Kalo te përmbajtja

Diskretizimi i punës virtuale të forcave të brendshme

Ekuacioni i punës virtuale në kohën \(t + \Delta t\), i paraqitur te Kuadri i analizës inkrementale, ndahet në 2 forma, formulimin Updated Lagrange dhe Total Lagrange, në varësi të zgjedhjes së konfigurimit referues. Në këtë kapitull, përafrimi me elemente të fundme i paraqitur te Funksionet e formës dhe përafrimi me elemente të fundme dhe Derivatet hapësinore të funksioneve të formës përdoret për të diskretizuar në hapësirë punën virtuale të brendshme të të dy formulimeve dhe për të marrë vektorët e forcës së brendshme të elementit \(\boldsymbol{q}^e\) (UL) dhe \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL).

Për elementin \(e\), le të jenë nyjet përbërëse \(\alpha = 1, \ldots, n_e\); zhvendosjet le të jenë \(\boldsymbol{u}^e_\alpha\), dhe vektori i zhvendosjeve nyjore të elementit të renditet si \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\). Zhvendosja virtuale \(\delta \boldsymbol{u}^e\) përcaktohet në të njëjtin rend. Zhvendosja brenda elementit interpolohet me funksionet e formës si \(\boldsymbol{u} = \sum_\alpha N_\alpha^e \boldsymbol{u}^e_\alpha\).

Puna virtuale e brendshme në formulimin Updated Lagrange

Në formulimin Updated Lagrange, në kohën \(t\) konfigurimi aktual \({}^{t}\Omega\) përdoret si konfigurim referues dhe puna virtuale e brendshme shkruhet në terma të sforcimit Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) dhe pjesës lineare të deformimit Almansi \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) si

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

Çdo komponent i \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) mund të shprehet, duke përdorur koordinatat e konfigurimit aktual \(\boldsymbol{x}\), si kombinim linear i derivateve të funksioneve të formës \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) dhe zhvendosjeve virtuale nyjore \(\delta u^e_{i\alpha}\). Në notacionin Voigt, kjo mund të mblidhet si

\[ \delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_L = [\boldsymbol{B}_{L1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{Ln_e}] \]

Blloku nyjor \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) formohet duke renditur \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) sipas konventës Voigt në një matricë \(6 \times 3\), dhe \(\boldsymbol{B}_L\) është matrica deformim-zhvendosje për formulimin UL. Zëvendësimi i kësaj në punën virtuale të brendshme dhe nxjerrja jashtë e \(\delta \boldsymbol{u}^e\) jep

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{q}^e, \qquad \boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv \]

Për \(\boldsymbol{q}^e\), blloku nyjor \(\boldsymbol{q}^e_\alpha = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_{L\alpha}^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) është forca e brendshme e elementit \(\Omega^e\) që vepron mbi nyjën përbërëse \(\alpha\).

Puna virtuale e brendshme në formulimin Total Lagrange

Në formulimin Total Lagrange, konfigurimi fillestar \(\Omega_0\) përdoret si konfigurim referues dhe puna virtuale e brendshme shkruhet në terma të sforcimit të 2-të Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{S}\) dhe deformimit Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\) si

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV \]

Variacioni \(\delta \boldsymbol{E}\) ndahet në një term linear ndaj zhvendosjes virtuale dhe një term jolinear që përmban prodhime me gradientin aktual të zhvendosjes \(\partial u_k/\partial X_j\):

\[ \delta E_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_i}{\partial X_j} + \frac{\partial \delta u_j}{\partial X_i} \right), \quad \delta E_{(NL)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial u_k}{\partial X_j} + \frac{\partial u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_j} \right). \]

Termi linear mund të shkruhet duke zbatuar të njëjtin rregull renditjeje si në formulimin UL për \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\), duke dhënë bllokun nyjor \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\):

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e \]

Për shkak të konfigurimit referues të ndryshëm, vetëm derivatet përbërëse ndryshojnë nga \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) në \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\); përdoret i njëjti simbol si në formulimin UL. Termi jolinear përdor prodhimet e gradientit aktual të zhvendosjes \(\partial u_k/\partial X_j\) dhe \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\), të renditura sipas konventës Voigt për të formuar bllokun nyjor \(\boldsymbol{B}_{NL\alpha}\):

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(NL)} = \boldsymbol{B}_{NL}\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_{NL} = [\boldsymbol{B}_{NL1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{NLn_e}] \]

Kështu, \(\delta \boldsymbol{E} = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})\, \delta \boldsymbol{u}^e\), dhe \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) është matrica deformim-zhvendosje për formulimin TL. Zëvendësimi i kësaj në punën virtuale të brendshme jep

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{Q}^e, \qquad \boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV \]

Blloku nyjor \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha\) është forca e brendshme e elementit \(\Omega^e_0\) që vepron mbi nyjën përbërëse \(\alpha\).

Korrespondenca ndërmjet UL/TL dhe rrjedha e llogaritjes

Vektorët e forcës së brendshme të elementit në formulimet Updated Lagrange dhe Total Lagrange korrespondojnë si më poshtë.

Zëri Formulimi Updated Lagrange Formulimi Total Lagrange
Konfigurimi referues Konfigurimi aktual \({}^{t}\Omega^e\) Konfigurimi fillestar \(\Omega^e_0\)
Tensori i sforcimit Sforcimi Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) Sforcimi i 2-të PK \(\boldsymbol{S}\)
Variacioni i deformimit \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) \(\delta \boldsymbol{E} = \delta \boldsymbol{E}_{(L)} + \delta \boldsymbol{E}_{(NL)}\)
Matrica B \(\boldsymbol{B}_L\) (\(\partial N/\partial x\)) \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) (\(\partial N/\partial X\), \(\partial u/\partial X\))
Forca e brendshme e elementit \(\boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) \(\boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV\)

Të dyja përpunohen me të njëjtën procedurë: ndërtohet \(\boldsymbol{B}_L\) nga derivatet hapësinore të funksioneve të formës; në formulimin TL, \(\boldsymbol{B}_{NL}\) ndërtohet dhe shtohet nga gradienti aktual i zhvendosjes; sforcimi (\(\boldsymbol{\sigma}\) ose \(\boldsymbol{S}\)) përditësohet sipas ligjit konstitutiv; dhe \(\boldsymbol{B}^T \boldsymbol{\sigma}\) ose \((\boldsymbol{B}_L+\boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\) integrohet numerikisht mbi domenin e elementit në pikat e integrimit (Integrimi numerik). Përveç ndërrimit të konfigurimit referues (koordinatat nyjore dhe ndërtimi i matricës \(\boldsymbol{B}\)) dhe zëvendësimit të tensorit të sforcimit, përpunimi është i përbashkët, prandaj FrontISTR implementon llogaritjet e forcës së brendshme për të dy formulimet duke përdorur nënprograme të përbashkëta. Montimi i vektorëve të forcës së brendshme të elementit \(\boldsymbol{q}^e\) dhe \(\boldsymbol{Q}^e\) në vektorin global të forcës së brendshme trajtohet te Puna virtuale e forcave të jashtme dhe montimi i ekuacioneve globale.

Tema të lidhura