Kalo te përmbajtja

Analiza statike elastike lineare (Hyrje)

Ky seksion paraqet formulimin e analizës statike elastike bazuar në teorinë e deformimeve infinitesimale. Për marrëdhënien sforcim–deformim supozohet elasticitet linear. Ky kapitull synon të shërbejë si hyrje për të kuptuar strukturën e përgjithshme të analizës strukturore me elemente të fundme dhe është organizuar që të mund të lexohet si 1 kapitull i vetëpërmbajtur.

Për teorinë e përgjithshme të parimit të punës virtuale (forma në konfigurimin aktual, forma në konfigurimin fillestar dhe reduktimi në deformim infinitesimal), shih Parimi i punës virtuale; për hollësitë e ligjit konstitutiv elastik linear, shih Elasticiteti linear; për konventat e shënimit tensorial dhe Voigt, shih Notacioni tensorial dhe bazat matematikore; për formulimin e përgjithshëm të deformimit të fundëm, shih Lëvizja, deformimi dhe deformacioni; dhe për metodat e zgjidhjes së problemeve jolineare, shih Matrica tangjente e ngurtësisë.

Ekuacionet bazë

Nën supozimet e deformimit infinitesimal dhe elasticitetit linear, problemi me vlera kufitare në mekanikën e trupave të ngurtë përbëhet nga ekuacioni i ekuilibrit, kushtet kufitare mekanike dhe kushtet kufitare gjeometrike (kushtet kufitare thelbësore) (shih Figurën 2.1.1):

\[\begin{equation} \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \overline{\boldsymbol{b}} = \boldsymbol{0} \quad \text{në} \ V \label{eq:2.1.1} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{n} = \overline{\boldsymbol{t}} \quad \text{në} \ S_t \label{eq:2.1.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \overline{\boldsymbol{u}} \quad \text{në} \ S_u \label{eq:2.1.3} \end{equation}\]

Këtu, \(\boldsymbol{\sigma}\) është sforcimi Cauchy, \(\overline{\boldsymbol{b}}\) është forca vëllimore për njësi vëllimi, \(\overline{\boldsymbol{t}}\) është traksioni sipërfaqësor i përcaktuar, \(\overline{\boldsymbol{u}}\) është zhvendosja e përcaktuar dhe \(S_t, S_u\) janë kufijtë mekanikë dhe gjeometrikë.

Problemi me vlera kufitare në mekanikën e trupave të ngurtë (problem me deformim infinitesimal)

Figura 2.1.1 Problemi me vlera kufitare në mekanikën e trupave të ngurtë (problem me deformim infinitesimal)

Duke përdorur operatorin e gradientit simetrik, marrëdhënia deformim–zhvendosje është

\[\begin{equation} \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} \label{eq:2.1.4} \end{equation}\]

Ekuacioni konstitutiv elastik linear është

\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon} \label{eq:2.1.5} \end{equation}\]

ku \(\boldsymbol{C}\) është tensori i elasticitetit i rendit 4.

Parimi i punës virtuale

Format e përgjithshme të parimit të punës virtuale (forma në konfigurimin aktual, forma në konfigurimin fillestar dhe reduktimi në deformim infinitesimal) përmblidhen te Parimi i punës virtuale. Nën supozimet e deformimit infinitesimal dhe elasticitetit linear, forma e dobët është

\[\begin{equation} \int_V \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \overline{\boldsymbol{t}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dS + \int_V \overline{\boldsymbol{b}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dV \label{eq:2.1.6} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{në} \ S_u \label{eq:2.1.7} \end{equation}\]

Duke zëvendësuar ekuacionin konstitutiv \eqref{eq:2.1.5} dhe në shënimin Voigt duke shkruar \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\), merret forma e përdorur drejtpërdrejt për diskretizim:

\[\begin{equation} \int_V \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_V \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.10} \end{equation}\]

merret, ku \(D\) është matrica elastike e përcaktuar te Elasticiteti linear. Ekuacionet \eqref{eq:2.1.10} dhe \eqref{eq:2.1.7} përbëjnë parimin e punës virtuale që diskretizohet më poshtë.

Diskretizimi dhe montimi i ekuacionit global

Diskretizimi i parimit të punës virtuale në Eq.\( \eqref{eq:2.1.10} \) mbi elementet e fundme jep

\[\begin{equation} \sum_e \int_{V^e} \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \sum_e \int_{S^e_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \int_{V^e} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.11} \end{equation}\]

Për çdo element, fusha e zhvendosjes interpolohet duke përdorur zhvendosjet e nyjeve që përbëjnë elementin si më poshtë.

\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \sum^m_{i=1} N_i\, \boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{N}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.12} \end{equation}\]

Deformimi jepet më pas duke përdorur Eq.\(\eqref{eq:2.1.4}\) si më poshtë.

\[\begin{equation} \hat{\varepsilon} = \boldsymbol{B}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.13} \end{equation}\]

Zëvendësimi i Eq.\(\eqref{eq:2.1.12}\) dhe \(\eqref{eq:2.1.13}\) në Eq.\(\eqref{eq:2.1.11}\) jep

\[\begin{equation} \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \left( \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T D\, \boldsymbol{B}\, dV \right) \boldsymbol{U} = \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.14} \end{equation}\]

Ekuacioni \(\eqref{eq:2.1.14}\) mund të shkruhet si

\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.15} \end{equation}\]

Këtu, përbërësit e matricës dhe vektorit të përcaktuar nga Eq.\(\eqref{eq:2.1.16}\) dhe \(\eqref{eq:2.1.17}\) mund të llogariten për secilin element të fundëm dhe të montohen me mbivendosje.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K} = \sum_e \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T\, D\, \boldsymbol{B}\, dV \label{eq:2.1.16} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{F} = \sum_e \left( \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \right) \label{eq:2.1.17} \end{equation}\]

Meqë Eq.\(\eqref{eq:2.1.15}\) vlen për një zhvendosje virtuale arbitrare \(\delta \boldsymbol{U}\), merret ekuacioni i mëposhtëm.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.18} \end{equation}\]

Ndërkohë, kushti kufitar i zhvendosjes në Eq.\(\eqref{eq:2.1.3}\) shprehet si më poshtë.

\[\begin{equation} \boldsymbol{U} = \overline{\boldsymbol{U}} \label{eq:2.1.19} \end{equation}\]

Duke zgjidhur Eq.\(\eqref{eq:2.1.18}\) nën kushtin kufizues në Eq.\(\eqref{eq:2.1.19}\), mund të përcaktohet zhvendosja nyjore \(\boldsymbol{U}\).

Tema të lidhura