Kalo te përmbajtja

Zvarritja

Ky kapitull përshkruan ligjin konstitutiv të zvarritjes të përdorur nga FrontISTR. Për hollësi mbi zgjedhjen dhe specifikimet e hyrjes, shihni seksionin e funksioneve 03_material.

Dukuria e zvarritjes dhe zbërthimi aditiv i deformimit

Zhvendosja që varet nga koha nën një gjendje sforcimi konstant është një dukuri e quajtur "zvarritje".

Sjellja viskoelastike e përshkruar më sipër mund të konsiderohet gjithashtu një lloj dukurie lineare zvarritjeje. Këtu përshkruhen disa sjellje jolineare të zvarritjes. Një qasje e zakonshme është formulimi i marrëdhënies konstitutive duke ia shtuar këtë sjellje deformimit që ndodh menjëherë, dhe përcaktimi si deformim zvarritjeje \(\varepsilon^c\) i deformimit që grumbullohet ndërsa vazhdon një ngarkesë konstante e dhënë. Një marrëdhënie konstitutive që përfshin zvarritjen zakonisht shprehet duke përdorur shpejtësinë e deformimit të zvarritjes \(\dot{\varepsilon}^c\), të përcaktuar si funksion i sforcimit dhe deformimit total të zvarritjes.

\[ \dot{\varepsilon}^c \equiv \frac{\partial \varepsilon^c}{\partial t} = \beta(\sigma, \varepsilon^c) \]

Nëse deformimi që ndodh menjëherë është deformimi elastik \(\varepsilon^e\), deformimi total shprehet si shuma e mëposhtme që përfshin deformimin e zvarritjes.

\[ \varepsilon = \varepsilon^e + \varepsilon^c \]

ku

\[ \varepsilon^e = c^{-1} : \sigma \]

(\(c\) është tensori i elasticitetit).

Ligji i Norton-it

Si ligj konstitutiv konkret i zvarritjes, FrontISTR përdor modelin e mëposhtëm të Norton-it. Në këtë ligj konstitutiv, shpejtësia ekuivalente e deformimit të zvarritjes \(\dot{\varepsilon}^{cr}\) shprehet si funksion i sforcimit von Mises \(q\) dhe kohës \(t\) si më poshtë.

\[ \dot{\varepsilon}^{cr} = A q^n t^m \]

Këtu, \(A\), \(m\) dhe \(n\) janë konstante materiale.

Integrimi në kohë dhe përditësimi i sforcimit

Ashtu si për materialet plastike, për një ligj konstitutiv që shfaq zvarritje duhet të përcaktohet një metodë numerike integrimi në kohë. Marrëdhënia konstitutive kur merret parasysh zvarritja është

\[ \sigma_{n+1} = c : (\varepsilon_{n+1} - \varepsilon_{n+1}^c) \]
\[ \varepsilon_{n+1}^c = \varepsilon_n^c + \Delta t \, \beta_{n+\theta} \]

ku \(\beta_{n+\theta}\) është

\[ \beta_{n+\theta} = (1 - \theta) \beta_n + \theta \beta_{n+1} \]

Inkrementi i deformimit të zvarritjes \(\Delta \varepsilon^c\) përcaktohet më pas nga ekuacioni jolinear i thjeshtuar vijues:

\[ R_{n+1} = \varepsilon_{n+1} - c^{-1} : \sigma_{n+1} - \varepsilon_n^c - \Delta t \, \beta_{n+\theta} = \mathbf{0} \]

i cili barazohet me zero.

Në iteracionin Newton-Raphson, duke marrë \(\sigma_{n+1} = \sigma_n\) si sforcim fillestar dhe duke përdorur inkrementin e deformimit të përftuar nga metoda e elementeve të fundme, zgjidhja iterative dhe inkrementi jepen nga

\[ R_{n+1}^{(k+1)} = \mathbf{0} = R_{n+1}^{(k)} - (c^{-1} + \Delta t \, c_{n+1}^c) \, d\sigma_{n+1}^{(k)} \]

ku

\[ c_{n+1}^c = \left.\frac{\partial \beta}{\partial \sigma}\right|_{n+\theta} = \theta \left.\frac{\partial \beta}{\partial \sigma}\right|_{n+1} \]

merret kështu. Kur metoda iterative vazhdohet derisa reziduali \(R\) të bëhet \(\mathbf{0}\), përdoren sforcimi \(\sigma_{n+1}\) dhe moduli tangjent

\[ c_{n+1}^* = (c^{-1} + \Delta t \, c_{n+1}^c)^{-1} \]

.

Tema të lidhura