Kalo te përmbajtja

Elasticiteti linear

Ky kapitull trajton ligjin konstitutiv (ligji i Hooke-ut) për materialet elastike lineare. Për hollësi mbi zgjedhjen e modelit dhe specifikimet e hyrjes, shihni seksionin e funksioneve 03_material.

Dukuria (përgjigjja elastike lineare)

Një trup elastik linear është një material që, në një interval ku deformimi nën ngarkesë është mjaft i vogël, shfaq një marrëdhënie lineare ndërmjet sforcimit dhe deformimit dhe një përgjigje të kthyeshme, të pavarur nga historia, ku i gjithë deformimi kthehet në gjendjen fillestare pas heqjes së ngarkesës. Ndryshe nga plasticiteti ose zvarritja, ai nuk ka ndryshore të brendshme që përfaqësojnë gjendjen (si deformimi plastik ose deformimi viskoz), dhe sforcimi përcaktohet në mënyrë unike vetëm nga deformimi aktual.

Në intervalin e deformimeve të vogla përdoren sforcimi Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) dhe deformimi infinitesimal \(\boldsymbol{\varepsilon}\); në intervalin e deformimeve të fundme (probleme që përfshijnë rrotullime të mëdha, por ku vetë deformimi është i vogël) përdoren sforcimi i 2-të Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{S}\) dhe deformimi Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\) (material St.Venant-Kirchhoff).

Ligji konstitutiv

Material elastik linear izotrop

Në intervalin e deformimeve të vogla, ligji izotrop i Hooke-ut shprehet duke përdorur konstantet e Lamé-së \(\lambda, \mu\) si

\[ \boldsymbol{\sigma} = \lambda\, \mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})\, \boldsymbol{I} + 2\mu\, \boldsymbol{\varepsilon} \]

Në formë komponentësh,

\[ C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr) \]

dhe kontraktimi i dyfishtë me deformimin jep \(\sigma_{ij} = C_{ijkl}\,\varepsilon_{kl}\). Konstantet e Lamé-së lidhen me modulin e Young-ut \(E\) dhe koeficientin e Poisson-it \(\nu\) si më poshtë:

\[ \lambda = \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}, \qquad \mu = \frac{E}{2(1+\nu)}. \]

Në notacionin e Voigt-it, marrëdhënia ndërmjet vektorit të deformimit \(\hat{\varepsilon}\) dhe vektorit të sforcimit \(\hat{\sigma}\) shkruhet si \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\), dhe matrica 3-dimensionale e materialit \(D\) është

\[ D = \begin{bmatrix} \lambda + 2\mu & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda + 2\mu & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda & \lambda + 2\mu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \mu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu \end{bmatrix} \]

Ky përfaqësim matricor përdoret në implementim.

Material elastik linear ortotrop

Për materialet, konstantet elastike të të cilave ndryshojnë sipas drejtimit të boshtit kryesor, përdoret një model ortotrop me 9 konstante të pavarura: modulet e Young-ut në drejtimet e boshteve kryesore \(E_1, E_2, E_3\), koeficientët e Poisson-it ndërmjet boshteve kryesore \(\nu_{12}, \nu_{23}, \nu_{31}\) dhe modulet e prerjes \(G_{12}, G_{23}, G_{31}\). Për formën e shprehur të matricës \(D\), referojuni literaturës standarde.

Intervali i deformimeve të fundme: materiali St.Venant-Kirchhoff

Për probleme që përfshijnë rrotullime të mëdha, por ku vetë deformimi është i vogël, materiali St.Venant-Kirchhoff përdoret si ligj elastik linear që lidh sforcimin e 2-të Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{S}\) me deformimin Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\):

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{E}, \qquad C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr). \]

Përkufizimet e konstanteve të Lamé-së \(\lambda, \mu\) janë të njëjta si në rastin e deformimeve të vogla. Megjithatë, vini re se, meqë përkufizimet e çiftit sforcim-deformim ndryshojnë, ky është një ligj konstitutiv i ndryshëm nga ligji i Hooke-ut për deformime të vogla.

Material hipoelastik

Në metodën Updated Lagrange përdoret një material hipoelastik që zbaton ligjin elastik linear ndërmjet shpejtësisë Jaumann të tensorit relativ të sforcimit Kirchhoff \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) dhe tensorit të shpejtësisë së deformimit \(\boldsymbol{D}\):

\[ \hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{D} \]

Edhe këtu, përkufizimi i \(\boldsymbol{C}\) në terma të konstanteve të Lamé-së është i njëjtë si më sipër, por për shkak se çifti sforcim-deformim ndryshon, ky është një ligj konstitutiv i ndryshëm. Për hollësi mbi mënyrën se si \(\boldsymbol{\sigma}_{t_{n+1}}\) përditësohet përmes procedurës së integrimit në kohë (integrim Euler përpara dhe përafrim me diferenca qendrore), shihni tmptexdocs/11b_continuum_mechanics.tex.

Reduktimi për analizën 2-dimensionale dhe elementet guaskë

Sforcim plan (\(\sigma_{33} = 0\))

Për sforcim plan, që përfaqëson ngarkimin e pllakave dhe guaskave të holla, supozohet \(\sigma_{33} = \sigma_{13} = \sigma_{23} = 0\); komponenti jashtë planit i deformimit \(\varepsilon_{33}\) eliminohet algjebrikisht dhe përdoret matrica e reduktuar \(D\):

\[ D = \frac{E}{1 - \nu^2} \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Deformim plan (\(\varepsilon_{33} = 0\))

Për deformim plan, që përfaqëson prerjen tërthore të një strukture të gjatë të kufizuar në drejtimin e trashësisë, supozohet \(\varepsilon_{33} = \varepsilon_{13} = \varepsilon_{23} = 0\):

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Aksisimetrike

Në koordinata cilindrike \((r, \theta, z)\), për analizën aksisimetrike të problemeve që janë uniforme në drejtimin \(\theta\), ruhen 4 komponentët \(\boldsymbol{\sigma} = (\sigma_{rr}, \sigma_{\theta\theta}, \sigma_{zz}, \sigma_{rz})^T\) dhe \(\boldsymbol{\varepsilon} = (\varepsilon_{rr}, \varepsilon_{\theta\theta}, \varepsilon_{zz}, 2\varepsilon_{rz})^T\), dhe merret

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix} \]

.

Elementet guaskë (sforcim plan + prerje tërthore)

Për elementet guaskë, sforcimi në plan trajtohet si sforcim plan. Për komponentët e deformimit prerës tërthor \((2\varepsilon_{13}, 2\varepsilon_{23})\) përdoret faktori korrigjues i prerjes \(\kappa\) (përgjithësisht \(\kappa = 5/6\)), duke përdorur ngurtësinë prerëse të korrigjuar \(\kappa\, G\). Për formulimin e hollësishëm të çdo elementi, shihni Formulimet e avancuara të elementeve. Specifikimi në seksionin e funksioneve 03_material se "elementet guaskë mbështesin vetëm elasticitetin linear" bazohet në këtë thjeshtim të trajtimit të gjendjes në plan si sforcim plan.

Varësia nga temperatura

Moduli i Young-ut \(E\), koeficienti i Poisson-it \(\nu\) dhe koeficienti i zgjerimit linear \(\alpha\) përgjithësisht përcaktohen si funksione të temperaturës \(T\). Në FrontISTR, vlerat e këtyre vetive futen për një varg të fundëm pikash temperature \(T_1 < T_2 < \cdots < T_n\), dhe vlerat përkatëse të vetive në temperaturën \(T\) gjatë llogaritjes vlerësohen me interpolim linear ndërmjet pikave fqinje. Për temperatura jashtë intervalit (\(T < T_1\) ose \(T > T_n\)), për ekstrapolim përdoret vlera në skajin më të afërt, \(T_1\) ose \(T_n\) (ekstrapolim konstant).

Për varësinë nga temperatura të vetive termike (dendësia, nxehtësia specifike dhe përçueshmëria termike), shihni Vetitë termike. Rregullat e interpolimit janë të përbashkëta për këto veti.

Tema të lidhura