Kalo te përmbajtja

Translation update pending

The Albanian translation may be out of date because the Japanese source has changed. The existing translation remains available while it is being updated.

Integrimi numerik

Vektorët e forcës së brendshme të elementit \(\boldsymbol{q}^e, \boldsymbol{Q}^e\) dhe matrica e ngurtësisë së elementit \(\boldsymbol{K}^e\), të përftuara te Diskretizimi i punës virtuale të forcave të brendshme dhe Puna virtuale e forcave të jashtme dhe montimi i ekuacioneve globale, kanë formën e integraleve mbi domenin e elementit \(\Omega^e\) ose \(\Omega^e_0\). FrontISTR i vlerëson ato numerikisht duke përdorur kuadraturën e Gauss-it.

Kuadratura e Gauss-it dhe ndryshimi i ndryshoreve

Kuadratura e Gauss-it përafron një integral mbi domenin e referencës \(\Xi\) me një kombinim linear të vlerave të integrandit në pikat e integrimit \(\boldsymbol{\xi}_i \in \Xi\) dhe peshave \(w_i\). Zbatimi i saj në domenin e elementit \(\Omega^e\) përfshin një ndryshim ndryshoresh përmes hartëzimit \(\boldsymbol{x}: \Xi \to \Omega^e\), duke dhënë

\[ \int_{\Omega^e} f(\boldsymbol{x})\, dv \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, f(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\xi}_i))\, J_{\xi_i}, \qquad J_{\xi_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)\right|_{\boldsymbol{\xi}_i} \]

ku \(n_q\) është numri i pikave të integrimit dhe \(J_{\xi_i}\) është determinanti i Jakobisë së transformimit. Domeni i referencës \(\Xi\) përcaktohet për çdo lloj elementi (për një heksahedron, \([-1,1]^3\); për trekëndësha, tetraedra dhe prizma trekëndore, format përkatëse të referencës), ndërsa pikat e integrimit \(\boldsymbol{\xi}_i\) dhe peshat \(w_i\) jepen në tabela numerike. Integralet sipërfaqësore trajtohen në të njëjtën formë duke hartëzuar faqen e elementit nga një domen reference dydimensional.

Më poshtë paraqiten numra përfaqësues të pikave të integrimit të përdorura nga FrontISTR (për përputhjen me llojet e elementeve, shih Sistemi i numërimit të elementeve dhe biblioteka e funksioneve të formës).

Lloji i elementit Rregulli i kuadraturës Numri i pikave të integrimit
Tetraedër me 4 nyje (tet4n) Rregull me 1 pikë 1
Tetraedër me 10 nyje (tet10n) Rregull me 4 pika 4
Prizëm trekëndor me 6 nyje (prism6n) Rregull me 2 pika 2
Prizëm trekëndor me 15 nyje (prism15n) Rregull me 9 pika 9
Heksaedër me 8 nyje (hex8n) Gauss-Legendre 2×2×2 8
Heksaedër me 20 nyje (hex20n) Gauss-Legendre 3×3×3 27
Katërkëndësh me 4 nyje (quad4n) Gauss-Legendre 2×2 4
Katërkëndësh me 8 nyje (quad8n) Gauss-Legendre 3×3 9
Trekëndësh me 3 nyje (tri3n) Rregull me 1 pikë 1
Trekëndësh me 6 nyje (tri6n) Rregull me 3 pika 3

Për elementet heksaedrike, katërkëndore dhe vijore përdoren produktet tensoriale të rregullit Gauss-Legendre në çdo drejtim koordinativ. Trekëndëshat, tetraedrat dhe prizmat trekëndore përdorin rregulla të posaçme të përshtatura për gjeometritë e tipit simplex (vendosje pikash që integrojnë saktësisht polinomet mbi vetë trekëndëshin).

Zbatimi në integrimin e elementit

Në integrimin e elementit, koordinatat natyrore \(\boldsymbol{r}\) përdoren si koordinata të domenit të referencës (\(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{\xi}\)), ndërsa hartëzimi në koordinatat fizike jepet nga interpolimi i koordinatave nyjore me funksionet e formës. Në varësi të zgjedhjes së konfigurimit të referencës (Kuadri i analizës inkrementale), përdoren formulimet e mëposhtme.

Metoda Total Lagrange (integrimi mbi konfigurimin e referencës \(\Omega^e_0\)): hartëzimi dhe Jakobia janë

\[ \boldsymbol{X}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

dhe forca e brendshme e elementit dhe matrica e ngurtësisë përafrohen si

\[ \boldsymbol{Q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \boldsymbol{S}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

Të gjitha madhësitë \(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{K}^e_{x}\) vlerësohen në pikën e integrimit \(\boldsymbol{r}_i\).

Metoda Updated Lagrange (integrimi mbi konfigurimin aktual \(\Omega^e\)): hartëzimi dhe Jakobia janë

\[ \boldsymbol{x}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{x}^e_\alpha = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, (\boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha), \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

dhe

\[ \boldsymbol{q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{B}_L^T\, \boldsymbol{\sigma}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

përdoren si përafrime.

Dallimi i vetëm ndërmjet dy formulimeve është nëse koordinatat nyjore që i jepen hartëzimit janë \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) apo \(\boldsymbol{x}^e_\alpha\); pikat e integrimit, peshat dhe struktura e ciklit mbi pikat e integrimit janë të përbashkëta.

Integrimi i plotë dhe integrimi i reduktuar

Integrimi me një numër të mjaftueshëm pikash integrimi për të integruar saktësisht shkallën polinomiale të integrandit quhet integrim i plotë, ndërsa integrimi me një nivel më pak pikash quhet integrim i reduktuar. Integrimi i reduktuar përdoret për të zbutur bllokimin nga prerja dhe bllokimin vëllimor, por kërkon trajtimin e modave të rreme të deformimit, si modat hourglass. Numri i pikave të integrimit për çdo lloj elementi dhe zgjedhja ndërmjet integrimit të plotë dhe atij të reduktuar trajtohen te Sistemi i numërimit të elementeve dhe biblioteka e funksioneve të formës dhe seksionet vijuese, si dhe te Formulimet e avancuara të elementeve.

Tema të lidhura