Kalo te përmbajtja

Formulime të avancuara të elementeve

Formulimi standard i bazuar në zhvendosje i paraqitur te Formulimi i elementeve solide 3D shfaq ngurtësi artificiale të tepruar, të njohur si bllokim (bllokim vëllimor ose bllokim në prerje), kur zbatohet për materiale pothuajse të pangjeshshme ose struktura me mure të holla ku dominon përkulja. Për ta shmangur këtë, FrontISTR ofron metodat B-bar dhe F-bar, të cilat zëvendësojnë vetëm pjesën vëllimore të matricës B ose të gradientit të deformimit; elemente të papajtueshme me shkallë të brendshme lirie; elemente të përziera u-p që trajtojnë presionin si fushë të panjohur të pavarur; si dhe elemente guaske MITC dhe elemente trari të specializuara për struktura pllakash dhe trarësh.

Ky kapitull përmbledh formulimet e këtyre elementeve të avancuara dhe elementeve strukturore, element për element.

Metoda B-bar

Kur një element heksaedrik linear me 8 nyje përdoret për një material pothuajse të pangjeshshëm, fusha e deformimit brenda 1 elementi mund të jetë në konflikt me kufizimin e vëllimit konstant, duke prodhuar ngurtësi të tepruar të njohur si bllokim vëllimor. Metoda B-bar e zbut këtë mbikufizim duke zëvendësuar përbërësit e matricës B që kontribuojnë në zgjerimin vëllimor me vlera të vlerësuara në qendrën e elementit [Hughes1980].

Në qendrën e elementit \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\), le të jetë \(\bar{\boldsymbol{B}}\) matrica B e llogaritur nga derivatet hapësinore të funksioneve të formës; në pikën e integrimit \(\boldsymbol{r}\), le të jetë \(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})\) matrica e zakonshme B. Në marrëdhënien zhvendosje–deformim për nyjen \(\alpha\) dhe shkallën e lirisë \(i\), përbërësit e deformimit vëllimor \((\varepsilon_{11}, \varepsilon_{22}, \varepsilon_{33})\) modifikohen duke shtuar

\[ \Delta B_{i\alpha} = \tfrac{1}{3}\bigl(\bar{B}_{i\alpha}(\boldsymbol{0}) - B_{i\alpha}(\boldsymbol{r})\bigr) \]

Për përbërësit e prerjes \((\varepsilon_{12}, \varepsilon_{23}, \varepsilon_{31})\), përdoret \(\boldsymbol{B}\) e zakonshme. Ngurtësia e elementit dhe vektori i forcës së brendshme montohen duke përdorur matricën B-bar që rezulton.

FrontISTR e ofron këtë formulim posaçërisht për elementin heksaedrik linear me 8 nyje (ID e elementit 361; shih Sistemi i numërimit të elementeve), dhe ai mund të zbatohet në formulimet me deformim të vogël, Total Lagrange dhe Updated Lagrange.

Metoda F-bar

Në deformim të fundëm, ndryshimi vëllimor hyn në mënyrë jolineare përmes gradientit të deformimit \(\boldsymbol{F}\). Metoda F-bar [deSouzaNeto1996] zbaton në nivelin e gradientit të deformimit një trajtim të bllokimit vëllimor analog me metodën B-bar.

Në qendrën e elementit \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\), le të jetë \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\) raporti vëllimor i gradientit të deformimit, ndërsa në pikën e integrimit le të jetë \(J = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\) raporti vëllimor. Gradienti i deformimit në pikën e integrimit zëvendësohet me

\[ \bar{\boldsymbol{F}} = \left(\frac{J_0}{J}\right)^{1/3} \boldsymbol{F} \]

Kjo jep \(\det \bar{\boldsymbol{F}} = J_0\), kështu që raporti vëllimor në të gjithë elementin barazohet me vlerën në qendrën e elementit. \(\bar{\boldsymbol{F}}\) e zëvendësuar përdoret për vlerësimin e sforcimit dhe ndërtimin e matricës deformim–zhvendosje, ndërsa ngurtësia tangjente e elementit përfshin termat shtesë që lidhen me këtë zëvendësim.

FrontISTR e zbaton metodën F-bar posaçërisht për elementin heksaedrik linear me 8 nyje dhe ajo mund të zbatohet si për deformim të vogël, ashtu edhe për gjeometri jolineare Total Lagrange / Updated Lagrange.

Elemente të papajtueshme

Elementit heksaedrik linear me 8 nyje i mungojnë mënyrat e deformimit të nevojshme për përkulje dhe ai shfaq bllokim në përkulje në probleme ku dominon përkulja. Elementet e papajtueshme [Taylor1976] futin mënyra shtesë zhvendosjeje brenda elementit për të kompensuar këtë mangësi.

Përveç zhvendosjeve nyjore të elementit \(\boldsymbol{u}^e\), futen shkallë lirie të mënyrës së papajtueshme \(\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{R}^{9}\) që ekzistojnë vetëm brenda elementit, për 1 element si 3 drejtime × 3 mënyra, dhe fusha e zhvendosjes afrohet si

\[ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha=1}^{8} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha + \sum_{k=1}^{3} M_k(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{\alpha}_k \]

Për koordinatat natyrore \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\), funksionet e formës së papajtueshme merren si \(M_1 = 1 - \xi^2\), \(M_2 = 1 - \eta^2\) dhe \(M_3 = 1 - \zeta^2\). Ato nuk garantojnë vazhdimësi përtej kufijve të elementeve, por shtojnë një hapësirë të brendshme të aftë të riprodhojë deformimet që lidhen me mënyrat e përkuljes.

Ngurtësia e elementit montohet fillimisht në formë blloku shkallë-lirie të jashtme/shkallë-lirie të brendshme

\[ \begin{bmatrix} \boldsymbol{K}_{dd} & \boldsymbol{K}_{d\alpha} \\ \boldsymbol{K}_{\alpha d} & \boldsymbol{K}_{\alpha\alpha} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u}^e \\ d\boldsymbol{\alpha} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{F}^e_{\text{ext}} \\ \boldsymbol{0} \end{bmatrix} \]

Pas montimit në këtë formë, kondensimi statik eliminon shkallët e brendshme të lirisë duke përdorur \(d\boldsymbol{\alpha} = -\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\boldsymbol{K}_{\alpha d}\,d\boldsymbol{u}^e\), duke dhënë ngurtësinë e elementit që përfshin vetëm shkallët e jashtme të lirisë

\[ \boldsymbol{K}^e = \boldsymbol{K}_{dd} - \boldsymbol{K}_{d\alpha}\,\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\,\boldsymbol{K}_{\alpha d} \]

e cila i kalon montimit global.

FrontISTR e zbaton elementin e papajtueshëm posaçërisht për elementin heksaedrik linear me 8 nyje (C3D8IC), dhe ai mund të zbatohet në formulimet me deformim të vogël, Total Lagrange dhe Updated Lagrange.

Elemente të përziera U-P

Ndërsa metodat B-bar dhe F-bar korrigjojnë përbërësin vëllimor brenda një kornize të bazuar në zhvendosje, elementi i përzier u-p (U-P) përdor një formulim të përzier [Bathe1996] që fut presionin \(\lambda\) si fushë të panjohur të pavarur nga zhvendosja. Për materiale pothuajse të pangjeshshme, si materiale të ngjashme me gomën me raport të Poisson-it jashtëzakonisht afër 0.5 ose metale pas deformimit plastik, imponimi i kufizimit të vëllimit konstant vetëm me fushën e zhvendosjes shkakton bllokim vëllimor; trajtimi i presionit si ndryshore e pavarur e zbut këtë kufizim.

Sforcimi ndahet në përbërës devijator dhe presioni si

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} + \lambda\,\boldsymbol{I}, \qquad \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} = \mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\,\boldsymbol{\varepsilon} \]

Këtu, \(\mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\) është matrica elastike devijatore e marrë duke hequr nga matrica elastike pjesën vëllimore proporcionale me modulin vëllimor \(K\). Presioni \(\lambda\) dhe deformimi vëllimor \(g = \mathrm{tr}\,\boldsymbol{\varepsilon}\) lidhen nga kufizimi përmes ngjeshmërisë \(\alpha^{-1} = 1/K\)

\[ g - \alpha^{-1}\lambda = 0 \]

Diskretizimi me zhvendosjen \(\boldsymbol{u}\) dhe presionin \(\lambda\) si të panjohura jep sistemin e çiftuar të elementit

\[ \begin{bmatrix} \mathbf{K}_{uu} & \mathbf{K}_{up} \\ \mathbf{K}_{up}^{T} & \mathbf{K}_{pp} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u} \\ d\lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{f}_{u} \\ \boldsymbol{f}_{p} \end{bmatrix} \]

ku \(\mathbf{K}_{uu}\) përmban kontributin elastik devijator dhe, për deformim të fundëm, ngurtësinë gjeometrike; \(\mathbf{K}_{up}\) çifton deformimin vëllimor me presionin; dhe \(\mathbf{K}_{pp} = -\int \alpha^{-1}\,\boldsymbol{N}_p \boldsymbol{N}_p^{T}\,dV\) është termi i stabilizimit të presionit (\(\boldsymbol{N}_p\) është funksioni i formës së presionit). Meqë shkallët e lirisë së presionit janë të brendshme për elementin,

\[ \mathbf{K}_{\mathrm{eff}} = \mathbf{K}_{uu} - \mathbf{K}_{up}\,\mathbf{K}_{pp}^{-1}\,\mathbf{K}_{up}^{T} \]

kondensimi statik kryhet në këtë formë, dhe ngurtësia efektive që përfshin vetëm shkallët e jashtme të lirisë (zhvendosjes) i kalon montimit global.

FrontISTR e zbaton elementin U-P posaçërisht për elementin heksaedrik linear me 8 nyje, me 1 shkallë lirie presioni për 1 element (konstante brenda elementit). Ai mund të zbatohet në formulimet me deformim të vogël, Total Lagrange dhe Updated Lagrange. Në Updated Lagrange, sforcimi devijator përditësohet duke përdorur një shpejtësi objektive të sforcimit (tipi Jaumann/Hughes-Winget), dhe më pas presioni \(\lambda\,\boldsymbol{I}\) imponohet duke përdorur vlerën e marrë nga kondensimi statik.

Elemente guaske

Elementet guaskë të bazuara në teorinë e pllakave/guaskave Reissner-Mindlin përdoren për struktura pllakash dhe guaskash me mure të holla. Me zvogëlimin e trashësisë, elementet e pllakave/guaskave të rendit të ulët të bazuara në zhvendosje mbivlerësojnë deformimin tërthor të prerjes përmes një mekanizmi analog me bllokimin vëllimor (bllokim në prerje), duke bërë që ngurtësia për mënyrat e përkuljes të rritet tepër. Metoda MITC (Mixed Interpolation of Tensorial Components) [Dvorkin1984] [Bathe1986] e shmang këtë problem duke rimostruar vetëm përbërësit e deformimit në prerje në pika lidhëse të paracaktuara brenda elementit dhe duke interpoluar vlerat e mostruara përsëri mbi elementin.

Nyjet e një elementi guaskë MITC shtrihen në sipërfaqen e mesme dhe secila nyje ka 3 përbërës translacionalë dhe 3 përbërës rrotullues rreth sistemit koordinativ normal të sipërfaqes së mesme, gjithsej 6 shkallë lirie. Ngurtësia e elementit vlerësohet me integrim Gaussian 3-dimensional mbi koordinatat natyrore të sipërfaqes së mesme dhe drejtimin e trashësisë, ndërsa trashësia \(h\) jepet si veti e elementit gjatë vlerësimit konstitutiv.

FrontISTR ofron, në 1 shtresë të sipërfaqes së mesme, MITC3 (ID e elementit 731), MITC4 (741) dhe MITC9 (743), si dhe elemente guaskë me shtresa, me nyje të vendosura në 2 shtresa përmes trashësisë: MITC3-shell361 (761, 3\(\times\)2 nyje, 3 shkallë lirie për nyje) dhe MITC4-shell361 (781, 4\(\times\)2 nyje, 3 shkallë lirie për nyje). Në elementet guaskë me shtresa, shkallët nyjore të lirisë përbëhen vetëm nga 3 përbërës translacionalë, ndërsa mënyrat e përkuljes që u korrespondojnë shkallëve rrotulluese të lirisë përfaqësohen nga vendosja me 2 shtresa.

Elemente trari

Elementet lineare, si trarët kryesorë dhe strukturat kornizë, diskretizohen me elemente trari. FrontISTR përdor formulimin e trarit Timoshenko që merr parasysh deformimin në prerje dhe shpreh si përkuljen ashtu edhe prerjen si funksione të shkallëve translacionale dhe rrotulluese të lirisë.

Çdo nyje trari ka 3 përbërës translacionalë dhe 3 përbërës rrotullues rreth boshtit të trarit dhe boshteve tërthore, gjithsej 6 shkallë lirie. Ngurtësia e elementit vlerësohet me integrim numerik 1-dimensional përgjatë boshtit të trarit. Sipërfaqja e prerjes tërthore \(A\) dhe momentet e 2-ta të sipërfaqes \(I\) në drejtimet e përkuljes dhe përdredhjes jepen si veti të seksionit të trarit dhe, së bashku me modulin e Young-ut \(E\) dhe modulin e prerjes \(G\) të materialit, përcaktojnë ngurtësitë aksiale, të përkuljes, përdredhjes dhe prerjes.

FrontISTR ofron një element trari të drejtë me 2 nyje (ID e elementit 611) dhe një element hibrid solid-trar, të përfaqësuar me 3 nyje, për një solid tetraedrik me 4 nyje (641, për shkallë lirie të përziera).

Tema të lidhura