Kalo te përmbajtja

Metodat e analizës dinamike

Ky seksion përshkruan metodat e analizës për problemet dinamike duke përdorur integrimin e drejtpërdrejtë në kohë. Formulimet e metodës implicite dhe eksplicite paraqiten më poshtë.

Diskretizimi i ekuacionit të lëvizjes (korniza e përbashkët)

Për t’u plotësuar (në fazën e ardhshme).

Metoda implicite (metoda Newmark-β)

Për problemet dinamike, zbatohet një metodë e integrimit të drejtpërdrejtë në kohë për të zgjidhur ekuacionin e lëvizjes të treguar më poshtë.

\[\begin{equation} M( t + \Delta t ) \ddot{U} (t + \Delta t) + C( t + \Delta t ) \dot{U}(t + \Delta t) + Q( t + \Delta t ) = F( t + \Delta t ) \label{eq:2.5.1} \end{equation}\]

Këtu, \(M\) është matrica e masës, \(C\) është matrica e amortizimit, \(Q\) është vektori i forcës së brendshme dhe \(F\) është vektori i forcës së jashtme. Supozohet se matrica e masës mbetet konstante pavarësisht deformimit, edhe në analizën jolineare.

Ndryshimet e zhvendosjes, shpejtësisë dhe përshpejtimit gjatë hapit kohor \(\Delta t\) përafrohen duke përdorur metodën Newmark-\(\beta\), siç tregohet në Eq. \(\eqref{eq:2.5.2}\) dhe Eq. \(\eqref{eq:2.5.3}\).

\[\begin{equation} \dot{U}(t + \Delta t) = \frac{\gamma}{\beta \Delta t} \Delta U( t + \Delta t ) - \frac{\gamma - \beta}{\beta} \dot{U}( t ) - \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2\beta} \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}(t + \Delta t) = \frac{1}{\beta \Delta t^2}\Delta U(t + \Delta t) - \frac{1}{\beta \Delta t} \dot{U}(t) - \frac{1 - 2\beta}{2\beta} \ddot {U}(t) \label{eq:2.5.3} \end{equation}\]

Këtu, \(\gamma\) dhe \(\beta\) janë parametrat e metodës Newmark-\(\beta\).

Siç dihet, vlerat e mëposhtme të \(\gamma\) dhe \(\beta\) u korrespondojnë përkatësisht metodës së përshpejtimit linear dhe rregullit trapezoidal.

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{6}\) (metoda e përshpejtimit linear)

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{4}\) (rregulli trapezoidal)

Zëvendësimi i Eq. \(\eqref{eq:2.5.2}\) dhe Eq. \(\eqref{eq:2.5.3}\) në Eq. \(\eqref{eq:2.5.1}\) jep ekuacionin e mëposhtëm.

\[\begin{align} \nonumber \left( \frac{1}{\beta \Delta t^2} \mathbf{M} + \frac{\gamma}{\beta \Delta t} C + K \right) \Delta U ( t + \Delta t ) &= F ( t + \Delta t ) - Q ( t + \Delta t ) \\\ \nonumber &+ \frac{1}{\beta \Delta t} M \dot{U} ( t ) + \frac{1 - 2\beta}{2\beta} M \ddot{U} ( t ) \\\ &+ \frac{\gamma - \beta}{\beta} C \dot{U} (t) + \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2 \beta} C \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.4} \end{align}\]

Në veçanti, për një problem linear, \(K_L\) është matrica lineare e ngurtësisë dhe \(Q ( t + \Delta t ) = K_L U (t + \Delta t)\). Zëvendësimi i kësaj marrëdhënieje në ekuacionin e mësipërm jep ekuacionin e mëposhtëm.

\[\begin{align} \nonumber M \left\lbrace -\frac{1}{\beta \Delta t^2} U(t) -\frac{1}{\beta \Delta t}\dot U(t) - \frac{2\beta}{1-2\beta} \ddot U(t) \right\rbrace &+ C\left\lbrace - \frac{\gamma}{\beta \Delta t} U(t) + \left(1 - \frac{\gamma}{\beta}\right) \dot U(t) + \Delta{t}\frac{ 2\beta-\gamma}{2\beta}\ddot U(t)\right\rbrace \\\ & + \frac{1}{\beta \Delta{t}^2} M + \frac{\gamma}{\beta \Delta{t}} C + K_L U(t+\Delta{t}) = F(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.5} \end{align}\]

Në vendet ku përshpejtimi përcaktohet si kusht kufitar gjeometrik, zhvendosja merret nga Eq. \(\eqref{eq:2.5.2}\) si më poshtë.

\[\begin{equation} u_{is} (t+\Delta{t}) = u_{is} (t) + \Delta t \dot{u}(t) + \Delta t^2 \left(\frac{1}{2} -\beta \right) {\ddot{u}}_{is} (t + \Delta t) \label{eq:2.5.6} \end{equation}\]

Në mënyrë të ngjashme, në vendet ku përcaktohet shpejtësia, zhvendosja merret nga Eq. \(\eqref{eq:2.5.6}\) si më poshtë.

\[\begin{equation} u_{is}(t+\Delta{t})= u_{is}(t)+\Delta t \frac{ \gamma - \beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t) +(\Delta{t})^2 \frac{ \gamma - 2\beta}{ 2\gamma} \ddot{u_{is}}(t) +\Delta t \frac{\beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.7} \end{equation}\]

Këtu, \(u_{is}(t+\Delta{t})\) është zhvendosja nyjore në kohën \(t+\Delta{t}\), dhe \(\dot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) është shpejtësia nyjore në kohën \(t+\Delta{t}\), \(\ddot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) është përshpejtimi nyjor në kohën \(t+\Delta{t}\), \(i\) është numri i shkallës së lirisë së nyjes dhe \(s\) është numri i nyjes. Termat e masës dhe amortizimit trajtohen si më poshtë.

Trajtimi i termit të masës

Në parim, matrica e masës trajtohet si matricë mase e përqendruar.

Trajtimi i termit të amortizimit

Termi i amortizimit trajtohet si amortizim Rayleigh i shprehur nga Eq. \(\eqref{eq:2.5.8}\).

\[\begin{equation} C = R_m M + R_k K_L \label{eq:2.5.8} \end{equation}\]

Këtu, \(R_m\) dhe \(R_k\) janë parametrat e amortizimit Rayleigh.

Vlerat \(R_m\) dhe \(R_k\) të specifikuara në kartën !DYNAMIC zbatohen njëtrajtësisht në të gjithë modelin. Për të caktuar vlera të ndryshme \(R_m\) dhe \(R_k\) për çdo material, specifikoni kartën !DAMPING brenda bllokut !MATERIAL të atij materiali. Për elementet që i përkasin një materiali për të cilin është specifikuar !DAMPING, nga matrica e masës së elementit \(M_i\) dhe matrica tangjente e ngurtësisë \(K_i\), matrica e amortizimit të elementit llogaritet si \(C_i = R_m M_i + R_k K_i\) dhe montohet në matricën globale të amortizimit. Kjo veçori është efektive vetëm për metodën implicite.

Metoda eksplicite (metoda e diferencës qendrore)

Metoda eksplicite bazohet në ekuacionin e lëvizjes në kohën t të treguar më poshtë.

\[\begin{equation} M \ddot{U}(t) + C (t) \dot{U}(t) + Q(t) = F(t) \label{eq:2.5.9} \end{equation}\]

Duke shprehur zhvendosjet në kohët \(t + \Delta t\) dhe \(t - \Delta t\) me zhvillime Taylor rreth kohës \(t\) dhe duke mbajtur termat deri në rendin 2 në \(\Delta t\), merren ekuacionet e mëposhtme.

\[\begin{equation} U(t+\Delta{t}) = U(t)+\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} U(t-\Delta{t})=U(t)-\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.11} \end{equation}\]

Duke marrë diferencën dhe shumën e Eq. \(\eqref{eq:2.5.3}\) dhe Eq. \(\eqref{eq:2.5.4}\), merren ekuacionet e mëposhtme.

\[\begin{equation} \dot{U}(t)=\frac{1}{2\Delta{t}} (U(t+\Delta{t})-U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.12} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}= \frac{1}{(2\Delta{t})^2} (U(t+\Delta{t})-2U(t)+U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.13} \end{equation}\]

Zëvendësimi i Eq. \(\eqref{eq:2.5.12}\) dhe Eq. \(\eqref{eq:2.5.13}\) në Eq. \(\eqref{eq:2.5.9}\) jep ekuacionin e mëposhtëm.

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U ( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} 2 U(t) - U( t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \label{eq:2.5.14} \end{equation}\]

Në veçanti, për një problem linear, \(Q(t) = K_L U(t)\), dhe ekuacioni i mësipërm bëhet

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - K_L U(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U (t - \Delta t) \label{eq:2.5.15} \end{equation}\]

Nëse matrica e masës \(M\) merret si matricë mase e përqendruar dhe matrica e amortizimit si matricë amortizimi proporcional \(C = R_m M\), Eq. \(\eqref{eq:2.5.15}\) nuk kërkon zgjidhjen e ekuacioneve të njëkohshme.

Prandaj, nga Eq. \(\eqref{eq:2.5.15}\), \(U(t+\Delta t)\) mund të merret me ekuacionin e mëposhtëm.

\[\begin{equation} U( t + \Delta t ) \\\ = \frac{1}{( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C )} \{ F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \} \label{eq:2.5.17} \end{equation}\]

Tema të lidhura