Seznam simbolov fizikalnih veličin
Na tej strani so navedeni simboli fizikalnih veličin, ki se uporabljajo v teoretičnem priročniku FrontISTR. Za dogovore zapisa (krepki zapis vektorjev in tenzorjev, Einsteinov dogovor seštevanja in Voigtov zapis) glejte Tenzorski zapis in matematične osnove.
Konfiguracije in koordinatni sistemi
| Simbol | Opis |
| \(\boldsymbol{X}\) | Krajevni vektor materialne točke v referenčni (začetni) konfiguraciji (materialne koordinate) |
| \(\boldsymbol{x}\) | Krajevni vektor materialne točke v trenutni konfiguraciji (prostorske koordinate) |
| \(\phi(\boldsymbol{X}, t)\) | Preslikava gibanja: \(\boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t)\) |
| \(\Omega_0\) | Območje, ki ga telo zavzema v referenčni konfiguraciji |
| \(\Omega\) | Območje, ki ga telo zavzema v trenutni konfiguraciji |
| \(\Gamma_0\) | Rob območja \(\Omega_0\) |
| \(\Gamma\) | Rob območja \(\Omega\) |
| \(\Gamma_B, \Gamma_{0B}\) | Geometrijski (pomikovni) rob: rob v trenutni/referenčni konfiguraciji, na katerem je predpisan \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) |
| \(\Gamma_t, \Gamma_{0t}\) | Mehanski rob: rob v trenutni/referenčni konfiguraciji, na katerem je predpisan \(\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) (ali \(\boldsymbol{P}\boldsymbol{N} = \bar{\boldsymbol{t}}\)) |
| \(\boldsymbol{n}\) | Zunanji enotski normalni vektor na površino v trenutni konfiguraciji |
| \(\boldsymbol{N}\) | Zunanji enotski normalni vektor na površino v referenčni konfiguraciji |
| \(t\) | Čas |
Dogovor: Fizikalne veličine v referenčni konfiguraciji so označene z velikimi črkami ali indeksom \(0\), veličine v trenutni konfiguraciji pa z malimi črkami.
Čas in prirastki (inkrementna analiza)
| Simbol | Opis |
| \(\Delta t\) | Časovni prirastek: \(\Delta t = t_{n+1} - t_n\) |
| \(^{t}(\cdot)\) | Fizikalna veličina ob času \(t\) (levi nadpis). Primer: \(^{t}\boldsymbol{\sigma}\) je Cauchyjeva napetost ob času \(t\) |
| \(^{t}\Omega\) | Območje trenutne konfiguracije ob času \(t\) |
| \(^{t}\Gamma\) | Rob trenutne konfiguracije ob času \(t\) |
Dogovor: Pri inkrementni analizi se stanje do časa \(t\) obravnava kot znano, stanje pri času \(t + \Delta t\) pa se rešuje kot neznano. Levi nadpis se izpusti, kadar časa ni treba izrecno navesti. Formulacija, ki kot referenco uporablja referenčno konfiguracijo \(\Omega_0\), se imenuje formulacija Total Lagrange, formulacija, ki kot referenco uporablja trenutno konfiguracijo \(^{t}\Omega\) na začetku prirastka, pa formulacija Updated Lagrange.
Pomik, hitrost, pospešek in volumska sila
| Simbol | Opis |
| \(\boldsymbol{u}\) | Vektor pomika: \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{u}}\) | Pomik, predpisan na geometrijskem robu \(\Gamma_B\) |
| \(\delta \boldsymbol{u}\) | Virtualni pomik (testna funkcija): \(\delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) na \(\Gamma_B\) |
| \(\boldsymbol{v}\) | Vektor hitrosti: \(\boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}\) |
| \(\boldsymbol{a}\) | Vektor pospeška: \(\boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}}\) |
| \(\boldsymbol{g}\) | Volumska sila (na enoto mase) |
| \(\boldsymbol{t}\) | Vektor površinske sile (na enoto površine): \(\boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{t}}\) | Površinska sila, predpisana na mehanskem robu \(\Gamma_t\) (Neumannovi podatki) |
Diferencialni operatorji
| Simbol | Opis |
| \(\dot{(\cdot)}\) | Materialni časovni odvod (časovni odvod, ki sledi isti materialni točki): \(\dot{A} \equiv DA/Dt\) |
| \(\nabla_X\) | Gradient v referenčni konfiguraciji (gradient glede na materialne koordinate \(\boldsymbol{X}\)): \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\) |
| \(\nabla_x\) | Gradient v trenutni konfiguraciji (gradient glede na prostorske koordinate \(\boldsymbol{x}\)): \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\) |
| \(\nabla_S\) | Operator simetričnega gradienta: \(\nabla_S \boldsymbol{u} = \tfrac{1}{2}(\nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T)\) |
Opomba: \(\nabla_X\) in \(\nabla_x\) sta povezana z \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). Gradient brez indeksa, \(\nabla\), se uporablja, kadar je konfiguracija jasna iz konteksta ali kadar razlika izgine, kot pri problemih majhnih deformacij.
| Simbol | Opis |
| \(\boldsymbol{F}\) | Tenzor deformacijskega gradienta: \(F_{ij} = \partial x_i / \partial X_j\) |
| \(J\) | Razmerje volumnov: \(J = dv/dV = \det \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{C}\) | Desni Cauchy-Greenov deformacijski tenzor: \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{b}\) | Levi Cauchy-Greenov deformacijski tenzor: \(\boldsymbol{b} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T\) |
| \(\boldsymbol{L}\) | Tenzor gradienta hitrosti: \(L_{ij} = \partial v_i / \partial x_j = \dot{F}_{ik}F^{-1}_{kj}\) |
| \(\boldsymbol{D}\) | Tenzor hitrosti deformacije (simetrični del \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{D} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}+\boldsymbol{L}^T)\) |
| \(\boldsymbol{W}\) | Tenzor vrtenja (antisimetrični del \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{W} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}^T)\) |
| Simbol | Opis |
| \(\boldsymbol{E}\) | Green-Lagrangeov tenzor deformacije (referenčna konfiguracija): \(\boldsymbol{E} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{I})\) |
| \(\boldsymbol{e}\) | Almansijev tenzor deformacije (trenutna konfiguracija): \(\boldsymbol{e} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{b}^{-1})\) |
| \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) | Linearni del Almansijevega tenzorja deformacije (simetrični gradient pomika v trenutni konfiguraciji): \(\boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T)\) |
| \(\boldsymbol{\varepsilon}\) | Tenzor infinitezimalne deformacije (linearna aproksimacija): \(\varepsilon_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i/\partial x_j + \partial u_j/\partial x_i)\) |
Opomba: \(\boldsymbol{E}\) se uporablja predvsem v formulaciji Total Lagrange, \(\boldsymbol{D}\) pa predvsem v formulaciji Updated Lagrange.
Tenzorji napetosti
| Simbol | Opis |
| \(\boldsymbol{\sigma}\) | Cauchyjev tenzor napetosti (prava napetost, trenutna konfiguracija): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\,d\Gamma\) |
| \(\boldsymbol{P}\) | Prvi Piola-Kirchhoffov tenzor napetosti (nominalna napetost): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
| \(\boldsymbol{S}\) | Drugi Piola-Kirchhoffov tenzor napetosti (referenčna konfiguracija, simetričen): \(\boldsymbol{F}^{-1}d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
Pretvorbene zveze med tenzorji napetosti:
\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J}\boldsymbol{F}\boldsymbol{S}\boldsymbol{F}^T = \frac{1}{J}\boldsymbol{P}\boldsymbol{F}^T \]
Dogovor: Formulacija Total Lagrange uporablja par \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\), formulacija Updated Lagrange pa par \((\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{D})\).
Gostota in masa
| Simbol | Opis |
| \(\rho\) | Masna gostota v trenutni konfiguraciji |
| \(\rho_0\) | Masna gostota v referenčni konfiguraciji |
Ohranitev mase: \(\rho_0 = J\rho\).
Materialne konstante (linearna elastičnost)
| Simbol | Opis |
| \(E\) | Youngov modul |
| \(\nu\) | Poissonovo razmerje |
| \(\lambda\) | Prva Laméjeva konstanta: \(\lambda = E\nu / [(1+\nu)(1-2\nu)]\) |
| \(\mu\) | Druga Laméjeva konstanta (strižni modul): \(\mu = E / [2(1+\nu)]\) |
| \(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) | Tenzor elastičnosti (četrtega reda): \(\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{E}\), komponente \(C_{ijkl}\) |
| \(D\) (ali \(\hat{\tilde{C}}\)) | Materialna matrika (Voigtov zapis, \(6\times6\) v 3D): \(\hat{\sigma} = D\,\hat{\varepsilon}\) |
Komponente tenzorja elastičnosti za izotropni linearno elastični material:
\[ C_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk}) \]
Hiperelastični materiali
| Simbol | Opis |
| \(W(\boldsymbol{C})\) | Funkcija elastičnega potenciala (gostota deformacijske energije) |
| \(I_1, I_2, I_3\) | Glavne invariante desnega Cauchy-Greenovega tenzorja \(\boldsymbol{C}\) |
| \(\tilde{I}_1, \tilde{I}_2, \tilde{I}_3\) | Reducirane invariante \(\boldsymbol{C}\) (ločena volumska sprememba) |
| \(C_1, C_2\) | Materialni konstanti Mooney-Rivlinovega modela |
| \(D\) | Materialna konstanta, povezana z volumsko elastičnostjo |
Elastoplastični materiali
| Simbol | Opis |
| \(\boldsymbol{D}^e\) | Elastična komponenta tenzorja hitrosti deformacije |
| \(\boldsymbol{D}^p\) | Plastična komponenta tenzorja hitrosti deformacije |
| \(F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa)\) | Funkcija tečenja |
| \(\kappa\) | Notranja spremenljivka, ki predstavlja plastično stanje (spremenljivka izotropnega utrjevanja) |
| \(\lambda^p\) | Plastični multiplikator (multiplikator hitrosti plastične deformacije): \(\lambda^p \geq 0\) |
| \(\Theta\) | Plastični potencial (\(\Theta = F\) pri asociiranem pravilu tečenja) |
| \(\bar{\sigma}\) | Ekvivalentna napetost (npr. von Misesova napetost) |
| \(\bar{\varepsilon}^p\) | Ekvivalentna plastična deformacija |
| \(H(\bar{\varepsilon}^p)\) | Funkcija izotropnega utrjevanja |
Komplementarni pogoj: \(\lambda^p F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa) = 0\), \(\lambda^p \geq 0\), \(F \leq 0\).
Metoda končnih elementov
| Simbol | Opis |
| \(\Omega^h, \Omega_0^h\) | Območji trenutne in referenčne konfiguracije, aproksimirani z diskretizacijo končnih elementov: \(\Omega^h = \bigcup_e \Omega^e\) |
| \(\Omega^e, \Omega^e_0\) | Območje elementa v trenutni in referenčni konfiguraciji |
| \(\Gamma^e_t, \Gamma^e_{0t}\) | Del roba elementa, ki pripada mehanskemu robu |
| \(\boldsymbol{r}\) | Naravne koordinate (lokalne koordinate elementa) |
| \(\boldsymbol{r}_\alpha\) | Točka v naravnih koordinatah, ki ustreza vozlišču \(\alpha\) |
| \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) | Oblikovna funkcija, ki ustreza vozlišču \(\alpha\) elementa \(e\) |
| \(n_e\) | Število vozlišč, ki sestavljajo element |
| \(n_g\) | Skupno število globalnih vozlišč |
| \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) | Koordinate in pomik vozlišča elementa \(\alpha\) |
| \(\boldsymbol{X}^e, \boldsymbol{u}^e\) | Vektorja vozliščnih koordinat in pomikov elementa: \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\), itd. |
| \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) | Globalna vektorja vozliščnih koordinat in pomikov (urejena po številki vozlišča in nato po prostostni stopnji) |
| \(\boldsymbol{B}\) | Matrika zveze med deformacijo in pomikom (matrika B) |
| \(\boldsymbol{N}_\alpha, \boldsymbol{N}\) | Matrika oblikovnih funkcij: \(\boldsymbol{N}_\alpha\) je blok \(d \times d\) z oblikovno funkcijo \(N_\alpha^e\) vozlišča \(\alpha\) na diagonali, \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\). \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\) |
| \(\boldsymbol{K}^e\) | Matrika togosti elementa |
| \(\boldsymbol{K}^e_X, \boldsymbol{K}^e_x\) | Integranda matrike togosti elementa (izražena v referenčni in trenutni konfiguraciji): \(\boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv\) |
| \(\boldsymbol{Q}^e\) (formulacija TL), \(\boldsymbol{q}^e\) (formulacija UL) | Vektor notranjih sil elementa |
| \(\boldsymbol{F}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e\) | Vozliščna zunanja sila na vozlišče elementa \(\alpha\) in vektor vozliščnih zunanjih sil elementa: \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\) |
| \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) | Globalni vektor notranjih sil in globalni vektor zunanjih sil: \(\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T\); podobno za \(\boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{Q}_{i_g}, \boldsymbol{F}_{i_g}\) | Vozliščna notranja sila in vozliščna zunanja sila v globalnem vozlišču \(i_g\) (vozliščna bloka \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\)) |
| \(\boldsymbol{K}\) | Globalna tangentna matrika togosti: \(\boldsymbol{K} = \partial \boldsymbol{Q}/\partial \boldsymbol{u}\). Matrika, sestavljena tako, da je blok \(3\times 3\) \(\boldsymbol{K}_{i_gi_h}\) postavljen v vrstico \(i_g\), stolpec \(i_h\) |
| \(\boldsymbol{R}_i\) | Vektor reziduala v Newton-Raphsonovi iteraciji: \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\) |
| \(d\boldsymbol{u}_i\) | Popravek v Newton-Raphsonovi iteraciji (dobljen z rešitvijo linearne enačbe \(\boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}\) pri iteraciji \(i\)) |
| \(i_g\) | Številka globalnega vozlišča (\(1 \leq i_g \leq n_g\)) |
| \(\mathrm{gdx}(e, \alpha)\) | Številka globalnega vozlišča, ki ustreza lokalni številki vozlišča \(\alpha\) elementa \(e\): \(\mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\) |
| \(\mathcal{E}(i_g)\) | Množica parov \((e, \alpha)\), ki ustrezajo številki globalnega vozlišča \(i_g\): \(\mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \}\). Uporablja se pri sestavljanju |
| \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) | Množica trojic \((e, \alpha, \beta)\), ki ustrezajo paru številk globalnih vozlišč \((i_g, i_h)\); uporablja se pri sestavljanju matrike togosti |
| \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) | Indeksi vozlišč, ki sestavljajo element |
| \(i, j, k, l, \ldots\) | Indeksi prostostnih stopenj (\(1, 2, 3\) v 3D) |
Napredni in konstrukcijski elementi
| Simbol | Opis |
| \(\bar{\boldsymbol{B}}\) | Matrika zveze med deformacijo in pomikom, pri kateri je volumski del spremenjen z metodo B-bar (volumska komponenta je nadomeščena z matriko B, ovrednoteno v središču elementa) |
| \(\bar{\boldsymbol{F}}\) | Deformacijski gradient z volumskim delom, spremenjenim z metodo F-bar: \(\bar{\boldsymbol{F}} = (J_0/J)^{1/3} \boldsymbol{F}\) |
| \(J_0\) | Razmerje volumnov deformacijskega gradienta, ovrednotenega v središču elementa \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\): \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\) |
| \(\boldsymbol{\alpha}\) | Vektor notranjih prostostnih stopenj za element z nekompatibilnimi načini (koeficienti dodatnih načinov pomika, pri katerih na robu elementa ni zahtevana zveznost) |
| \(M_k(\boldsymbol{r})\) | Oblikovne funkcije za nekompatibilne načine: \(M_1=1-\xi^2\), \(M_2=1-\eta^2\), \(M_3=1-\zeta^2\) |
| \(h\) | Debelina lupinastega elementa |
| \(A\) | Ploščina prečnega prereza nosilnega elementa |
| \(I\) | Drugi moment ploščine prečnega prereza nosilnega elementa |
| \(G\) | Strižni modul: \(G = E/[2(1+\nu)]\) |
Sorodne teme