Modalna analiza¶

Posplošeni problem lastnih vrednosti¶

Pri analizi prostega nihanja kontinuuma se konstrukcija prostorsko diskretizira in modelira kot sistem z več prostostnimi stopnjami in koncentriranimi masami, kot je prikazano na sliki 2.3.1. Za problem nedušenega prostega nihanja je vodilna enačba (enačba gibanja) naslednja.

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = 0 \label{eq:2.3.1} \end{equation}\]

Pri tem je $u$ posplošeni vektor pomikov, $M$ masna matrika in $K$ matrika togosti. Naj bo $\omega$ lastna krožna frekvenca, $a$ in $b$ naj bosta poljubni konstanti, ki nista hkrati enaki nič, $x$ pa naj bo vektor. Definirajmo funkcijo

\[\begin{equation} u(t) = (a \sin \omega t + b \cos \omega t ) x \label{eq:2.3.2} \end{equation}\]

Njen drugi odvod je

\[\begin{equation} \ddot{u}(t) = -\omega^2 (a \sin \omega t + b \cos \omega t) x \label{eq:2.3.3} \end{equation}\]

Z vstavljanjem enačbe $\eqref{eq:2.3.2}$ in enačbe $\eqref{eq:2.3.3}$ v enačbo $\eqref{eq:2.3.1}$ dobimo

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = (a \sin \omega t + b \cos \omega t) (K-\omega^2 M) x = 0 \label{eq:2.3.4} \end{equation}\]

S tem dobimo zgornjo enačbo.

Pri netrivialnem nihanju izraz $a \sin \omega t + b \cos \omega t$ ni identično enak nič.

\[ (K-\omega^2M)x=0 \]

Zato velja zgornja zveza. Če postavimo $\lambda=\omega^2$, dobimo

\[\begin{equation} K x = \lambda M x \label{eq:2.3.5} \end{equation}\]

S tem dobimo zgornjo enačbo.

Skalar $\lambda$ imenujemo lastna vrednost, vektor $x$ lastni vektor, problem, izražen z enačbo $\eqref{eq:2.3.5}$, pa posplošeni problem lastnih vrednosti.

Lastno krožno frekvenco $\omega$ dobimo iz lastne vrednosti $\lambda=\omega^2$, pripadajoči lastni vektor $x$ pa predstavlja nihajno obliko.

Primer sistema z več prostostnimi stopnjami pri nedušenem prostem nihanju

Slika 2.3.1 Primer sistema z več prostostnimi stopnjami pri nedušenem prostem nihanju

Lastnosti matrik in predpostavke¶

Za posplošeni problem lastnih vrednosti $Kx=\lambda Mx$, dobljen v prejšnjem razdelku, v tem priročniku predpostavljamo, da so matrike simetrične. Pri kompleksnih matrikah to ustreza hermitskim matrikam, pri realnih matrikah pa simetričnim matrikam.

Naj bo $k_{ij}$ element $ij$ matrike $K$. Hermitska lastnost je

\[\begin{equation} k_{ij} = \bar{k}_{ji} \label{eq:2.3.6} \end{equation}\]

izražena z zgornjo enačbo, pri čemer je $\bar{k}_{ji}$ kompleksno konjugirana vrednost $k_{ji}$. Pri realnih matrikah postane ta zveza $k_{ij}=k_{ji}$.

Realna simetrična matrika $H$ je pozitivno definitna, če za vsak neničelni vektor $x$

\[\begin{equation} x^{t} H x > 0 \label{eq:2.3.7} \end{equation}\]

velja zgornja neenačba. V tem primeru so vse lastne vrednosti matrike $H$ pozitivne.

V konstrukcijskem problemu lastnih vrednosti se masna matrika $M$ običajno obravnava kot pozitivno definitna. Matrika togosti $K$ pa je lahko glede na omejitve pozitivno semidefinitna in ima lahko ničelne lastne vrednosti, ki ustrezajo načinom togega telesa.

Inverzna iteracija s premikom¶

Pri praktični konstrukcijski analizi z metodo končnih elementov praviloma ne potrebujemo vseh lastnih vrednosti; pogosto zadostuje največ nekaj lastnih vrednosti nižjega reda. HEC-MW je namenjen problemom velikih razsežnosti, pri katerih so matrike velike in izredno redke ter vsebujejo veliko ničelnih elementov. Zato je pomembno učinkovito izračunati lastne vrednosti načinov nižjega reda ob upoštevanju teh lastnosti.

Za premik $\sigma$, če $-\sigma$ ni lastna vrednost in je $K+\sigma M$ nesingularna matrika, lahko enačbo $\eqref{eq:2.3.5}$ preoblikujemo na naslednji način.

\[\begin{equation} (K + \sigma M)^{-1} M x = \frac{1}{\lambda+\sigma} x \label{eq:2.3.8} \end{equation}\]

Ta transformacija pusti lastni vektor $x$ nespremenjen in preslika lastno vrednost $\lambda$ v $1/(\lambda+\sigma)$.

Čim bližje je $\lambda$ vrednosti $-\sigma$, tem večja je absolutna vrednost transformirane lastne vrednosti. V konstrukcijskem problemu lastnih vrednosti velja $\lambda \geq 0$ in $\sigma \geq 0$, zato se najnižja lastna vrednost preslika v lastno vrednost z največjo absolutno vrednostjo. Z izkoriščanjem te lastnosti in uporabo iteracijske metode, ki praviloma najprej konvergira k lastnim vrednostim z veliko absolutno vrednostjo, za enačbo $\eqref{eq:2.3.8}$ lahko učinkovito dobimo lastne vrednosti nižjega reda v naraščajočem zaporedju.

Ta metoda se imenuje inverzna iteracija s premikom.

Pri analizah z omejitvami FrontISTR nastavi $\sigma = 0$, enačba $\eqref{eq:2.3.8}$ pa postane $K^{-1} M x = \frac{1}{\lambda} x$, to je inverzna iteracija brez premika. Pri prosti–prosti analizi brez omejitev je $K$ singularna, ker ima ničelne lastne vrednosti, ki ustrezajo načinom togega telesa; z dodelitvijo pozitivne vrednosti parametru $\sigma$ se $K+\sigma M$ regularizira. Vrednost $\sigma$ se določi s SIGMA v !EIGEN.

Lanczoseva metoda¶

Razlog za uporabo (primerjava z Jacobijevo metodo)¶

Jacobijeva metoda je dobro znana klasična metoda.

Učinkovita je, kadar je matrika majhna in gosta. Ker so matrike, ki jih obravnava HEC-MW, velike in redke, se Jacobijeva metoda ne uporablja; namesto nje se uporablja iteracijska Lanczoseva metoda.

Algoritem in značilnosti¶

Ta metoda, ki jo je C. Lanczos predlagal v petdesetih letih 20. stoletja, je algoritem za tridiagonalizacijo matrike in ima naslednje značilnosti.

Je iteracijska metoda, ki lahko izvaja izračun ob ohranjanju redkosti matrike.
Njene operacije sestavljajo predvsem zmnožki matrike in vektorja, zato je primerna za paralelizacijo.
Primerna je za geometrijsko dekompozicijo domene, povezano z mrežami končnih elementov.
Učinkovite izračune omogoča z omejitvijo števila lastnih vrednosti ali območja načinov, ki jih želimo dobiti.

Lanczoseva metoda začne z začetnim vektorjem, zaporedoma konstruira ortogonalne vektorje in določi bazo Krylovovega podprostora.

Pri aritmetiki s končno natančnostjo lahko napake zaokroževanja povzročijo izgubo ortogonalnosti vektorjev. Da bi omejila ta učinek, implementacija FrontISTR vsak vektor ponovno ortogonalizira glede na že dobljene Lanczoseve bazne vektorje.

Geometrijska interpretacija (Krylovov podprostor)¶

Z uporabo naslednjih transformacij spremenljivk v enačbi $\eqref{eq:2.3.8}$

\[ A = (K + \sigma M)^{-1} M \]

\[\begin{equation} \frac{1}{\lambda+\sigma}= \zeta \label{eq:2.3.9} \end{equation}\]

lahko problem prepišemo kot

\[\begin{equation} A x = \zeta x \label{eq:2.3.10} \end{equation}\]

S tem dobimo zgornjo enačbo.

Za poljuben neničelni vektor $q_0$

\[ q_0,\ Aq_0,\ A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0 \]

prostor, ki ga napenjajo ti vektorji,

\[ \mathcal{K}_m(A,q_0) = \operatorname{span} \{q_0,Aq_0,A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0\} \]

imenujemo Krylovov podprostor.

Lanczoseva metoda zaporedoma konstruira bazo tega Krylovovega podprostora.

FrontISTR uporablja naslednji skalarni produkt, povezan z masno matriko $M$,

\[ \langle x,y\rangle_M = x^T M y \]

za ortonormiranje baze. Skalarni produkt $\langle x,y\rangle$ in norma $\|x\|$, prikazana na naslednjih slikah, se v izračunih FrontISTR razlagata kot ta $M$-skalarni produkt in pripadajoča $M$-norma

\[ \|x\|_M=\sqrt{x^T M x} \]

v tem zaporedju.

Na poljuben vektor $q_0$ se uporabi linearna transformacija, določena z matriko $A$, kot je prikazano na sliki 2.3.2.

$Linearna transformacija vektorja $q_0$ z matriko $A$$

Slika 2.3.2 Linearna transformacija vektorja $q_0$ z matriko $A$

Transformirani vektor se ortogonalizira znotraj prostora, ki ga napenja skupaj z izvirnim vektorjem. Natančneje, izvede se Gram-Schmidtova ortogonalizacija, kot je prikazano na sliki 2.3.3. Naj bo dobljeni vektor $r_1$; z njegovo normalizacijo dobimo $q_1$.

$Vektor $q_1$, ortogonalen na $q_0$$

Slika 2.3.3 Vektor $q_1$, ortogonalen na $q_0$

Po enakem postopku iz $q_1$ dobimo $q_2$. Pri tem je $q_2$ ortogonalen tako na $q_1$ kot na $q_0$, kot je prikazano na sliki 2.3.4.

$Vektor $q_2$, ortogonalen na $q_1$ in $q_0$$

Slika 2.3.4 Vektor $q_2$, ortogonalen na $q_1$ in $q_0$

Lanczoseva metoda tako zaporedoma konstruira ortonormirano bazo Krylovovega podprostora. Teoretično simetrija problema lastnih vrednosti omogoča, da to iteracijo izrazimo kot tričleno rekurzijsko zvezo, ki vključuje najnovejše bazne vektorje.

Implementacija FrontISTR pa vsak vektor ponovno ortogonalizira glede na že dobljene Lanczoseve bazne vektorje z uporabo $M$-skalarnega produkta, da omeji izgubo ortogonalnosti zaradi aritmetike s končno natančnostjo.

Tridiagonalizacija¶

V Lanczosevi iteraciji FrontISTR se bazni vektorji ortonormirajo glede na $M$-skalarni produkt, opisan v prejšnjem razdelku, zato

\[ q_i^T M q_j = \delta_{ij} \]

velja zgornja zveza.

Z uporabo matrike $A$ iz enačbe $\eqref{eq:2.3.10}$ je teoretična Lanczoseva iteracija

\[\begin{equation} A q_i = \beta_i q_{i-1} + \alpha_i q_i + \beta_{i+1} q_{i+1} \label{eq:2.3.11} \end{equation}\]

podana z zgornjo tričleno rekurzijsko zvezo.

Najprej se $\alpha_i$ definira na naslednji način.

\[ \alpha_i = q_i^T M A q_i \]

Nato se začasni rezidual definira kot

\[ \tilde{r}_{i+1} = Aq_i - \beta_i q_{i-1} - \alpha_i q_i \]

je prikazano zgoraj.

Da bi omejila izgubo ortogonalnosti zaradi aritmetike s končno natančnostjo, implementacija FrontISTR ponovno ortogonalizira $\tilde{r}_{i+1}$ glede na že dobljene Lanczoseve bazne vektorje z uporabo $M$-skalarnega produkta. Če je $r_{i+1}$ rezidual po ponovni ortogonalizaciji, potem

\[\begin{equation} \beta_{i+1} = \sqrt{r_{i+1}^T M r_{i+1}}, \qquad q_{i+1} = \frac{r_{i+1}}{\beta_{i+1}} \label{eq:2.3.12} \end{equation}\]

veljajo zgornje zveze.

Združimo $m$ baznih vektorjev, dobljenih z Lanczosevo iteracijo, v

\[ Q_m=[q_0,q_1,\ldots,q_{m-1}] \]

Po končnem številu Lanczosevih iteracij potem

\[\begin{equation} A Q_m = Q_m T_m + \beta_m q_m e_m^T \label{eq:2.3.13} \end{equation}\]

velja zgornja zveza.

Pri tem je $e_m$ $m$-razsežni enotski vektor, katerega $m$-ta komponenta je 1, vse druge komponente pa so nič, in

\[\begin{equation} T_m= \begin{pmatrix} \alpha_0 & \beta_1 & & &\\ \beta_1 & \alpha_1 & \beta_2 & &\\ & \ddots & \ddots & \ddots &\\ & & \beta_{m-2} & \alpha_{m-2}& \beta_{m-1}\\ & & & \beta_{m-1} & \alpha_{m-1} \end{pmatrix} \label{eq:2.3.14} \end{equation}\]

je simetrična tridiagonalna matrika.

Lastne vrednosti izvirnega problema lastnih vrednosti velikih razsežnosti lahko tako aproksimiramo z izračunom lastnih vrednosti tridiagonalne matrike $T_m$.

Sorodne teme¶

Analiza frekvenčnega odziva — Frekvenčni odziv z uporabo rezultatov modalne analize
Vrste analiz — Funkcionalni pregled modalne analize