Lista e simboleve të madhësive fizike
Kjo faqe rendit simbolet e madhësive fizike të përdorura në manualin teorik të FrontISTR. Për konventat e notacionit (shkrimi me të trasha për vektorët dhe tensorët, konventa e shumimit të Einstein-it dhe notacioni Voigt), shih Notacioni tensorial dhe bazat matematikore.
Konfigurimet dhe sistemet e koordinatave
| Simboli | Përshkrimi |
| \(\boldsymbol{X}\) | Vektori i pozicionit të një pike materiale në konfigurimin e referencës (fillestar) (koordinata materiale) |
| \(\boldsymbol{x}\) | Vektori i pozicionit të një pike materiale në konfigurimin aktual (koordinata hapësinore) |
| \(\phi(\boldsymbol{X}, t)\) | Hartëzimi i lëvizjes: \(\boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t)\) |
| \(\Omega_0\) | Domeni i zënë nga trupi në konfigurimin e referencës |
| \(\Omega\) | Domeni i zënë nga trupi në konfigurimin aktual |
| \(\Gamma_0\) | Kufiri i \(\Omega_0\) |
| \(\Gamma\) | Kufiri i \(\Omega\) |
| \(\Gamma_B, \Gamma_{0B}\) | Kufiri gjeometrik (i zhvendosjes): kufiri në konfigurimin aktual/të referencës ku \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) përcaktohet |
| \(\Gamma_t, \Gamma_{0t}\) | Kufiri mekanik: kufiri në konfigurimin aktual/të referencës ku \(\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) (ose \(\boldsymbol{P}\boldsymbol{N} = \bar{\boldsymbol{t}}\)) përcaktohet |
| \(\boldsymbol{n}\) | Vektori normal njësi i jashtëm ndaj një sipërfaqeje në konfigurimin aktual |
| \(\boldsymbol{N}\) | Vektori normal njësi i jashtëm ndaj një sipërfaqeje në konfigurimin e referencës |
| \(t\) | Koha |
Konventë: Madhësitë fizike në konfigurimin e referencës shënohen me shkronja të mëdha ose me nënshkrimin \(0\), ndërsa madhësitë në konfigurimin aktual shënohen me shkronja të vogla.
Koha dhe inkrementet (analiza inkrementale)
| Simboli | Përshkrimi |
| \(\Delta t\) | Inkrementi kohor: \(\Delta t = t_{n+1} - t_n\) |
| \(^{t}(\cdot)\) | Madhësi fizike në kohën \(t\) (mbishkrim majtas). Shembull: \(^{t}\boldsymbol{\sigma}\) është sforcimi Cauchy në kohën \(t\) |
| \(^{t}\Omega\) | Domeni i konfigurimit aktual në kohën \(t\) |
| \(^{t}\Gamma\) | Kufiri i konfigurimit aktual në kohën \(t\) |
Konventë: Në analizën inkrementale, gjendja deri në kohën \(t\) trajtohet si e njohur, ndërsa gjendja në kohën \(t + \Delta t\) zgjidhet si e panjohur. Mbishkrimi majtas lihet jashtë kur koha nuk ka nevojë të shprehet shprehimisht. Formulimi që përdor konfigurimin e referencës \(\Omega_0\) si referencë quhet formulim Total Lagrange, ndërsa formulimi që përdor konfigurimin aktual \(^{t}\Omega\) në fillim të inkrementit si referencë quhet formulim Updated Lagrange.
Zhvendosja, shpejtësia, përshpejtimi dhe forca vëllimore
| Simboli | Përshkrimi |
| \(\boldsymbol{u}\) | Vektori i zhvendosjes: \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{u}}\) | Zhvendosja e përcaktuar në kufirin gjeometrik \(\Gamma_B\) |
| \(\delta \boldsymbol{u}\) | Zhvendosja virtuale (funksioni i provës): \(\delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) on \(\Gamma_B\) |
| \(\boldsymbol{v}\) | Vektori i shpejtësisë: \(\boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}\) |
| \(\boldsymbol{a}\) | Vektori i përshpejtimit: \(\boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}}\) |
| \(\boldsymbol{g}\) | Forca vëllimore (për njësi mase) |
| \(\boldsymbol{t}\) | Vektori i traksionit (për njësi sipërfaqeje): \(\boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{t}}\) | Traksioni i përcaktuar në kufirin mekanik \(\Gamma_t\) (të dhëna Neumann) |
Operatorët diferencialë
| Simboli | Përshkrimi |
| \(\dot{(\cdot)}\) | Derivati material në kohë (derivati kohor që ndjek të njëjtën pikë materiale): \(\dot{A} \equiv DA/Dt\) |
| \(\nabla_X\) | Gradienti në konfigurimin e referencës (gradienti ndaj koordinatave materiale \(\boldsymbol{X}\)): \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\) |
| \(\nabla_x\) | Gradienti në konfigurimin aktual (gradienti ndaj koordinatave hapësinore \(\boldsymbol{x}\)): \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\) |
| \(\nabla_S\) | Operatori simetrik i gradientit: \(\nabla_S \boldsymbol{u} = \tfrac{1}{2}(\nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T)\) |
Shënim: \(\nabla_X\) dhe \(\nabla_x\) lidhen nga \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). Një gradient pa nënshkrim, \(\nabla\), përdoret kur konfigurimi është i qartë nga konteksti ose kur dallimi zhduket, si në problemet me deformime të vogla.
| Simboli | Përshkrimi |
| \(\boldsymbol{F}\) | Tensori i gradientit të deformimit: \(F_{ij} = \partial x_i / \partial X_j\) |
| \(J\) | Raporti i vëllimit: \(J = dv/dV = \det \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{C}\) | Tensori i djathtë i deformimit Cauchy-Green: \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{b}\) | Tensori i majtë i deformimit Cauchy-Green: \(\boldsymbol{b} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T\) |
| \(\boldsymbol{L}\) | Tensori i gradientit të shpejtësisë: \(L_{ij} = \partial v_i / \partial x_j = \dot{F}_{ik}F^{-1}_{kj}\) |
| \(\boldsymbol{D}\) | Tensori i shpejtësisë së deformimit (pjesa simetrike e \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{D} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}+\boldsymbol{L}^T)\) |
| \(\boldsymbol{W}\) | Tensori i rrotullimit (pjesa antisimetrike e \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{W} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}^T)\) |
| Simboli | Përshkrimi |
| \(\boldsymbol{E}\) | Tensori i deformimit Green-Lagrange (konfigurimi i referencës): \(\boldsymbol{E} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{I})\) |
| \(\boldsymbol{e}\) | Tensori i deformimit Almansi (konfigurimi aktual): \(\boldsymbol{e} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{b}^{-1})\) |
| \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) | Pjesa lineare e tensorit të deformimit Almansi (gradienti simetrik i zhvendosjes në konfigurimin aktual): \(\boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T)\) |
| \(\boldsymbol{\varepsilon}\) | Tensori i deformimit infinitesimal (përafrim linear): \(\varepsilon_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i/\partial x_j + \partial u_j/\partial x_i)\) |
Shënim: \(\boldsymbol{E}\) përdoret kryesisht në formulimin Total Lagrange, ndërsa \(\boldsymbol{D}\) përdoret kryesisht në formulimin Updated Lagrange.
Tensorët e sforcimit
| Simboli | Përshkrimi |
| \(\boldsymbol{\sigma}\) | Tensori i sforcimit Cauchy (sforcim i vërtetë, konfigurimi aktual): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\,d\Gamma\) |
| \(\boldsymbol{P}\) | Tensori i parë i sforcimit Piola-Kirchhoff (sforcim nominal): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
| \(\boldsymbol{S}\) | Tensori i dytë i sforcimit Piola-Kirchhoff (konfigurimi i referencës, simetrik): \(\boldsymbol{F}^{-1}d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
Marrëdhëniet e transformimit ndërmjet tensorëve të sforcimit:
\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J}\boldsymbol{F}\boldsymbol{S}\boldsymbol{F}^T = \frac{1}{J}\boldsymbol{P}\boldsymbol{F}^T \]
Konventë: Formulimi Total Lagrange përdor çiftin \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\), ndërsa formulimi Updated Lagrange përdor çiftin \((\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{D})\).
Dendësia dhe masa
| Simboli | Përshkrimi |
| \(\rho\) | Dendësia e masës në konfigurimin aktual |
| \(\rho_0\) | Dendësia e masës në konfigurimin e referencës |
Ruajtja e masës: \(\rho_0 = J\rho\).
Konstantat e materialit (elasticitet linear)
| Simboli | Përshkrimi |
| \(E\) | Moduli i Young-ut |
| \(\nu\) | Raporti i Poisson-it |
| \(\lambda\) | Konstanta e parë e Lamé-së: \(\lambda = E\nu / [(1+\nu)(1-2\nu)]\) |
| \(\mu\) | Konstanta e dytë e Lamé-së (moduli i prerjes): \(\mu = E / [2(1+\nu)]\) |
| \(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) | Tensori i elasticitetit (rendi i katërt): \(\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{E}\), komponentët \(C_{ijkl}\) |
| \(D\) (ose \(\hat{\tilde{C}}\)) | Matrica e materialit (notacioni Voigt, \(6\times6\) në 3D): \(\hat{\sigma} = D\,\hat{\varepsilon}\) |
Komponentët e tensorit të elasticitetit për një material izotrop linear-elastik:
\[ C_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk}) \]
Materialet hiperelastike
| Simboli | Përshkrimi |
| \(W(\boldsymbol{C})\) | Funksioni i potencialit elastik (funksioni i dendësisë së energjisë së deformimit) |
| \(I_1, I_2, I_3\) | Invariantet kryesore të tensorit të djathtë Cauchy-Green \(\boldsymbol{C}\) |
| \(\tilde{I}_1, \tilde{I}_2, \tilde{I}_3\) | Invariantet e reduktuara të \(\boldsymbol{C}\) (ndryshimi vëllimor i ndarë) |
| \(C_1, C_2\) | Konstantat e materialit të modelit Mooney-Rivlin |
| \(D\) | Konstanta e materialit e lidhur me elasticitetin vëllimor |
Materialet elastoplastike
| Simboli | Përshkrimi |
| \(\boldsymbol{D}^e\) | Komponenti elastik i tensorit të shpejtësisë së deformimit |
| \(\boldsymbol{D}^p\) | Komponenti plastik i tensorit të shpejtësisë së deformimit |
| \(F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa)\) | Funksioni i rrjedhjes |
| \(\kappa\) | Ndryshore e brendshme që përfaqëson gjendjen plastike (ndryshore e forcimit izotrop) |
| \(\lambda^p\) | Shumëzuesi plastik (shumëzuesi i shpejtësisë së deformimit plastik): \(\lambda^p \geq 0\) |
| \(\Theta\) | Potenciali plastik (\(\Theta = F\) për një ligj të asociuar të rrjedhjes) |
| \(\bar{\sigma}\) | Sforcimi ekuivalent (p.sh., sforcimi von Mises) |
| \(\bar{\varepsilon}^p\) | Deformimi plastik ekuivalent |
| \(H(\bar{\varepsilon}^p)\) | Funksioni i forcimit izotrop |
Kushti i komplementaritetit: \(\lambda^p F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa) = 0\), \(\lambda^p \geq 0\), \(F \leq 0\).
Metoda e elementeve të fundme
| Simboli | Përshkrimi |
| \(\Omega^h, \Omega_0^h\) | Domenet në konfigurimin aktual dhe të referencës të përafruara me diskretizimin me elemente të fundme: \(\Omega^h = \bigcup_e \Omega^e\) |
| \(\Omega^e, \Omega^e_0\) | Domeni i elementit në konfigurimin aktual dhe të referencës |
| \(\Gamma^e_t, \Gamma^e_{0t}\) | Pjesa e kufirit të elementit që i përket kufirit mekanik |
| \(\boldsymbol{r}\) | Koordinata natyrore (koordinata lokale të elementit) |
| \(\boldsymbol{r}_\alpha\) | Pika në koordinata natyrore që i përgjigjet nyjes \(\alpha\) |
| \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) | Funksioni i formës që i përgjigjet nyjes \(\alpha\) të elementit \(e\) |
| \(n_e\) | Numri i nyjeve që përbëjnë një element |
| \(n_g\) | Numri total i nyjeve globale |
| \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) | Koordinatat dhe zhvendosja e nyjes \(\alpha\) të elementit |
| \(\boldsymbol{X}^e, \boldsymbol{u}^e\) | Vektorët e koordinatave dhe zhvendosjes nyjore të elementit: \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\), etj. |
| \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) | Vektorët globalë të koordinatave dhe zhvendosjes nyjore (të renditur sipas numrit të nyjes, pastaj shkallës së lirisë) |
| \(\boldsymbol{B}\) | Matrica e marrëdhënies deformim-zhvendosje (matrica B) |
| \(\boldsymbol{N}_\alpha, \boldsymbol{N}\) | Matrica e funksionit të formës: \(\boldsymbol{N}_\alpha\) është një \(d \times d\) bllok me funksionin e formës \(N_\alpha^e\) për nyjen \(\alpha\) në diagonalën e tij, dhe \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\). \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\) |
| \(\boldsymbol{K}^e\) | Matrica e ngurtësisë së elementit |
| \(\boldsymbol{K}^e_X, \boldsymbol{K}^e_x\) | Integrandët e matricës së ngurtësisë së elementit (të shprehur në konfigurimin e referencës dhe atë aktual): \(\boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv\) |
| \(\boldsymbol{Q}^e\) (formulimi TL), \(\boldsymbol{q}^e\) (formulimi UL) | Vektori i forcës së brendshme të elementit |
| \(\boldsymbol{F}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e\) | Forca e jashtme nyjore që vepron në nyjen e elementit \(\alpha\), dhe vektori i forcës së jashtme nyjore të elementit: \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\) |
| \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) | Vektori global i forcës së brendshme dhe vektori global i forcës së jashtme: \(\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T\); në mënyrë të ngjashme për \(\boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{Q}_{i_g}, \boldsymbol{F}_{i_g}\) | Forca e brendshme nyjore dhe forca e jashtme nyjore në nyjen globale \(i_g\) (blloqet nyjore të \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\)) |
| \(\boldsymbol{K}\) | Matrica globale tangjente e ngurtësisë: \(\boldsymbol{K} = \partial \boldsymbol{Q}/\partial \boldsymbol{u}\). Matricë e formuar duke vendosur bllokun bllokun \(3\times 3\) \(\boldsymbol{K}_{i_gi_h}\) në rreshtin \(i_g\), kolonën \(i_h\) |
| \(\boldsymbol{R}_i\) | Vektori i mbetjes në iteracionin Newton-Raphson: \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\) |
| \(d\boldsymbol{u}_i\) | Korrigjimi në iteracionin Newton-Raphson (i marrë duke zgjidhur ekuacionin linear \(\boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}\) në iteracionin \(i\)) |
| \(i_g\) | Numri i nyjes globale (\(1 \leq i_g \leq n_g\)) |
| \(\mathrm{gdx}(e, \alpha)\) | Numri i nyjes globale që i përgjigjet numrit lokal të nyjes \(\alpha\) të elementit \(e\): \(\mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\) |
| \(\mathcal{E}(i_g)\) | Bashkësia e \((e, \alpha)\) çifteve që i përgjigjen numrit të nyjes globale \(i_g\): \(\mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \}\). Përdoret në operacionet e montimit |
| \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) | Bashkësia e \((e, \alpha, \beta)\) tuplave që i përgjigjen çiftit të numrave të nyjeve globale \((i_g, i_h)\); përdoret për montimin e matricës së ngurtësisë |
| \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) | Indekset për nyjet që përbëjnë një element |
| \(i, j, k, l, \ldots\) | Indekset për shkallët e lirisë (\(1, 2, 3\) në 3D) |
Elementet e avancuara dhe elementet strukturore
| Simboli | Përshkrimi |
| \(\bar{\boldsymbol{B}}\) | Matrica e marrëdhënies deformim-zhvendosje me pjesën vëllimore të modifikuar nga metoda B-bar (komponenti vëllimor zëvendësohet nga matrica B e vlerësuar në qendrën e elementit) |
| \(\bar{\boldsymbol{F}}\) | Gradienti i deformimit me pjesën vëllimore të modifikuar nga metoda F-bar: \(\bar{\boldsymbol{F}} = (J_0/J)^{1/3} \boldsymbol{F}\) |
| \(J_0\) | Raporti vëllimor i gradientit të deformimit i vlerësuar në qendrën e elementit \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\): \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\) |
| \(\boldsymbol{\alpha}\) | Vektori i shkallëve të brendshme të lirisë për një element me modë të papajtueshme (koeficientët e modave shtesë të zhvendosjes që nuk imponojnë vazhdimësi në kufirin e elementit) |
| \(M_k(\boldsymbol{r})\) | Funksionet e formës për modat e papajtueshme: \(M_1=1-\xi^2\), \(M_2=1-\eta^2\), \(M_3=1-\zeta^2\) |
| \(h\) | Trashësia e elementit shell |
| \(A\) | Sipërfaqja e seksionit tërthor të një elementi tra |
| \(I\) | Momenti i dytë i sipërfaqes së seksionit tërthor të një elementi tra |
| \(G\) | Moduli i prerjes: \(G = E/[2(1+\nu)]\) |
Tema të lidhura