Preverjanje z modelom preproste geometrije¶

Elastična statična analiza¶

Pri tem preverjanju se uporablja konzolni nosilec, zamrežen, kot je prikazano na sliki 9.1.1. Izvedene so bile analize za sedem primerov, od exA do exG, z različnimi obremenitvenimi pogoji, prikazanimi na sliki 9.1.2. Primer exG ima enake obremenitvene pogoje kot exA, vendar uporablja direktni reševalnik.

Rezultati preverjanja za posamezne obremenitvene pogoje so prikazani v tabelah 9.1.1–9.1.7.

Slika 9.1.1 Primer mreže konzolnega nosilca (heksaedrski elementi)


	(a) exA,G: Koncentrirana obremenitev
	(b) exD: Gravitacija
	(c) exB: Porazdeljena površinska obremenitev
	(d) exE: Centrifugalna sila
	(e) exC: Volumska obremenitev
	(f) exF: Toplotna obremenitev

Postavka	Vrednost
Youngov modul	\(E = 4000.0\ \mathrm{kgf/mm^2}\)
Dolžina	\(L = 10.0\ \mathrm{mm}\)
Poissonovo razmerje	\(\nu = 0.3\)
Površina prereza	\(A = 1.0\ \mathrm{mm^2}\)
Masna gostota	\(\rho = 8.0102 \times 10^{-10}\ \mathrm{kgf}\;\mathrm{s}^2/\mathrm{mm}^4\)
Drugi moment površine	\(I = 1.0/12.0\ \mathrm{mm^4}\)
Gravitacijski pospešek	\(g = 9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\)
Koeficient linearnega toplotnega raztezanja	\(\alpha = 1.0 \times 10^{-5}\)

Slika 9.1.2 Pogoji preverjanja za model konzolnega nosilca

Tabela 9.1.1: exA: Rezultati preverjanja problema s koncentrirano obremenitvijo

Ime primera	Število elementov		Predvidena vrednost : \(\delta_{max}= -1.000\)		Opombe
		NASTRAN	Komercialni program	FrontISTR
A231	40	-0.338	-0.371	-0.371	33 vozlišč / problem ravninskega napetostnega stanja
A232	40	-0.942	-1.002	-1.002	105 vozlišč / problem ravninskega napetostnega stanja
A241	20	-0.720	-0.711	-0.711	33 vozlišč / problem ravninskega napetostnega stanja
A242	20	-0.910	-1.002	-1.002	85 vozlišč / problem ravninskega napetostnega stanja
A341	240	-0.384	-0.384	-0.386	99 vozlišč
A342	240	-0.990	-0.990	-0.999	525 vozlišč
A351	80	-0.353	-0.355	-0.351	99 vozlišč
A352	80	-0.993	-0.993	-0.992	381 vozlišč
A361	40	-0.954	-0.985	-0.984	99 vozlišč
A362	40	-0.994	-0.993	-0.993	220 vozlišč
A731	40	-	-	-0.991	33 vozlišč / direktna metoda
A741	20	-	-	-0.996	33 vozlišč / direktna metoda

Tabela 9.1.2: exB: Rezultati preverjanja problema s porazdeljeno površinsko obremenitvijo

Ime primera	Število elementov		Predvidena vrednost : \(\delta_{max}= -3.750\)		Opombe
		NASTRAN	Komercialni program	FrontISTR
B231	40	-1.281	-1.403	-1.403	33 vozlišč / problem ravninskega napetostnega stanja
B232	40	-3.579	-3.763	-3.763	105 vozlišč / problem ravninskega napetostnega stanja
B241	20	-3.198	-2.680	-2.680	33 vozlišč / problem ravninskega napetostnega stanja
B242	20	-3.426	-3.765	-3.765	85 vozlišč / problem ravninskega napetostnega stanja
B341	240	-1.088	-1.449	-1.454	99 vozlišč
B342	240	-3.704	-3.704	-3.748	525 vozlišč
B351	80	-3.547	-1.338	-1.325	99 vozlišč
B352	80	-0.3717	-3.716	-3.713	381 vozlišč
B361	40	-3.557	-3.691	-3.688	99 vozlišč
B362	40	-3.726	-3.717	-3.717	220 vozlišč
B731	40	-	-	-3.722	33 vozlišč / direktna metoda
B741	20	-	-	-3.743	33 vozlišč / direktna metoda

Tabela 9.1.3: exC: Rezultati preverjanja problema z volumsko obremenitvijo

Ime primera	Število elementov		Predvidena vrednost : \(\delta_{max} = -2.944 \times 10^{-5}\)		Opombe
		NASTRAN	Komercialni program	FrontISTR
C231	40	-	-1.101e-5	-1.101e-5	33 vozlišč / problem ravninske napetosti
C232	40	-	-2.951e-5	-2.951e-5	105 vozlišč / problem ravninske napetosti
C241	20	-	-2.102e-5	-2.102e-5	33 vozlišč / problem ravninske napetosti
C242	20	-	-2.953e-5	-2.953e-5	85 vozlišč / problem ravninske napetosti
C341	240	-	-1.136e-5	-1.140e-5	99 vozlišč
C342	240	-	-2.905e-5	-2.937e-5	525 vozlišč
C351	80	-	-1.050e-5	-1.039e-5	99 vozlišč
C352	80	-	-2.914e-5	-2.911e-5	381 vozlišč
C361	40	-	-2.895e-5	-2.893e-5	99 vozlišč
C362	40	-	-2.915e-5	-2.915e-5	220 vozlišč
C731	40	-	-	-2.922e-5	33 vozlišč / direktna metoda
C741	20	-	-	-2.938e-5	33 vozlišč / direktna metoda

Tabela 9.1.4: exD: Rezultati preverjanja problema z gravitacijo

Ime primera	Število elementov		Predvidena vrednost : \(\delta_{max} = -2.944 \times 10^{-5}\)		Opombe
		NASTRAN	Komercialni program	FrontISTR
D231	40	-1.101e-5	-1.101e-5	-1.101e-5	33 vozlišč / problem ravninskega napetostnega stanja
D232	40	-2.805e-5	-2.951e-5	-2.951e-5	105 vozlišč / problem ravninskega napetostnega stanja
D241	20	-2.508e-5	-2.102e-5	-2.102e-5	33 vozlišč / problem ravninskega napetostnega stanja
D242	20	-2.684e-5	-2.953e-5	-2.953e-5	85 vozlišč / problem ravninskega napetostnega stanja
D341	240	-1.172e-5	-1.136e-5	-1.140e-5	99 vozlišč
D342	240	-2.906e-5	-2.905e-5	-2.937e-5	525 vozlišč
D351	80	-1.046e-5	-1.050e-5	-1.039e-5	99 vozlišč
D352	80	-2.917e-5	-2.914e-5	-2.911e-5	381 vozlišč
D361	40	-2.800e-5	-2.895e-5	-2.893e-5	99 vozlišč
D362	40	-2.919e-5	-2.915e-5	-2.915e-5	220 vozlišč
D731	40	-	-	-2.922e-5	33 vozlišč / direktna metoda
D741	20	-	-	-2.938e-5	33 vozlišč / direktna metoda

Tabela 9.1.5: exE: Rezultati preverjanja problema s centrifugalno silo

Ime primera	Število elementov		Predvidena vrednost : \(\delta_{max} = 2.635 \times 10^{-3}\)		Opombe
		NASTRAN	Komercialni program	FrontISTR
E231	40	2.410e-3	2.616e-3	2.650e-3	33 vozlišč / problem ravninskega napetostnega stanja
E232	40	2.447e-3	2.627e-3	2.628e-3	105 vozlišč / problem ravninskega napetostnega stanja
E241	20	2.386e-3	2.622e-3	2.624e-3	33 vozlišč / problem ravninskega napetostnega stanja
E242	20	2.387e-3	2.627e-3	2.629e-3	85 vozlišč / problem ravninskega napetostnega stanja
E341	240	2.708e-3	2.579e-3	2.625e-3	99 vozlišč
E342	240	2.639e-3	2.614e-3	2.638e-3	525 vozlišč
E351	80	2.642e-3	2.598e-3	2.625e-3	99 vozlišč
E352	80	2.664e-3	2.617e-3	2.616e-3	381 vozlišč
E361	40	2.611e-3	2.603e-3	2.603e-3	99 vozlišč
E362	40	2.623e-3	2.616e-3	2.616e-3	220 vozlišč
E731	40	-	-	2.619e-3	33 vozlišč / direktna metoda
E741	20	-	-	2.622e-3	33 vozlišč / direktna metoda

Tabela 9.1.6: exF: Rezultati preverjanja problema s toplotno napetostno obremenitvijo

Ime primera	Število elementov		Predvidena vrednost : \(\delta_{max} = 1.000 \times 10^{-2}\)		Opombe
		NASTRAN	Komercialni program	FrontISTR
F231	40	-	1.016e-2	1.007e-2	33 vozlišč / problem ravninskega napetostnega stanja
F232	40	-	1.007e-2	1.007e-2	105 vozlišč / problem ravninskega napetostnega stanja
F241	20	-	1.010e-2	1.010e-2	33 vozlišč / problem ravninskega napetostnega stanja
F242	20	-	1.006e-2	1.006e-2	85 vozlišč / problem ravninskega napetostnega stanja
F341	240	-	1.047e-2	1.083e-2	99 vozlišč
F342	240	-	1.018e-2	1.022e-2	525 vozlišč
F351	80	-	1.031e-2	1.062e-2	99 vozlišč
F352	80	-	1.015e-2	1.017e-2	381 vozlišč
F361	40	-	1.026e-2	1.026e-2	99 vozlišč
F362	40	-	1.016e-2	1.016e-2	220 vozlišč

Tabela 9.1.7: exG: Rezultati preverjanja direktne metode (problem s koncentrirano obremenitvijo)

Ime primera	Število elementov		Predvidena vrednost: δmax= -1.000		Opombe
		NASTRAN	Komercialni program	FrontISTR
G231	40	-0.338	-0.371	-0.371	33 vozlišč / problem ravninskega napetostnega stanja
G232	40	-0.942	-1.002	-1.002	105 vozlišč / problem ravninskega napetostnega stanja
G241	20	-0.720	-0.711	-0.711	33 vozlišč / problem ravninskega napetostnega stanja
G242	20	-0.910	-1.002	-1.002	85 vozlišč / problem ravninskega napetostnega stanja
G341	240	-0.384	-0.384	-0.386	99 vozlišč
G342	240	-0.990	-0.990	-0.999	525 vozlišč
G351	80	-0.353	-0.355	-0.351	99 vozlišč
G352	80	-0.993	-0.993	-0.992	381 vozlišč
G361	40	-0.954	-0.985	-0.984	99 vozlišč
G362	40	-0.994	-0.993	-0.993	220 vozlišč
G731	40	-	-	-0.991	33 vozlišč / direktna metoda
G741	20	-	-	-0.996	33 vozlišč / direktna metoda

Nelinearna statična analiza¶

(2-1) exnl1: Geometrijsko nelinearna analiza¶

Model za preverjanje primera exI je enak modelom primerov exA do exG. Slika 9.1.3 prikazuje shemo modela za preverjanje. Na tem modelu se izvede geometrijsko nelinearna analiza. Rezultati preverjanja so prikazani v tabeli 9.1.8.

Nelinearni izračun se izvede za referenčno obremenitev \(P = 1.0\ \mathrm{kgf}\), s prirastkom obremenitve \(0.1P\) v 10 korakih.

Slika 9.1.3 Model za preverjanje

Tabela 9.1.8 exI: Rezultati preverjanja (zgodovina največjega poveska)

Ime primera	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9	1.0	Linearna rešitev
I231	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
I232	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
I241	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
I242	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
I341	0.039	0.077	0.116	0.154	0.193	0.232	0.270	0.309	0.348	0.386	0.386
I342	0.099	0.200	0.300	0.400	0.499	0.599	0.698	0.797	0.896	0.995	0.999
I351	0.035	0.070	0.105	0.141	0.176	0.211	0.246	0.281	0.316	0.351	0.351
I352	0.099	0.198	0.298	0.397	0.496	0.595	0.693	0.792	0.890	0.987	0.992
I361	0.070	0.139	0.209	0.278	0.348	0.417	0.487	0.556	0.625	0.694	0.984
I362	0.099	0.197	0.298	0.397	0.496	0.595	0.694	0.793	0.891	0.988	0.993

(2-2) exnl2: Analiza elastoplastične deformacije¶

Ta problem preverjanja temelji na preizkusu NL1 organizacije National Agency for Finite Element Methods and Standards (U.K.) (NAFEMS), in izvaja analizo elastoplastične deformacije z geometrijsko nelinearnostjo in več pravili utrjevanja. Slika 9.1.4 prikazuje analizni model.

Model analize elastoplastične deformacije

Slika 9.1.4 Model analize elastoplastične deformacije

(1) Pogoji preverjanja

Postavka	Vrednost
Material	Misesov elastoplastični material
Youngov modul	\(E = 250\ \mathrm{GPa}\)
Poissonovo razmerje	\(\nu=0.25\)
Začetna napetost tečenja	\(5\ \mathrm{MPa}\)
Začetna deformacija tečenja	\(0.25\times10^{-4}\)
Koeficient izotropnega utrjevanja	\(H_i = 0\) ali \(62.5\ \mathrm{GPa}\)

(2) Robni pogoji

Postavka	Robni pogoj	Vrednost
Korak 1	Predpisani pomik v vozliščih 2 in 3	\(u_x = 0.2500031251 * 10^{-4}\)
Korak 2	Predpisani pomik v vozliščih 2 in 3	\(u_x = 0.25000937518 * 10^{-4}\)
Korak 3	Predpisani pomik v vozliščih 3 in 4	\(u_y = 0.2500031251 * 10^{-4}\)
Korak 4	Predpisani pomik v vozliščih 3 in 4	\(u_y = 0.25000937518 * 10^{-4}\)
Korak 5	Predpisani pomik v vozliščih 2 in 3	\(u_x = -0.25000937518 * 10^{-4}\)
Korak 6	Predpisani pomik v vozliščih 2 in 3	\(u_x = -0.2500031251 * 10^{-4}\)
Korak 7	Predpisani pomik v vozliščih 3 in 4	\(u_y = -0.25000937518 * 10^{-4}\)
Korak 8	Predpisani pomik v vozliščih 3 in 4	\(u_y = -0.2500031251 * 10^{-4}\)

Vsa vozlišča, ki tukaj niso navedena, so popolnoma omejena. Teoretična rešitev tega problema je naslednja.

Deformacija (\(\times10^{-4}\)) [\(\varepsilon_x\), \(\varepsilon_y\), \(\varepsilon_z\)]	Ekvivalentna napetost (MPa) [\(H_i=0\ H_k=0\); \(H_i=62.5\ H_k=0\)]
0.25, 0, 0	5.0; 5.0
0.50, 0, 0	5.0; 5.862
0.50, 0.25, 0	5.0; 5.482
0.50, 0.50, 0	5.0; 6.362
0.25, 0.50, 0	5.0; 6.640
0, 0.50, 0	5.0; 7.322
0, 0.25, 0	3.917; 4.230
0, 0, 0	5.0; 5.673

Za primerjavo so rezultati izračuna naslednji.

Deformacija (\(\times10^{-4}\)) [\(\varepsilon_x\), \(\varepsilon_y\), \(\varepsilon_z\)]	Ekvivalentna napetost (MPa) [\(H_i=0\ H_k=0\); \(H_i=62.5\ H_k=0\)]
\(\varepsilon_{x}\)	\(\varepsilon_{y}\)
0.25, 0, 0	5.0 (0.0%); 5.0 (0.0%)
0.50, 0, 0	5.0 (0.0%); 5.862 (0.0%)
0.50, 0.25, 0	5.0 (0.0%); 5.482 (0.0%)
0.50, 0.50, 0	5.0 (0.0%); 6.362 (-0.05%)
0.25, 0.50, 0	5.0 (0.0%); 6.640 (-0.21%)
0, 0.50, 0	5.0 (0.0%); 7.322 (-0.34%)
0, 0.25, 0	3.824 (-2.4%); 4.230 (-2.70%)
0, 0, 0	5.0 (0.0%); 5.673 (5.673 (-2.50%)

Kontaktna analiza (1)¶

Ta problem preverjanja temelji na kontaktnem patch-test problemu CGS-4 organizacije National Agency for Finite Element Methods and Standards (U.K.), in preverja funkcionalnost kontakta s končnim drsenjem in trenjem. Slika 9.1.5 prikazuje analizni model.

Model kontaktne analize

Slika 9.1.5 Model kontaktne analize

Ravnotežni pogoj za ta problem je naslednji.

\[ F \cos \alpha - G \sin \alpha = \pm f_{c} \]

V fazi adhezijskega trenja je sila trenja

\[ f_{c} = E_t \Delta u \]

v fazi drsnega trenja pa je

\[ f_{c} = \mu(G \cos \alpha + F \sin \alpha) \]

S tem dobimo zgornjo zvezo.

Primerjava med rezultati izračuna in analitično rešitvijo je naslednja.

\(\mu\)	\(F/G\) Analitična rešitev	\(F/G\) Rezultati izračuna
0.0	0.1	0.1
0.1	0.202	0.202
0.2	0.306	0.306
0.3	0.412	0.412

Kontaktna analiza (2): Hertzov kontaktni problem¶

Pri tem preverjanju se analizira Hertzov kontaktni problem med neskončno dolgim valjem in neskončno ravnino. Polmer valja je \(R = 8\ \mathrm{mm}\), Youngov modul \(E\) in Poissonovo razmerje \(\mu\) deformabilnega telesa pa sta \(1100\ \mathrm{MPa}\) oziroma \(0.0\). Predpostavi se, da je kontaktna površina dovolj majhna v primerjavi s polmerom valja; ob upoštevanju simetrije problema se analizira model četrtine valja.

Slika 9.1.6 Analizni model Hertzovega kontaktnega problema

(1) Rezultati preverjanja kontaktnega polmera¶

Teoretična formula za izračun kontaktnega polmera je naslednja:

\[ a = \sqrt{\frac{4FR}{\pi E^{*}}} \]

kjer

\[ E^{*} = E/2(1 - \mu^{2}) \]

S tem dobimo zgornji izraz. Pri teh računskih pogojih je pri tlaku \(F=100\) kontaktni polmer \(a=1.36\).

Slika 9.1.7 prikazuje ekvivalentne vozliščne sile v kontaktnih točkah. Kontaktni polmer se določi z ekstrapolacijo te porazdelitve vozliščnih sil.

Porazdelitev ekvivalentnih vozliščnih sil v kontaktnih točkah

Slika 9.1.7 Porazdelitev ekvivalentnih vozliščnih sil v kontaktnih točkah

(2) Rezultati preverjanja največje strižne napetosti¶

V teoretični rešitvi je na kontaktnem mestu

\[ z = 0.78a \]

največja strižna napetost

\[ \tau_{\max} = 0.30\sqrt{\frac{\text{FE}^{*}}{\pi R}} \]

To je teoretična največja strižna napetost. Pri teh računskih pogojih

\[ \tau_{\max} = 14.2 \]

To je teoretična vrednost pri danih pogojih. Za primerjavo izračun da

\[ \tau_{\max} = 15.6 \]

To je izračunani rezultat.

Slika 9.1.8 Porazdelitev strižne napetosti (največja vrednost = 15.6)

(3) Modalna analiza¶

Modela za preverjanje primerov exJ in exK sta enaka modelom primerov exA do exG. Slika 9.1.9 prikazuje shemo modela za preverjanje. Na tem modelu se izvede modalna analiza. Izračunajo se prve tri lastne frekvence. Primer exJ uporablja iterativni reševalnik, primer exK pa direktni reševalnik. Rezultati preverjanja so prikazani v tabelah 9.1.9–9.1.12.

Slika 9.1.9 Model za preverjanje

Lastne frekvence konzolnega nosilca se določijo z naslednjimi enačbami.

Prva lastna oblika

\[ n_1 = \frac{1.875^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } \]

Druga lastna oblika

\[ n_2 = \frac{4.694^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } \]

Tretja lastna oblika

\[ n_3 = \frac{7.855^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } \]

Vrednosti lastnosti modela za preverjanje so

Postavka	Vrednost
\(I\)	\(1.0/12.0\ \mathrm{mm}^4\)
\(E\)	\(4000.0\ \mathrm{kgf/mm^2}\)
\(l\)	\(10.0\ \mathrm{mm}\)
\(\omega\)	\(7.85 \times 10^{-6}\ \mathrm{kgf/mm^3}\)
\(g\)	\(9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\)

Zato so prve tri lastne frekvence naslednje:

Številka lastne oblike	Vrednost
\(n_1\)	3.609e3
\(n_2\)	2.262e4
\(n_3\)	6.335e4

Tabela 9.1.9: exJ: Rezultati preverjanja z iterativno metodo za prvo lastno frekvenco

Ime primera	Število elementov	Predvidena vrednost : n1=3.609e3		Opombe
		NASTRAN	FrontISTR
J231	40	5.861e3	5.861e3	33 vozlišč / problem ravninskega napetostnega stanja
J232	40	3.596e3	3.593e3	105 vozlišč / problem ravninskega napetostnega stanja
J241	20	3.586e3	4.245e3	33 vozlišč / problem ravninskega napetostnega stanja
J242	20	3.590e3	3.587e3	85 vozlišč / problem ravninskega napetostnega stanja
J341	240	5.442e3	5.429e3	99 vozlišč
J342	240	3.621e3	3.595e3	525 vozlišč
J351	80	3.695e3	4.298e3	99 vozlišč
J352	80	3.610e3	3.609e3	381 vozlišč
J361	40	3.679e3	3.619e3	99 vozlišč
J362	40	3.611e3	3.606e3	220 vozlišč

Tabela 9.1.10: exJ: Rezultati preverjanja z iterativno metodo za drugo lastno frekvenco

Ime primera	Število elementov	Predvidena vrednost : n2=2.262e4		Opombe
		NASTRAN	FrontISTR
J231	40	3.350e4	3.351e4	33 vozlišč / problem ravninskega napetostnega stanja
J232	40	2.163e4	2.156e4	105 vozlišč / problem ravninskega napetostnega stanja
J241	20	2.149e4	2.516e4	33 vozlišč / problem ravninskega napetostnega stanja
J242	20	2.149e4	2.143e4	85 vozlišč / problem ravninskega napetostnega stanja
J341	240	3.145e4	3.138e4	99 vozlišč
J342	240	2.171e4	2.155e4	525 vozlišč
J351	80	2.208e4	2.546e4	99 vozlišč
J352	80	2.156e4	2.149e4	381 vozlišč
J361	40	2.202e4	2.168e4	99 vozlišč
J362	40	2.154e4	2.144e4	220 vozlišč

Opomba: Pri tridimenzionalnih (3D) modelih sta prva in druga lastna oblika degenerirani. Zato je tretja izračunana lastna frekvenca v tabeli navedena kot druga lastna frekvenca.

Tabela 9.1.11: exK: Rezultati preverjanja z direktno metodo za prvo lastno frekvenco

Ime primera	Število elementov	Predvidena vrednost : n1=3.609e3		Opombe
		NASTRAN	FrontISTR
J231	40	5.861e3	5.861e3	33 vozlišč / problem ravninskega napetostnega stanja
J232	40	3.596e3	3.593e3	105 vozlišč / problem ravninskega napetostnega stanja
J241	20	3.586e3	4.245e3	33 vozlišč / problem ravninskega napetostnega stanja
J242	20	3.590e3	3.587e3	85 vozlišč / problem ravninskega napetostnega stanja
J341	240	5.442e3	5.429e3	99 vozlišč
J342	240	3.621e3	3.595e3	525 vozlišč
J351	80	3.695e3	4.298e3	99 vozlišč
J352	80	3.610e3	3.609e3	381 vozlišč
J361	40	3.679e3	3.619e3	99 vozlišč
J362	40	3.611e3	3.606e3	220 vozlišč
J731	40	-	3.606e3	220 vozlišč
J741	20	-	3.594e3	220 vozlišč

Tabela 9.1.12: exK: Rezultati preverjanja z direktno metodo za drugo lastno frekvenco

Ime primera	Število elementov	Predvidena vrednost : n2=2.262e4		Opombe
		NASTRAN	FrontISTR
J231	40	3.350e4	3.351e4	33 vozlišč / problem ravninskega napetostnega stanja
J232	40	2.163e4	2.156e4	105 vozlišč / problem ravninskega napetostnega stanja
J241	20	2.149e4	2.516e4	33 vozlišč / problem ravninskega napetostnega stanja
J242	20	2.149e4	2.143e4	85 vozlišč / problem ravninskega napetostnega stanja
J341	240	3.145e4	3.138e4	99 vozlišč
J342	240	2.171e4	2.155e4	525 vozlišč
J351	80	2.208e4	2.546e4	99 vozlišč
J352	80	2.156e4	2.149e4	381 vozlišč
J361	40	2.202e4	2.168e4	99 vozlišč
J362	40	2.154e4	2.144e4	220 vozlišč
J731	40	-	2.156e4	220 vozlišč
J741	20	-	2.153e4	220 vozlišč

Opomba: Pri 3D-modelih sta prva in druga lastna oblika degenerirani. Zato je tretja izračunana lastna frekvenca v tabeli navedena kot druga lastna frekvenca.

(4) Analiza prevajanja toplote¶

Skupni pogoji za stacionarne analize prevajanja toplote so prikazani na sliki 9.1.10. Posamezni pogoji za primere preverjanja exM do exT so prikazani na sliki 9.1.11. Razdelitev mreže je enaka kot pri exA.

Rezultati preverjanja (tabela porazdelitve temperature) za posamezne primere so prikazani v tabelah 9.1.13–9.1.20.

Analiza prevajanja toplote


Dolžina med A in B	\(L = 10.0\ \mathrm{m}\)
Površina prereza	\(A = 1.0\ \mathrm{mm^2}\)

Temperaturna odvisnost toplotne prevodnosti

Toplotna prevodnost \(\lambda\) (W/(m·K))	Temperatura (°C)
50.0	0.0
35.0	500.0
20.0	1000.0

Slika 9.1.10: Pogoji preverjanja stacionarne analize prevajanja toplote


exM: Linearni material
exN: Problem predpisane temperature
exO: Problem koncentriranega toplotnega toka
exP: Problem porazdeljenega toplotnega toka
exQ: Problem konvektivnega prenosa toplote
exR: Problem prenosa toplote s sevanjem
exS: Problem volumskega nastajanja toplote
exT: Problem notranje reže

Slika 9.1.11: Analizni pogoji za posamezne primere preverjanja

Tabela 9.1.13: Rezultati preverjanja exM (stacionarni izračun linearnega materiala)

Ime primera	Vrsta elementa	Elementi/vozlišča	Razdalja od konca A (m)
			Rob A	2.0	4.0	6.0	8,0	Rob B
M361A	361	40／33	0.0	100.0	200.0	300.0	400.0	500.0
M361B	361	40／105	0.0	100.0	200.0	300.0	400.0	500.0
M361C	361	20／33	0.0	100.0	200.0	300.0	400.0	500.0
M361D	361	20／85	0.0	100.0	200.0	300.0	400.0	500.0
M361E	361	240／99	0.0	100.0	200.0	300.0	400.0	500.0
M361F	361	24／525	0.0	100.0	200.0	300.0	400.0	500.0
M361G	361	80／99	0.0	100.0	200.0	300.0	400.0	500.0

Tabela 9.1.14: Rezultati preverjanja exN (problem s predpisano temperaturo)

Ime primera	Vrsta elementa	Elementi/vozlišča	Razdalja od konca A (m)
			Rob A	2.0	4.0	6.0	8,0	Rob B
Komercialni program	361	40／99	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N231	231	40／33	0.0	87.2	179.5	278.0	384.1	500.0
N232	232	40／105	0.0	86.0	178.3	276.8	382.9	500.0
N241	241	20／33	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N242	242	20／85	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N341	341	240／99	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N342	342	24／525	0.0	87.9	179.9	278.0	383.6	500.0
N351	351	80／99	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N352	352	80／381	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N361	361	40／99	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N362	362	40／330	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N731	731	40／33	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0
N741	741	20／33	0.0	87.3	179.7	278.2	384.3	500.0

Tabela 9.1.15: Rezultati preverjanja exO (problem s koncentriranim toplotnim tokom)

Ime primera	Vrsta elementa	Elementi/vozlišča	Razdalja od konca A (m)
			Rob A	2.0	4.0	6.0	8,0	Rob B
Komercialni program	361	40／99	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
O231	231	40／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
O232	232	40／105	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
O241	241	20／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
O242	242	20／85	0.0	103.2	213.7	333.4	465.2	618.0
O341	341	240／99	-	-	-	-	-	-
O342	342	24／525	0.0	104.4	214.9	334.7	466.3	614.6
O351	351	80／99	-	-	-	-	-	-
O352	352	80／381	0.0	103.2	213.7	333.3	465.0	624.2
O361	361	40／99	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
O362	362	40／330	0.0	103.2	213.7	333.4	465.5	623.5
O731	731	40／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.5
O741	741	20／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6

Tabela 9.1.16: Rezultati preverjanja exP (problem s porazdeljenim toplotnim tokom)

Ime primera	Vrsta elementa	Elementi/vozlišča	Razdalja od konca A (m)
			Rob A	2.0	4.0	6.0	8,0	Rob B
Komercialni program	361	40／99	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P231	231	40／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P232	232	40／105	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P241	241	20／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P242	242	20／85	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P341	341	240／99	-	-	-	-	-	-
P342	342	24／525	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P351	351	80／99	-	-	-	-	-	-
P352	352	80／381	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P361	361	40／99	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
P362	362	40／330	0.0	103.2	213.7	333.4	465.5	612.6
P731	731	40／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.5
P741	741	20／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6

Tabela 9.1.17: Rezultati preverjanja exQ (problem konvektivnega prenosa toplote)

Ime primera	Vrsta elementa	Elementi/vozlišča	Razdalja od konca A (m)
			Rob A	2.0	4.0	6.0	8,0	Rob B
Komercialni program	361	40／99	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q231	231	40／33	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q232	232	40／105	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q241	241	20／33	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q242	242	20／85	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q341	341	240／99	-	-	-	-	-	-
Q342	342	24／525	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q351	351	80／99	-	-	-	-	-	-
Q352	352	80／381	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q361	361	40／99	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q362	362	40／330	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q731	731	40／33	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2
Q741	741	20／33	0.0	89.2	183.8	284.8	393.9	513.2

Tabela 9.1.18: Rezultati preverjanja exR (problem prenosa toplote s sevanjem)

Ime primera	Vrsta elementa	Elementi/vozlišča	Razdalja od konca A (m)
			Rob A	2.0	4.0	6.0	8,0	Rob B
Komercialni program	361	40／99	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R231	231	40／33	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R232	232	40／105	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R241	241	20／33	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R242	242	20／85	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R341	341	240／99	-	-	-	-	-	-
R342	342	24／525	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R351	351	80／99	-	-	-	-	-	-
R352	352	80／381	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R361	361	40／99	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R362	362	40／330	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R731	731	40／33	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2
R741	741	20／33	0.0	89.5	184.4	285.8	395.3	515.2

Tabela 9.1.19: Rezultati preverjanja exS (problem volumskega nastajanja toplote)

Ime primera	Vrsta elementa	Elementi/vozlišča	Razdalja od konca A (m)
			Rob A	2.0	4.0	6.0	8,0	Rob B
Komercialni program	361	40／99	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S231	231	40／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S232	232	40／105	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S241	241	20／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S242	242	20／85	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S341	341	240／99	-	-	-	-	-	-
S342	342	24／525	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S351	351	80／99	-	-	-	-	-	-
S352	352	80／381	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S361	361	40／99	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S362	362	40／330	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S731	731	40／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6
S741	741	20／33	0.0	103.2	213.7	333.3	464.8	612.6

Tabela 9.1.20: Rezultati preverjanja exT (problem notranje reže)

Ime primera	Vrsta elementa	Elementi/vozlišča	Razdalja od konca A (m)
			Rob A	2.0	4.0	6.0	8,0	Rob B
Komercialni program	361	40／99	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S231	231	40／33	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S232	232	40／105	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S241	241	20／33	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S242	242	20／85	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S341	341	240／99	-	-	-	-	-	-
S342	342	24／525	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S351	351	80／99	-	-	-	-	-	-
S352	352	80／381	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S361	361	40／99	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S362	362	40／330	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S731	731	40／33	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0
S741	741	20／33	0.0	88.6	182.4	282.6	387.7	500.0

Linearna dinamična analiza¶

V exW se izvede linearna dinamična analiza na istem konzolnem nosilcu kot v točki (1). Slika 9.1.12 prikazuje pogoje preverjanja. Za isto razdelitev mreže se preveri vpliv časovnega prirastka na rezultate. Uporabljata se implicitna in eksplicitna metoda časovne integracije z elementoma tipa 361 in 342. Rezultati preverjanja so prikazani v tabeli 9.1.22 in na slikah 9.1.13–9.1.15.

Analizni model

Časovna zgodovina zunanje sile F

Teoretična rešitev pomika točke vzbujanja je naslednja:

\[ F(t)=F_0 I(t) \]

kjer

\[ \(F_0:\ \text{Konstantni vektor}\) \]

\[ I(t)= \begin{cases} 0, t < 0 \\\ 1, 0 \leq t \end{cases} \]

\[ u(t) = \frac{F_0 l^3}{EI} \sum^{\infty}_{i=1} \frac{1-\cos{\omega_i t}}{{\lambda_i}^4} \left\lbrace \cosh{\lambda_i}-\cos{\lambda_i}-\frac{\cosh{\lambda_i} + \cos{\lambda_i}}{\sin{\lambda_i}+\sin{\lambda_i}} (\sinh{\lambda_i} - \sin{\lambda_i}) \right\rbrace^2 \]

Slika 9.1.12: Pogoji preverjanja linearne dinamične analize

Pogoji preverjanja:


Dolžina	\(L\)	\(10.0\ \mathrm{mm}\)
Širina prereza	\(a\)	\(1.0\ \mathrm{mm}\)
Višina prereza	\(b\)	\(1.0\ \mathrm{mm}\)
Youngov modul	\(E\)	\(4000.0\ \mathrm{kgf/mm^2}\)
Poissonovo razmerje	\(\nu\)	\(0.3\)
Gostota	\(\rho\)	\(1.0 \times 10^{-9}\ \mathrm{kgf}\;\mathrm{s}^2/\mathrm{mm}^4\)
Gravitacijski pospešek	\(g\)	\(9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\)
Zunanja sila	\(F_0\)	\(1.0\ \mathrm{kgf}\)


Element	Linearni heksaedrski element
Kvadratni tetraedrski element
Metoda reševanja	Implicitna metoda
Metoda Newmark-\(\beta\): parameter \(\gamma\)	1/2
Parameter \(\beta\) Newmarkove metode \(\beta\)	1/4
Eksplicitna metoda
Dušenje	Brez

Tabela 9.1.21: Pogoji preverjanja linearne dinamične analize (nadaljevanje)

Ime primera	Vrsta elementa	Število vozlišč	Število elementov	Metoda reševanja	Časovni prirastek \(\Delta t\) (s)
W361_c0_im_m2_t1	361	99	40	Implicitna metoda	1.0E-06
W361_c0_im_m2_t2	361	99	40	Implicitna metoda	1.0E-05
W361_c0_im_m2_t3	361	99	40	Implicitna metoda	1.0E-04
W361_c0_ex_m2_t1	361	99	40	Implicitna metoda	1.0E-08
W361_c0_ex_m2_t2	361	99	40	Implicitna metoda	1.0E-07
W361_c0_ex_m2_t3	361	99	40	Implicitna metoda	1.0E-06
W342_c0_im_m2_t1	342	525	240	Eksplicitna metoda	1.0E-06
W342_c0_im_m2_t2	342	525	240	Eksplicitna metoda	1.0E-05
W342_c0_im_m2_t3	342	525	240	Eksplicitna metoda	1.0E-04
W342_c0_ex_m2_t1	342	525	240	Eksplicitna metoda	1.0E-08
W342_c0_ex_m2_t2	342	525	240	Eksplicitna metoda	5.0E-08
W342_c0_ex_m2_t3	342	525	240	Eksplicitna metoda	1.0E-07

Tabela 9.1.22: Rezultati preverjanja linearne dinamične analize exW (konzolni nosilec)

Ime primera	Vrsta elementa	Število vozlišč	Število elementov	Metoda	Pomik v smeri z ob času \(t = 0.002\ \mathrm{s}\) (mm)
W361_c0_im_m2_t1	361	99	40	Implicitna metoda	1.9753	1.9302
W361_c0_im_m2_t2	361	99	40	Implicitna metoda	1.9753	1.8686
W361_c0_im_m2_t3	361	99	40	Implicitna metoda	1.9753	0.3794
W361_c0_ex_m2_t1	361	99	40	Implicitna metoda	1.9753	1.9302
W361_c0_ex_m2_t2	361	99	40	Implicitna metoda	1.9753	1.9247
W361_c0_ex_m2_t3	361	99	40	Implicitna metoda	1.9753	Divergiralo
W342_c0_im_m2_t1	342	525	240	Eksplicitna metoda	1.9753	1.9431
W342_c0_im_m2_t2	342	525	240	Eksplicitna metoda	1.9753	1.8719
W342_c0_im_m2_t3	342	525	240	Eksplicitna metoda	1.9753	0.3873
W342_c0_ex_m2_t1	342	525	240	Eksplicitna metoda	1.9753	1.9359
W342_c0_ex_m2_t2	342	525	240	Eksplicitna metoda	1.9753	1.9358
W342_c0_ex_m2_t3	342	525	240	Eksplicitna metoda	1.9753	Divergiralo

Slika 9.1.13: Deformacijski prikaz in porazdelitev ekvivalentne napetosti konzolnega nosilca

(a) Vrsta elementa 361: implicitna metoda

(b) Vrsta elementa 361: eksplicitna metoda

Slika 9.1.14 Časovna zgodovina pomika točke vzbujanja \(u_z\)

(a) Vrsta elementa 342: implicitna metoda

(b) Vrsta elementa 342: eksplicitna metoda

Slika 9.1.15: Časovna zgodovina pomika točke vzbujanja \(u_z\)

Analiza frekvenčnega odziva¶

Pri tem preverjanju se na konzolnem nosilcu izvede analiza frekvenčnega odziva, preverjanje pa se opravi s primerjavo z rezultati splošnonamenskega komercialnega programa. Analizni model in pogoji preverjanja so prikazani spodaj.

Analizni pogoji:


Youngov modul	\(E\)	\(210000\ \mathrm{N/mm^2}\)
Poissonovo razmerje	\(\nu\)	\(0.3\)
Gostota	\(\rho\)	\(7.89 \times 10^{-9}\ \mathrm{t/mm^3}\)
Gravitacijski pospešek	\(g\)	\(9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\)
Obremenitev	\(F_0\)	\(1.0\ \mathrm{N}\)
Parameter Rayleighovega dušenja	\(R_m\)	\(0.0\)
Parameter Rayleighovega dušenja	\(R_k\)	\(7.2E-07\)

Slika 9.1.16: Analizni model (linearni tetraedrski element (126 elementov in 55 vozlišč))

Spodaj so prikazane prvih pet lastnih frekvenc, dobljenih z modalno analizo, in frekvenčni odziv v točki vzbujanja:

lastna oblika	FrontISTR	Komercialni program
1	14952	14952
2	15002	15003
3	84604	84539
4	84771	84697
5	127054	126852

Slika 9.1.17: Frekvenčna odvisnost amplitude pomika točk vzbujanja