Kalo te përmbajtja

Elastoplasticiteti

Ky kapitull trajton kuadrin e ligjit konstitutiv elastoplastik të përdorur nga FrontISTR. Për hollësi mbi përzgjedhjen dhe specifikimet e hyrjes, shih 03_material në seksionin e funksioneve.

Fenomeni (deformimi plastik)

Për t’u plotësuar (do të shkruhet në fazën e ardhshme).

Kuadri konstitutiv

FrontISTR përdor një ekuacion konstitutiv elastoplastik të bazuar në një rregull të asociuar të rrjedhjes. Gjithashtu, ky ekuacion konstitutiv shpreh marrëdhënien midis shpejtësisë Jaumann të sforcimit Kirchhoff dhe tensorit të shpejtësisë së deformimit, ndërsa analiza e deformimit zbaton formulimin e përditësuar të Lagrange-it.

Supozohet se kriteri i rrjedhjes së një materiali elastoplastik jepet si më poshtë.

Kriteri fillestar i rrjedhjes:

\[ F(\sigma, \sigma_{y_0}) \]

Kriteri pasues i rrjedhjes:

\[ F(\sigma, \sigma_y(\overline{e}^p)) \]

ku

  • \(F\): funksioni i rrjedhjes
  • \(\sigma_{y_0}\): sforcimi fillestar i rrjedhjes
  • \(\sigma_y\): sforcimi pasues i rrjedhjes
  • \(\sigma\): tensori i sforcimit
  • \(e\): tensori i deformimit infinitesimal
  • \(e^p\): tensori i deformimit plastik
  • \(\overline{e}^p\): deformimi plastik ekuivalent

Supozohet se marrëdhënia ndërmjet sforcimit të rrjedhjes dhe deformimit plastik ekuivalent përputhet me marrëdhënien sforcim–deformim plastik në gjendje njëaksiale.

Marrëdhënia sforcim–deformim plastik në gjendje njëaksiale

\[ \sigma = H(e^p) \]
\[ \frac{d\sigma}{de^p} = H' \]

ku \(H'\) është moduli i ngurtësimit nga deformimi.

Marrëdhënia sforcim ekuivalent–deformim plastik ekuivalent

\[ \overline{\sigma} = H(\overline{e}^p) \]
\[ \dot{\overline{\sigma}} = H' \dot{\overline{e}^p} \]

Në përgjithësi, funksioni pasues i rrjedhjes është funksion i temperaturës dhe i punës së deformimit plastik, por këtu, për thjeshtësi, supozohet se është funksion vetëm i deformimit plastik ekuivalent \(\overline{e}^p\). Gjatë zhvillimit të deformimit plastik, \(F = 0\) duhet të vazhdojë të plotësohet; prandaj duhet të vlejë ekuacioni vijues.

\[ \dot{F} = \frac{\partial F}{\partial \sigma} : \dot{\sigma} + \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p = 0 \]

Këtu, \(\dot{F}\) tregon derivatin kohor të \(F\). Në vijim, derivati kohor i një madhësie \(A\) shënohet me \(\dot{A}\).

Supozohet ekzistenca e një potenciali plastik \(\Theta\) dhe shpejtësia e deformimit plastik shprehet me ekuacionin vijues.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial \Theta}{\partial \sigma} \]

Këtu, \(\dot{\lambda}\) është një koeficient.

Më tej, duke supozuar se potenciali plastik \(\Theta\) është i barabartë me funksionin e rrjedhjes \(F\), përdoret rregulli i asociuar i rrjedhjes i mëposhtëm.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial F}{\partial \sigma} \]

Duke zëvendësuar këtë ekuacion në kushtin e konsistencës, merret ekuacioni vijues.

\[ \dot{\lambda} = \frac{a^T : d_D}{A + a^T : D : a} \dot{e} \]

Këtu, \(D\) është matrica e elasticitetit, dhe

\[ a^T = \frac{\partial F}{\partial \sigma}, \qquad d_D = D a^T, \qquad A = -\frac{a}{\dot{\lambda}} \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p \]

Marrëdhënia sforcim–deformim për materialin elastoplastik mund të shkruhet si më poshtë.

\[ \dot{\sigma} = \left\{ D - \frac{d_D \otimes d_D^T}{A + d_D^T a} \right\} : \dot{e} \]

Nëse njihet funksioni i rrjedhjes \(F\) i materialit elastoplastik, ekuacioni konstitutiv i tij merret nga kjo shprehje.

Funksionet e rrjedhjes

Më poshtë renditen funksionet elastoplastike të rrjedhjes të përdorura nga FrontISTR.

Funksioni i rrjedhjes Von Mises

\[ F = \sqrt{3 J_2} - \sigma_y = 0 \]

Këtu, \(J_2\) është invarianti i dytë i tensorit devijator të sforcimit.

Funksioni i rrjedhjes Mohr-Coulomb

\[ F = \sigma_1 - \sigma_3 + (\sigma_1 + \sigma_3) \sin\phi - 2 c \cos\phi = 0 \]

Këtu, \(\sigma_1, \sigma_3\) janë përkatësisht sforcimi kryesor maksimal dhe minimal, \(c\) është kohezioni dhe \(\phi\) është këndi i fërkimit të brendshëm.

Funksioni i rrjedhjes Drucker-Prager

\[ F = \sqrt{J_2} - \alpha \sigma : I - \sigma_y = 0 \]

Këtu, konstantet e materialit \(\alpha\) dhe \(\sigma_y\) llogariten nga kohezioni dhe këndi i fërkimit të materialit si më poshtë.

\[ \alpha = \frac{2 \sin\phi}{3 + \sin\phi}, \qquad \sigma_y = \frac{6 c \cos\phi}{3 + \sin\phi} \]

Tema të lidhura