér 361 40／99 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q231 231 40／33 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q232 232 40／105 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q241 241 20／33 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q242 242 20／85 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q341 341 240／99 - - - - - -
Q342 342 24／525 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q351 351 80／99 - - - - - -
Q352 352 80／381 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q361 361 40／99 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q362 362 40／330 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q731 731 40／33 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q741 741 20／33 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2

Tabuľka 9.1.18: Výsledky verifikácie exR (úloha so sálavým prestupom tepla)

Názov prípadu Typ prvku Prvky/uzly Vzdialenosť od konca A (m)
Koniec A 2.0 4.0 6.0 8,0 Koniec B
Komerčný softvér 361 40／99 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R231 231 40／33 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R232 232 40／105 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R241 241 20／33 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R242 242 20／85 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R341 341 240／99 - - - - - -
R342 342 24／525 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R351 351 80／99 - - - - - -
R352 352 80／381 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R361 361 40／99 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R362 362 40／330 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R731 731 40／33 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R741 741 20／33 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2

Tabuľka 9.1.19: Výsledky verifikácie exS (úloha s objemovým generovaním tepla)

Názov prípadu Typ prvku Prvky/uzly Vzdialenosť od konca A (m)
Koniec A 2.0 4.0 6.0 8,0 Koniec B
Komerčný softvér 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S231 231 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S232 232 40／105 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S241 241 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S242 242 20／85 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S341 341 240／99 - - - - - -
S342 342 24／525 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S351 351 80／99 - - - - - -
S352 352 80／381 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S361 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S362 362 40／330 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S731 731 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S741 741 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6

Tabuľka 9.1.20: Výsledky verifikácie exT (úloha s vnútornou medzerou)

Názov prípadu Typ prvku Prvky/uzly Vzdialenosť od konca A (m)
Koniec A 2.0 4.0 6.0 8,0 Koniec B
Komerčný softvér 361 40／99 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S231 231 40／33 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S232 232 40／105 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S241 241 20／33 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S242 242 20／85 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S341 341 240／99 - - - - - -
S342 342 24／525 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S351 351 80／99 - - - - - -
S352 352 80／381 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S361 361 40／99 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S362 362 40／330 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S731 731 40／33 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S741 741 20／33 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0

Lineárna dynamická analýza

V prípade exW sa vykoná lineárna dynamická analýza rovnakého konzolového nosníka ako v bode (1). Obrázok 9.1.12 znázorňuje verifikačné podmienky. Pri rovnakom rozdelení siete sa overuje vplyv časového prírastku na výsledky. Používajú sa implicitná aj explicitná metóda časovej integrácie s typmi prvkov 361 a 342. Výsledky verifikácie sú uvedené v tabuľke 9.1.22 a na obrázkoch 9.1.13 až 9.1.15.

Analytický model Analytický model

Časový priebeh vonkajšej sily F Časový priebeh vonkajšej sily F

Teoretické riešenie posunutia bodu budenia je nasledovné:

\[ F(t)=F_0 I(t) \]

kde

\[ \(F_0:\ \text{konštantný vektor}\) \]
\[ I(t)= \begin{cases} 0, t < 0 \\\ 1, 0 \leq t \end{cases} \]
\[ u(t) = \frac{F_0 l^3}{EI} \sum^{\infty}_{i=1} \frac{1-\cos{\omega_i t}}{{\lambda_i}^4} \left\lbrace \cosh{\lambda_i}-\cos{\lambda_i}-\frac{\cosh{\lambda_i} + \cos{\lambda_i}}{\sin{\lambda_i}+\sin{\lambda_i}} (\sinh{\lambda_i} - \sin{\lambda_i}) \right\rbrace^2 \]

Obr. 9.1.12: Verifikačné podmienky lineárnej dynamickej analýzy

Verifikačné podmienky:
Dĺžka \(L\) \(10.0\ \mathrm{mm}\)
Šírka prierezu \(a\) \(1.0\ \mathrm{mm}\)
Výška prierezu \(b\) \(1.0\ \mathrm{mm}\)
Youngov modul \(E\) \(4000.0\ \mathrm{kgf/mm^2}\)
Poissonovo číslo \(\nu\) \(0.3\)
Hustota \(\rho\) \(1.0 \times 10^{-9}\ \mathrm{kgf}\;\mathrm{s}^2/\mathrm{mm}^4\)
Gravitačné zrýchlenie \(g\) \(9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\)
Vonkajšia sila \(F_0\) \(1.0\ \mathrm{kgf}\)
Prvok Lineárny hexaedrický prvok
Kvadratický tetraedrický prvok
Metóda riešenia Implicitná metóda
Metóda Newmark-\(\beta\): parameter \(\gamma\) 1/2
Parameter \(\beta\) Newmarkovej metódy \(\beta\) 1/4
Explicitná metóda
Tlmenie Žiadne

Tabuľka 9.1.21: Verifikačné podmienky lineárnej dynamickej analýzy (pokračovanie)

Názov prípadu Typ prvku Počet uzlov Počet prvkov Metóda riešenia Časový prírastok \(\Delta t\) (s)
W361_c0_im_m2_t1 361 99 40 Implicitná metóda 1.0E-06
W361_c0_im_m2_t2 361 99 40 Implicitná metóda 1.0E-05
W361_c0_im_m2_t3 361 99 40 Implicitná metóda 1.0E-04
W361_c0_ex_m2_t1 361 99 40 Implicitná metóda 1.0E-08
W361_c0_ex_m2_t2 361 99 40 Implicitná metóda 1.0E-07
W361_c0_ex_m2_t3 361 99 40 Implicitná metóda 1.0E-06
W342_c0_im_m2_t1 342 525 240 Explicitná metóda 1.0E-06
W342_c0_im_m2_t2 342 525 240 Explicitná metóda 1.0E-05
W342_c0_im_m2_t3 342 525 240 Explicitná metóda 1.0E-04
W342_c0_ex_m2_t1 342 525 240 Explicitná metóda 1.0E-08
W342_c0_ex_m2_t2 342 525 240 Explicitná metóda 5.0E-08
W342_c0_ex_m2_t3 342 525 240 Explicitná metóda 1.0E-07

Tabuľka 9.1.22: Výsledky verifikácie lineárnej dynamickej analýzy exW (konzolový nosník)

Názov prípadu Typ prvku Počet uzlov Počet prvkov Metóda Posunutie v smere z v čase \(t = 0.002\ \mathrm{s}\) (mm)
W361_c0_im_m2_t1 361 99 40 Implicitná metóda 1.9753 1.9302
W361_c0_im_m2_t2 361 99 40 Implicitná metóda 1.9753 1.8686
W361_c0_im_m2_t3 361 99 40 Implicitná metóda 1.9753 0.3794
W361_c0_ex_m2_t1 361 99 40 Implicitná metóda 1.9753 1.9302
W361_c0_ex_m2_t2 361 99 40 Implicitná metóda 1.9753 1.9247
W361_c0_ex_m2_t3 361 99 40 Implicitná metóda 1.9753 Nekonvergoval
W342_c0_im_m2_t1 342 525 240 Explicitná metóda 1.9753 1.9431
W342_c0_im_m2_t2 342 525 240 Explicitná metóda 1.9753 1.8719
W342_c0_im_m2_t3 342 525 240 Explicitná metóda 1.9753 0.3873
W342_c0_ex_m2_t1 342 525 240 Explicitná metóda 1.9753 1.9359
W342_c0_ex_m2_t2 342 525 240 Explicitná metóda 1.9753 1.9358
W342_c0_ex_m2_t3 342 525 240 Explicitná metóda 1.9753 Nekonvergoval

Diagram deformácie a rozdelenie ekvivalentného napätia konzolového nosníka Obr. 9.1.13: Diagram deformácie a rozdelenie ekvivalentného napätia konzolového nosníka

(a) Typ prvku 361 : Implicitná metóda (a) Typ prvku 361 : Implicitná metóda

(b) Typ prvku 361 : Explicitná metóda (b) Typ prvku 361: Explicitná metóda

Obr. 9.1.14 Časový priebeh posunutia bodu budenia \(u_z\)

(a) Typ prvku 342: Implicitná metóda (a) Typ prvku 342: Implicitná metóda

(b) Typ prvku 342: Explicitná metóda (b) Typ prvku 342: Explicitná metóda

Obr. 9.1.15: Časový priebeh posunutia bodu budenia \(u_z\)

Analýza frekvenčnej odozvy

V tejto verifikácii sa na konzolovom nosníku vykoná analýza frekvenčnej odozvy a výsledky sa overia porovnaním s výsledkami univerzálneho komerčného softvéru. Analytický model a verifikačné podmienky sú uvedené nižšie.

Podmienky analýzy:
Youngov modul \(E\) \(210000\ \mathrm{N/mm^2}\)
Poissonovo číslo \(\nu\) \(0.3\)
Hustota \(\rho\) \(7.89 \times 10^{-9}\ \mathrm{t/mm^3}\)
Gravitačné zrýchlenie \(g\) \(9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\)
Zaťaženie \(F_0\) \(1.0\ \mathrm{N}\)
Parameter Rayleighovho tlmenia \(R_m\) \(0.0\)
Parameter Rayleighovho tlmenia \(R_k\) \(7.2E-07\)

Obr. 9.1.16 : Analytický model (lineárny tetraedrický prvok (126 prvkov a 55 uzlov))

Prvých päť vlastných frekvencií získaných modálnou analýzou a frekvenčná odozva v bode budenia sú uvedené nižšie:

mód FrontISTR Komerčný softvér
1 14952 14952
2 15002 15003
3 84604 84539
4 84771 84697
5 127054 126852

Frekvenčná závislosť veľkosti posunutia bodu budenia Obr. 9.1.17 : Frekvenčná závislosť veľkosti posunutia bodu budenia