Kalo te përmbajtja

Funksionet e formës për elementet solide 3D

Ky kapitull përmbledh sistemet e koordinatave natyrore dhe format e shprehura të funksioneve të formës \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) të paraqitura te Funksionet e formës dhe përafrimi me elemente të fundme për elementet solide 3-dimensionale që FrontISTR përdor në analizën e kontinuumit. Objekt i trajtimit janë tetraedrat e rendit 1/2 (341/342), prizmat trekëndore të rendit 1/2 (351/352) dhe heksaedrat e rendit 1/2 (361/362), gjithsej 6 tipe. Për renditjen e nyjeve dhe numrat e faqeve në formatin e rrjetës HEC-MW, shih Biblioteka e elementeve në referencën e funksioneve.

Procedura për ndërtimin e integrimit të elementit nga këto funksione të formës dhe determinanti i Jakobit ndjek Integrimin numerik. Formulimet B-bar, F-bar dhe të papajtueshme për 361, si dhe funksionet e formës për elementet trarë dhe guaskë, trajtohen te Formulimet e avancuara të elementeve.

Sistemet e koordinatave natyrore dhe renditja e brendshme e nyjeve

Funksionet e formës përcaktohen në koordinatat natyrore \(\boldsymbol{r}\) të secilit element. Për elementet solide 3-dimensionale përdoren 3 sistemet e mëposhtme të koordinatave natyrore sipas formës së elementit.

  • Heksaedrat (361/362): \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\), \(-1 \le \xi, \eta, \zeta \le 1\).
  • Tetraedrat (341/342): koordinatat vëllimore \((L_1, L_2, L_3, L_4)\), me \(L_1 + L_2 + L_3 + L_4 = 1\) dhe \(L_i \ge 0\). Duke marrë \(\boldsymbol{r} = (L_2, L_3, L_4)\) si ndryshore të pavarura, \(L_1 = 1 - L_2 - L_3 - L_4\).
  • Prizmat trekëndore (351/352): kombinojnë koordinatat vëllimore \((\xi, \eta)\) të trekëndëshit bazë (\(0 \le \xi, \eta\), \(\xi + \eta \le 1\)) me koordinatën aksiale \(\zeta \in [-1, 1]\) për të formuar \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\). Madhësia ndihmëse \(a = 1 - \xi - \eta\) përdoret si koordinata e 3-të vëllimore në bazë.

Për elementet e rendit 1, numërimi i nyjeve të elementit është i njëjtë në formatin hyrës HEC-MW dhe në formatin e brendshëm. Për elementet e rendit 2, konventat e renditjes së nyjeve të mesit të brinjëve ndryshojnë. FrontISTR pranon si hyrje formatin HEC-MW (nyjet e qosheve renditen rreth elementit, pasuar nga nyjet e mesit të brinjëve sipas rendit të brinjëve 1-2, 2-3, …), ndërsa funksionet e formës në bibliotekën e elementeve janë zbatuar duke supozuar një renditje tjetër të nyjeve.

Dallimi ndërmjet dy formateve zgjidhet nga hecmw2fstr_mesh_conv, i thirrur menjëherë pas leximit të rrjetës, i cili rirendit nyjet për çdo element. Ndër elementet solide 3-dimensionale, konvertohen 2 tipet e mëposhtme.

Tipi i elementit Tabela e konvertimit Përshkrimi
342 (tetraedër i rendit 2) Table342 Rirendit 10 nyjet në \(\{1,2,3,4,7,5,6,8,9,10\}\)
352 (prizëm trekëndor i rendit 2) Table352 Rirendit 15 nyjet në \(\{1,2,3,4,5,6,9,7,8,12,10,11,13,14,15\}\)

Meqë rirenditja kryhet drejtpërdrejt në vargun që ruan lidhshmërinë e elementeve, të gjitha thirrjet e mëvonshme në bibliotekën e elementeve përdorin renditjen e brendshme të nyjeve të FrontISTR. Për elementin heksaedrik të rendit 2 362 nuk ekziston tabelë konvertimi, sepse renditja e nyjeve të mesit të brinjëve në hyrjen HEC-MW dhe në formatin e brendshëm të FrontISTR është e njëjtë. Në daljen e rezultateve, konvertimi i kundërt fstr2hecmw_mesh_conv rikthen renditjen HEC-MW të nyjeve para shkrimit, kështu që përdoruesit duhet të njohin vetëm formatin HEC-MW si për hyrjen, ashtu edhe për daljen. Numrat e nyjeve në funksionet e formës më poshtë përdorin formatin e brendshëm të konvertuar të FrontISTR.

Funksionet e formës për elementet e rendit 1

Për elementin tetraedrik të rendit 1 (341), funksionet e formës janë vetë koordinatat vëllimore:

\[ N_1 = L_1, \qquad N_2 = L_2, \qquad N_3 = L_3, \qquad N_4 = L_4. \]

Për elementin prizmatik trekëndor të rendit 1 (351), funksionet e formës janë produkte të funksioneve lineare të formës të trekëndëshit bazë (\(a, \xi, \eta\)) dhe funksioneve lineare aksiale të formës (\((1-\zeta)/2, (1+\zeta)/2\)):

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta), & N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta), & N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta). \end{aligned} \]

Për elementin heksaedrik të rendit 1 (361), funksionet e formës janë produkte tensoriale të funksioneve lineare të formës në 3 drejtimet koordinative:

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta), \qquad \alpha = 1, \ldots, 8. \]

Këtu \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\) janë vlerat e koordinatave natyrore të nyjes \(\alpha\) (çdo përbërës është \(\pm 1\)).

Funksionet e formës për elementet e rendit 2

Për elementin tetraedrik të rendit 2 (342), funksionet e formës ndahen në 4 nyje qoshe dhe 6 nyje të mesit të brinjëve:

\[ \begin{aligned} N_1 &= L_1(2L_1 - 1), & N_2 &= L_2(2L_2 - 1), \\ N_3 &= L_3(2L_3 - 1), & N_4 &= L_4(2L_4 - 1), \\ N_5 &= 4\,L_1 L_2, & N_6 &= 4\,L_2 L_3, \\ N_7 &= 4\,L_1 L_3, & N_8 &= 4\,L_1 L_4, \\ N_9 &= 4\,L_2 L_4, & N_{10} &= 4\,L_3 L_4. \end{aligned} \]

Nyjet e mesit të brinjëve 5–10 u korrespondojnë përkatësisht mespikave të brinjëve 1-2, 2-3, 1-3, 1-4, 2-4 dhe 3-4.

Elementi prizmatik trekëndor i rendit 2 (352) përbëhet nga 6 nyje qoshe, 6 nyje të mesit të brinjëve në faqet trekëndore dhe 3 nyje të mesit të brinjëve në brinjët aksiale:

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta)(2a - 2 - \zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta)(2\xi - 2 - \zeta), \\ N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta)(2\eta - 2 - \zeta), & N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta)(2a - 2 + \zeta), \\ N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta)(2\xi - 2 + \zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta)(2\eta - 2 + \zeta), \\ N_7 &= 2\,\xi\, a\,(1-\zeta), & N_8 &= 2\,\xi\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_9 &= 2\,\eta\, a\,(1-\zeta), & N_{10} &= 2\,\xi\, a\,(1+\zeta), \\ N_{11} &= 2\,\xi\, \eta\,(1+\zeta), & N_{12} &= 2\,\eta\, a\,(1+\zeta), \\ N_{13} &= a\,(1 - \zeta^2), & N_{14} &= \xi\,(1 - \zeta^2), \\ N_{15} &= \eta\,(1 - \zeta^2). \end{aligned} \]

Nyjet 7–9 të mesit të brinjëve u korrespondojnë mespikave të brinjëve të trekëndëshit të poshtëm (\(\zeta = -1\)), nyjet 10–12 mespikave të brinjëve të trekëndëshit të sipërm (\(\zeta = +1\)), dhe nyjet 13–15 mespikave të brinjëve aksiale.

Elementi heksaedrik i rendit 2 (362) është një element me 20 nyje i familjes Serendipity. Për nyjen \(\alpha\), le të jenë \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\) vlerat e koordinatave natyrore. Për nyjet e qosheve (\(\alpha = 1, \ldots, 8\), ku çdo përbërës është \(\pm 1\)),

\[ N_\alpha = -\tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta)\bigl(2 - \xi_\alpha \xi - \eta_\alpha \eta - \zeta_\alpha \zeta\bigr). \]

Për nyjet e mesit të brinjëve (\(\alpha = 9, \ldots, 20\), ku njëra nga 3 koordinatat natyrore është \(0\) dhe 2 të tjerat janë \(\pm 1\)), nyjet me \(\xi_\alpha = 0\) (brinjë të orientuara në drejtimin \(\xi\)) kanë

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{4}\,(1 - \xi^2)(1 + \eta_\alpha \eta)(1 + \zeta_\alpha \zeta). \]

Nyjet e mesit të brinjëve, drejtimi i brinjës së të cilave është boshti \(\eta\) ose \(\zeta\), jepen në mënyrë analoge, duke eliminuar koordinatën natyrore përkatëse me termin e fuqisë 2.

Tema të lidhura