Skoči na vsebino

Translation update pending

The Slovenian translation may be out of date because the Japanese source has changed. The existing translation remains available while it is being updated.

Napredne formulacije elementov

Standardna formulacija na osnovi pomikov, predstavljena v Formulaciji tridimenzionalnih prostorninskih elementov, pri skoraj nestisljivih materialih ali tankostenskih konstrukcijah, kjer prevladuje upogib, kaže pretirano umetno togost, imenovano zaklepanje (volumsko ali strižno zaklepanje). Za preprečevanje tega FrontISTR ponuja metodi B-bar in F-bar, ki zamenjata samo volumski del matrike B oziroma gradienta deformacije; nezdružljive elemente z notranjimi prostostnimi stopnjami; mešane elemente u-p, ki tlak obravnavajo kot neodvisno neznano polje; ter lupinske elemente MITC in nosilne elemente, specializirane za ploščne in linijske konstrukcije.

To poglavje povzema formulacije teh naprednih in strukturnih elementov po posameznih elementih.

Metoda B-bar

Pri uporabi 8-vozliščnega linearnega heksaedrskega elementa za skoraj nestisljiv material je lahko deformacijsko polje znotraj elementa v nasprotju z omejitvijo konstantnega volumna, kar povzroči pretirano togost, imenovano volumsko zaklepanje. Metoda B-bar to prekomerno omejitev ublaži tako, da komponente matrike B, ki prispevajo k volumskemu raztezanju, zamenja z vrednostmi, ovrednotenimi v središču elementa [Hughes1980].

Naj bo v središču elementa \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) matrika B, izračunana iz prostorskih odvodov oblikovnih funkcij, \(\bar{\boldsymbol{B}}\); v integracijski točki \(\boldsymbol{r}\) pa naj bo običajna matrika B enaka \(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})\). V zvezi pomik-deformacija za vozlišče \(\alpha\) in prostostno stopnjo \(i\) se volumske deformacijske komponente \((\varepsilon_{11}, \varepsilon_{22}, \varepsilon_{33})\) spremenijo z dodatkom

\[ \Delta B_{i\alpha} = \tfrac{1}{3}\bigl(\bar{B}_{i\alpha}(\boldsymbol{0}) - B_{i\alpha}(\boldsymbol{r})\bigr) \]

Za strižne komponente \((\varepsilon_{12}, \varepsilon_{23}, \varepsilon_{31})\) se uporablja običajni \(\boldsymbol{B}\). Matrika togosti elementa in vektor notranjih sil se sestavita z nastalo matriko B-bar.

FrontISTR to formulacijo ponuja posebej za 8-vozliščni linearni heksaedrski element (ID elementa 361; glejte Sistem oštevilčenja elementov) in jo je mogoče uporabiti pri majhnih deformacijah ter pri totalni in posodobljeni Lagrangeevi formulaciji.

Metoda F-bar

Pri končni deformaciji volumska sprememba nelinearno vstopa prek gradienta deformacije \(\boldsymbol{F}\). Metoda F-bar [deSouzaNeto1996] na ravni gradienta deformacije uporabi obravnavo volumskega zaklepanja, analogno metodi B-bar.

Naj bo volumsko razmerje gradienta deformacije, ovrednotenega v središču elementa \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\), \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\), volumsko razmerje v integracijski točki pa \(J = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\). Gradient deformacije v integracijski točki se zamenja z

\[ \bar{\boldsymbol{F}} = \left(\frac{J_0}{J}\right)^{1/3} \boldsymbol{F} \]

S tem je \(\det \bar{\boldsymbol{F}} = J_0\), zato se volumsko razmerje po celotnem elementu uskladi z vrednostjo v središču elementa. Zamenjani \(\bar{\boldsymbol{F}}\) se uporablja pri vrednotenju napetosti in konstrukciji matrike deformacija-pomik, tangentna togost elementa pa vključuje dodatne člene, povezane s to zamenjavo.

FrontISTR metodo F-bar izvaja posebej za 8-vozliščni linearni heksaedrski element in jo je mogoče uporabiti pri majhnih deformacijah ter pri nelinearni geometriji totalne/posodobljene Lagrangeeve formulacije.

Nezdružljivi elementi

8-vozliščnemu linearnemu heksaedrskemu elementu manjkajo deformacijski načini, potrebni za upogib, zato pri problemih z dominantnim upogibom kaže upogibno zaklepanje. Nezdružljivi elementi [Taylor1976] uvedejo dodatne pomikovne načine znotraj elementa in s tem nadomestijo to pomanjkljivost.

Poleg vozliščnih pomikov elementa \(\boldsymbol{u}^e\) se uvedejo prostostne stopnje nezdružljivih načinov \(\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{R}^{9}\), ki obstajajo samo znotraj elementa, kot 3 smeri × 3 načini na element; pomikovno polje se približa kot

\[ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha=1}^{8} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha + \sum_{k=1}^{3} M_k(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{\alpha}_k \]

Za naravne koordinate \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\) so nezdružljive oblikovne funkcije \(M_1 = 1 - \xi^2\), \(M_2 = 1 - \eta^2\) in \(M_3 = 1 - \zeta^2\). Ne zagotavljajo zveznosti prek mej elementov, dodajo pa notranji prostor, ki lahko reproducira deformacije, povezane z upogibnimi načini.

Matrika togosti elementa se najprej sestavi v blokovni obliki zunanjih/notranjih prostostnih stopenj

\[ \begin{bmatrix} \boldsymbol{K}_{dd} & \boldsymbol{K}_{d\alpha} \\ \boldsymbol{K}_{\alpha d} & \boldsymbol{K}_{\alpha\alpha} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u}^e \\ d\boldsymbol{\alpha} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{F}^e_{\text{ext}} \\ \boldsymbol{0} \end{bmatrix} \]

Po sestavljanju v tej obliki statična kondenzacija izloči notranje prostostne stopnje z \(d\boldsymbol{\alpha} = -\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\boldsymbol{K}_{\alpha d}\,d\boldsymbol{u}^e\), s čimer dobimo matriko togosti elementa samo z zunanjimi prostostnimi stopnjami

\[ \boldsymbol{K}^e = \boldsymbol{K}_{dd} - \boldsymbol{K}_{d\alpha}\,\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\,\boldsymbol{K}_{\alpha d} \]

ki se posreduje globalnemu sestavljanju.

FrontISTR nezdružljivi element izvaja posebej za 8-vozliščni linearni heksaedrski element (C3D8IC) in ga je mogoče uporabiti pri majhnih deformacijah ter pri totalni in posodobljeni Lagrangeevi formulaciji.

Mešani elementi U-P

Medtem ko metodi B-bar in F-bar popravljata volumsko komponento znotraj formulacije na osnovi pomikov, mešani element u-p (U-P) uporablja mešano formulacijo [Bathe1996], ki tlak \(\lambda\) uvede kot neznano polje, neodvisno od pomika. Pri skoraj nestisljivih materialih, kot so gumasti materiali s Poissonovim razmerjem zelo blizu 0,5 ali kovine po plastični deformaciji, uveljavljanje omejitve konstantnega volumna samo s pomikovnim poljem povzroči volumsko zaklepanje; obravnava tlaka kot neodvisne spremenljivke to omejitev sprosti.

Napetost se razdeli na deviatorsko in tlačno komponento:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} + \lambda\,\boldsymbol{I}, \qquad \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} = \mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\,\boldsymbol{\varepsilon} \]

Tu je \(\mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\) deviatorska elastična matrika, dobljena tako, da se iz elastične matrike odstrani volumski del, sorazmeren z volumskim modulom \(K\). Tlak \(\lambda\) in volumska deformacija \(g = \mathrm{tr}\,\boldsymbol{\varepsilon}\) sta prek stisljivosti \(\alpha^{-1} = 1/K\) povezana z omejitvijo

\[ g - \alpha^{-1}\lambda = 0 \]

Diskretizacija s pomikom \(\boldsymbol{u}\) in tlakom \(\lambda\) kot neznankama da sklopljeni elementni sistem

\[ \begin{bmatrix} \mathbf{K}_{uu} & \mathbf{K}_{up} \\ \mathbf{K}_{up}^{T} & \mathbf{K}_{pp} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u} \\ d\lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{f}_{u} \\ \boldsymbol{f}_{p} \end{bmatrix} \]

kjer \(\mathbf{K}_{uu}\) vsebuje deviatorski elastični prispevek in pri končni deformaciji geometrijsko togost; \(\mathbf{K}_{up}\) sklaplja volumsko deformacijo in tlak; \(\mathbf{K}_{pp} = -\int \alpha^{-1}\,\boldsymbol{N}_p \boldsymbol{N}_p^{T}\,dV\) pa je stabilizacijski člen tlaka (\(\boldsymbol{N}_p\) je oblikovna funkcija tlaka). Ker so prostostne stopnje tlaka notranje za element,

\[ \mathbf{K}_{\mathrm{eff}} = \mathbf{K}_{uu} - \mathbf{K}_{up}\,\mathbf{K}_{pp}^{-1}\,\mathbf{K}_{up}^{T} \]

se statična kondenzacija izvede v tej obliki, učinkovita togost samo z zunanjimi (pomikovnimi) prostostnimi stopnjami pa se posreduje globalnemu sestavljanju.

FrontISTR element U-P izvaja posebej za 8-vozliščni linearni heksaedrski element z eno tlačno prostostno stopnjo na element (konstantno znotraj elementa). Uporabiti ga je mogoče pri majhnih deformacijah ter v totalni in posodobljeni Lagrangeevi formulaciji. Pri posodobljeni Lagrangeevi formulaciji se deviatorska napetost posodobi z objektivno napetostno hitrostjo (tip Jaumann/Hughes-Winget), tlak \(\lambda\,\boldsymbol{I}\) pa se nato uvede z vrednostjo, dobljeno s statično kondenzacijo.

Lupinski elementi

Lupinski elementi na osnovi Reissner-Mindlinove teorije plošč/lupin se uporabljajo za tankostenske ploščne in lupinske konstrukcije. Z zmanjševanjem debeline nizkoredni pomikovni ploščni/lupinski elementi zaradi mehanizma, podobnega volumskemu zaklepanju, precenijo prečno strižno deformacijo (strižno zaklepanje), kar pretirano poveča togost za upogibne načine. Metoda MITC (Mixed Interpolation of Tensorial Components) [Dvorkin1984] [Bathe1986] se temu izogne tako, da samo komponente strižne deformacije ponovno vzorči v vnaprej določenih veznih točkah elementa in vzorčene vrednosti interpolira nazaj po elementu.

Vozlišča lupinskega elementa MITC ležijo na srednji ploskvi, vsako vozlišče pa ima šest prostostnih stopenj: tri translacijske in tri rotacijske komponente okoli koordinatnega sistema normale srednje ploskve. Togost elementa se ovrednoti s tridimenzionalno Gaussovo integracijo po naravnih koordinatah srednje ploskve in smeri debeline, debelina \(h\) pa se pri konstitutivnem vrednotenju poda kot lastnost elementa.

FrontISTR ponuja MITC3 (ID elementa 731), MITC4 (741) in MITC9 (743), predstavljene z eno plastjo srednje ploskve, ter plastne lupinske elemente MITC3-shell361 (761, 3\(\times\)2 vozlišč, 3 prostostne stopnje na vozlišče) in MITC4-shell361 (781, 4\(\times\)2 vozlišč, 3 prostostne stopnje na vozlišče), katerih vozlišča so razporejena v dveh plasteh po debelini. Pri plastnih lupinskih elementih vozliščne prostostne stopnje sestavljajo samo tri translacijske komponente, upogibni načini, ki ustrezajo rotacijskim prostostnim stopnjam, pa so predstavljeni z dvoslojno razporeditvijo.

Nosilni elementi

Linijski členi, kot so nosilci in okvirne konstrukcije, se diskretizirajo z nosilnimi elementi. Nosilni elementi predstavljajo razteg, upogib in torzijo samo s translacijami in rotacijami vozlišč na osi nosilca, deformacija znotraj prereza pa je opisana s konstantami prereza.

Vsako vozlišče nosilca ima šest prostostnih stopenj: tri translacijske in tri rotacijske komponente. Togost elementa se določi z oblikovanjem togostnih matrik v zaprti obliki za razteg, upogib v dveh smereh in torzijo v lokalnem koordinatnem sistemu, ki ga določata os elementa in referenčna os, podana v podatkih prereza, nato pa se te matrike transformirajo v globalni koordinatni sistem. Ploščina prereza \(A\), drugi momenti površine \(I_y\) in \(I_z\) okoli lokalnih osi \(y\) in \(z\) ter torzijska konstanta se podajo kot podatki prereza; skupaj z Youngovim modulom \(E\) materiala in strižnim modulom \(G\), izpeljanim iz Youngovega modula in Poissonovega razmerja, določajo ustrezne koeficiente togosti.

Za upogib sta na voljo dve formulaciji: Bernoulli-Eulerjev nosilec, ki predpostavlja, da prerez po deformaciji ostane pravokoten na os nosilca in zanemarja strižno deformacijo, ter Timošenkov nosilec, ki strižno deformacijo upošteva. Obe je mogoče izbrati za dvo-vozliščni nosilni element 611, pri čemer je Bernoulli-Eulerjev nosilec privzeta izbira. Za Timošenkov nosilec z dolžino elementa \(L\) se koeficienta, ki predstavljata prispevek strižne deformacije,

\[ \Phi_y = \frac{12 E I_z}{G A_s L^2}, \qquad \Phi_z = \frac{12 E I_y}{G A_s L^2} \]

vključita v koeficiente togosti za ustrezni ravnini upogiba. Na primer, koeficient togosti za poves v lokalni smeri \(y\) je \(12 E I_z / \{ L^3 (1 + \Phi_y) \}\). Tukaj je \(A_s\) strižna površina. Ker podatki prereza FrontISTR ne podajajo \(A_s\) ločeno, se uporabi \(A_s = A\). To je enakovredno strižnemu korekcijskemu faktorju 1. Če nastavimo \(\Phi_y = \Phi_z = 0\), dobimo togost Bernoulli-Eulerjevega nosilca.

Element 641 je element z mešanimi prostostnimi stopnjami, ki nosilec predstavlja z dvema vozliščema s translacijskimi prostostnimi stopnjami in dvema vozliščema z rotacijskimi prostostnimi stopnjami ter je formuliran kot Bernoulli-Eulerjev nosilec.

Sorodne teme