Skoči na vsebino

Konvergenčna presoja

Kot pogoj za prekinitev Newton-Raphson iteracij (Newton-Raphsonova metoda) FrontISTR uporabi dve vrsti dimenzijsko neodvisnih količin: kriterij norme reziduala in kriterij norme korekcije. Oba imata isto definicijo ne glede na vrsto analize (statična analiza, implicitna dinamična analiza) in prisotnost kontakta.

Delitev presojanih količin

Prostostne stopnje vozlišč vsebujejo sestavine z različnimi fizikalnimi dimenzijami. Pri elementih s 6 prostostnimi stopnjami ima rezidual translacijskih prostostnih stopenj dimenzijo sile, rezidual rotacijskih prostostnih stopenj pa dimenzijo momenta. Poleg tega analiza kontakta s metodo Lagrangeovih multiplikatorjev (analiza kontakta) doda vrstici reziduala vrstico, ki ustreza kontaktnemu presledku (dimenzija dolžine).

Če bi te sestavine združili v eno samo vsoto kvadratov, bi vrednost norme poljubno odvisela od izbire enotnega sistema in pomen praga ne bi bil določen. Zato FrontISTR presojane količine loči po dimenzijah, vsako normalizira z ustrezno referenčno količino in šele nato opravi presojo.

Simbol Sestavina Dimenzija
\(\tilde{\boldsymbol{R}}_t\) Rezidual translacijskih prostostnih stopenj (prostostne stopnje vozlišča 1–3) Sila
\(\tilde{\boldsymbol{R}}_r\) Rezidual rotacijskih prostostnih stopenj (prostostne stopnje vozlišča 4–6, le pri elementih s 6 prostostnimi stopnjami) Moment
\(d\boldsymbol{\lambda}\) Korekcija Lagrangeovih multiplikatorjev Sila

Prostostna stopnja tlaka v sklopljenih elementih s tekočino (4 prostostne stopnje vozlišča, \(u,v,w,p\)) ni vključena v presojo.

Pri travnih in lupinastih elementih s 3 prostostnimi stopnjami vozlišča (641/761/781) se rotacija izrazi s prostostnimi stopnjami 1–3 dumijskega vozlišča, ki je v paru s translacijskim vozliščem. Ker presoja dumijskih vozlišč ne ločuje, je rezidual dumijskih vozlišč (moment) prav tako vključen v translacijsko sestavino \(\tilde{\boldsymbol{R}}_t\). Enako velja za kriterij norme korekcije in presojo po največji vrednosti.

Rezidual \(\tilde{\boldsymbol{R}}\) ne vsebuje sestavin prostostnih stopenj, na katere so naložene omejitve pomikov. Sestavine teh prostostnih stopenj namreč ustrezajo reakcijskim silam omejitev in niso napaka ravnotežja (Newton-Raphsonova metoda).

Kriterij norme reziduala

Rezidual \(\tilde{\boldsymbol{R}}_i\) na iteraciji \(i\) normaliziramo s velikostjo sil, ki v sistemu v tistem trenutku nastopajo. Referenčna sila \(F_\mathrm{ref}\) za translacijsko sestavino in referenčni moment \(M_\mathrm{ref}\) za rotacijsko sestavino sta

\[ F_\mathrm{ref} = \max\left( \|\boldsymbol{Q}_t\|,\ \|\boldsymbol{D}_t\| \right), \qquad M_\mathrm{ref} = \max\left( \|\boldsymbol{Q}_r\|,\ \|\boldsymbol{D}_r\| \right) \]

kjer je \(\boldsymbol{Q}\) vektor notranjih sil in \(\boldsymbol{D}\) vsota inercijskih in viskoznih sil

\[ \boldsymbol{D} = \boldsymbol{M}\ddot{\boldsymbol{u}}_{n+1} + \boldsymbol{C}\dot{\boldsymbol{u}}_{n+1} \]

(dinamična analiza). Pri statični analizi je \(\boldsymbol{D} = \boldsymbol{0}\). Indeksoma \(t, r\) označujeta translacijsko oziroma rotacijsko sestavino iz prejšnje sekcije. Presojane količine so

\[ \frac{\|\tilde{\boldsymbol{R}}_{i,t}\|}{F_\mathrm{ref}} < \varepsilon_f, \qquad \frac{\|\tilde{\boldsymbol{R}}_{i,r}\|}{M_\mathrm{ref}} < \varepsilon_f \]

.

Za referenčno silo in referenčni moment vzamemo največjo vrednost norm notranjih sil oziroma inercijskih in viskoznih sil, ne pa vektorske vsote \(\|\boldsymbol{Q} + \boldsymbol{D}\|\). Razlog je, da pri prostem nihanju brez zunanjih sil v ravnotežju velja \(\boldsymbol{Q} = -\boldsymbol{D}\), zato bi referenčna količina vektorske vsote padla na \(0\). Pri največji vrednosti norm takega izničevanja ne pride.

Če referenčna količina pade pod vnaprej določeno spodnjo mejo (\(10^{-8}\)) (npr. pri prvi iteraciji, ki se začne iz stanja brez obremenitve), se za presojano količino uporabi sama norma reziduala, brez deljenja z referenčno količino. V tem primeru presoja poteka po absolutni vrednosti reziduala.

Kriterij norme korekcije

Korekcijo \(d\boldsymbol{u}_i\), pridobljeno na iteraciji \(i\), normaliziramo s prirastkom pomika \(\Delta\boldsymbol{u}\), kumuliranim do takrat v tem podkoraku.

\[ \frac{\|d\boldsymbol{u}_{i,t}\|}{\|\Delta\boldsymbol{u}_t\|} < \varepsilon_d, \qquad \frac{\|d\boldsymbol{u}_{i,r}\|}{\|\Delta\boldsymbol{u}_r\|} < \varepsilon_d \]

Dovolj majhna korekcija glede na kumulirani prirastek pomeni, da se je iteracija ustalila. Kriterij uporabljamo kot dopolnilno presojo za probleme, pri katerih se rezidual zmanjšuje le počasi. Če je imenovalec \(0\), kriterij obravnavamo kot nizepolnjenega.

Kriterij Lagrangeovih multiplikatorjev

Pri analizi kontakta s metodo Lagrangeovih multiplikatorjev presoji dodamo korekcijo multiplikatorjev, normalizirano z njihovo lastno velikostjo:

\[ \frac{\|d\boldsymbol{\lambda}_i\|}{\max\left( \|\boldsymbol{\lambda}\|,\ F_\mathrm{ref} \right)} < \varepsilon_\lambda \]

Ker je omejitev kontaktnega presledka v skupni sistem enačb vključena kot enačba za Lagrangeove multiplikatorje, omejitev smatramo za izpolnjeno, če so multiplikatorji konvergirali. Rezidual presledka, ki ima dimenzijo dolžine, v kriterij norme reziduala ne vključimo, ker ga ni mogoče sešteti z reziduali sil.

Lagrangeovi multiplikatorji so kontaktne sile in imajo isto dimenzijo kot referenčna sila \(F_\mathrm{ref}\), zato imenovalec od spodaj omejimo z \(F_\mathrm{ref}\). Če bi normalizirali samo z \(\|\boldsymbol{\lambda}\|\), bi se v stanju, v katerem kontakt skoraj ne prevzame obremenitve, presoja neomejeno otežila; dodatno pa bi takoj po vzpostavitvi kontakta pri določenih vozliščih veljalo \(\|\boldsymbol{\lambda}\| = 0\) ob \(\|d\boldsymbol{\lambda}_i\| \neq 0\), kar bi pogoj naredilo neizpolnljivega. Postopek, ko imenovalec pade pod spodnjo mejo, je enak kot pri kriteriju norme reziduala.

Presoja po največji vrednosti

Ker je L2-norma vsota kvadratov po vseh prostostnih stopnjah, se rezidual, ki ostane le na nekaterih vozliščih, pri večanjem številu vozlišč razredči po celotni strukturi in se oceni kot manjši. Da bi zaznali lokalno neizpolnjeno ravnotežje, kot ga opazimo pri kontaktnih vozliščih, lahko poleg prejšnjih kriterijev uporabimo presojo, v kateri L2-normo v vsakem kriteriju zamenjamo z največjo absolutno vrednostjo sestavin prostostnih stopenj.

Največjo vrednost translacijske sestavine vektorja \(\boldsymbol{v}\) za vozlišče \(I\) in prostostno stopnjo vozlišča \(k\) določimo z

\[ \|\boldsymbol{v}_t\|_\infty = \max_{I}\ \max_{k=1,2,3} |v_{Ik}| \]

Rotacijsko sestavino \(\|\boldsymbol{v}_r\|_\infty\) določimo podobno za \(k = 4,5,6\), za Lagrangeove multiplikatorje pa vzamemo največjo absolutno vrednost vseh sestavin. Presojane količine dobimo tako, da v vsakem kriteriju zamenjamo L2-normo v števcu in imenovalcu s to največjo vrednostjo.

\[ \frac{\|\tilde{\boldsymbol{R}}_{i,t}\|_\infty}{F^\infty_\mathrm{ref}} < \varepsilon^\infty_f, \qquad F^\infty_\mathrm{ref} = \max\left( \|\boldsymbol{Q}_t\|_\infty,\ \|\boldsymbol{D}_t\|_\infty \right) \]
\[ \frac{\|d\boldsymbol{u}_{i,t}\|_\infty}{\|\Delta\boldsymbol{u}_t\|_\infty} < \varepsilon^\infty_d, \qquad \frac{\|d\boldsymbol{\lambda}_i\|_\infty}{\max\left( \|\boldsymbol{\lambda}\|_\infty,\ F^\infty_\mathrm{ref} \right)} < \varepsilon^\infty_\lambda \]

Rotacijske sestavine obravnavamo podobno. Postopek, ko referenčna količina pade pod spodnjo mejo oziroma ko je imenovalec \(0\), je enak kot pri kriterijih L2-norm.

Referenčne količine prav tako vzamemo kot največje vrednosti iste oblike, da ohranimo velikost presojanih količin primerljivo s kriteriji L2-norm in da lahko uporabimo primerljive pragove. Sestavin prostostnih stopenj ne delimo z ločenimi referenčnimi količinami, ker bi se pri smereh brez obremenitve referenčna količina približevala \(0\) in presojana količina izgubila pomen.

Pri presoji po največji vrednosti so določena vozlišče in prostostna stopnja, ki dajo največjo vrednost. FrontISTR to izpiše v dnevnik za vsako iteracijo, in sicer za rezidual in korekcijo.

Kombinacija presoj

Vsako presojano količino do sedaj (rezidual, korekcija in Lagrangeovi multiplikatorji, za translacijsko in rotacijsko sestavino, po L2-normi in po največji vrednosti) lahko posamično določimo, ali se upošteva v presoji (CHECK) ali ne (SKIP). Privzeto so vse presoje po L2-normi CHECK, vse presoje po največji vrednosti pa SKIP.

Kriterij norme reziduala in kriterij norme korekcije za izpolnjene obravnavamo, če je izpolnjen katerikoli od njiju. Kriterij Lagrangeovih multiplikatorjev pa potrjuje, da so omejitve kontakta izpolnjene, zato ga pri analizah, v katerih obstajajo Lagrangeovi multiplikatorji, vedno zahtevamo. Znotraj posameznega kriterija je treba izpolniti vse postavke, označene CHECK, med translacijskimi in rotacijskimi sestavinami ter med L2-normo in največjo vrednostjo.

Za izraz v obliki enačb določimo za množico presojanih količin \(G\) naslednja dva pogoja:

\[ \mathrm{all\_ok}(G) = \bigwedge_{m \in G} \left( m \text{ je izpolnjena} \ \vee\ m \text{ je SKIP} \right), \qquad \mathrm{any\_check}(G) = \bigvee_{m \in G} \left( m \text{ je CHECK} \right) \]

\(\mathrm{all\_ok}(G)\) je res, če v \(G\) ni nobene presojane količine, označene CHECK. Pogoj za konvergenco je

\[ \mathrm{all\_ok}(\text{kriterij Lagrangeovih multiplikatorjev}) \ \wedge\ \left\{ \left( \mathrm{any\_check}(\text{kriterij norme korekcije}) \wedge \mathrm{all\_ok}(\text{kriterij norme korekcije}) \right) \ \vee\ \left( \mathrm{any\_check}(\text{kriterij norme reziduala}) \wedge \mathrm{all\_ok}(\text{kriterij norme reziduala}) \right) \right\} \]

. Vključitev \(\mathrm{any\_check}\) na obe množici, povezani z "ali", prepreči, da bi množica, ki nima nobene presojane količine CHECK, prezrla presojo. Rotacijske sestavine pri analizah brez rotacijskih prostostnih stopenj in kriterij Lagrangeovih multiplikatorjev pri analizah brez Lagrangeovih multiplikatorjev se v presoji ne uporabljata, tudi če je za njih določeno CHECK. V privzeti nastavitvi pogoj za konvergenco je

\[ \left( \text{kriterij Lagrangeovih multiplikatorjev} \right) \ \wedge\ \left\{ \left( \text{kriterij norme korekcije} \right) \ \vee\ \left( \text{kriterij norme reziduala} \right) \right\} \]

kjer se pri analizah s rotacijskimi prostostnimi stopnjami presojata tako translacijska kot rotacijska sestavina, pri analizah brez Lagrangeovih multiplikatorjev pa samo pogoji brez kriterija Lagrangeovih multiplikatorjev.

Način določanja in privzete vrednosti pragov \(\varepsilon_f, \varepsilon_d, \varepsilon_\lambda\) za presojo po L2-normi so v !STEP, nastavitve CHECK/SKIP in pragovi za presojo po največji vrednosti v !CONVERG_PARAM, smernice glede izbire med merili pa v Nelinearna iteracija in časovna integracija (funkcija).

Sorodne teme