Kalo te përmbajtja

Translation update pending

The Albanian translation may be out of date because the Japanese source has changed. The existing translation remains available while it is being updated.

Metodat e analizës dinamike

Ky seksion përshkruan metodat e analizës për problemet dinamike duke përdorur integrimin e drejtpërdrejtë në kohë. Formulimet e metodës implicite dhe eksplicite paraqiten më poshtë.

Diskretizimi i ekuacionit të lëvizjes (korniza e përbashkët)

Për t’u plotësuar (në fazën e ardhshme).

Metoda implicite (metoda Newmark-β)

Për problemet dinamike, zbatohet një metodë e integrimit të drejtpërdrejtë në kohë për të zgjidhur ekuacionin e lëvizjes të treguar më poshtë.

\[\begin{equation} M( t + \Delta t ) \ddot{U} (t + \Delta t) + C( t + \Delta t ) \dot{U}(t + \Delta t) + Q( t + \Delta t ) = F( t + \Delta t ) \label{eq:2.5.1} \end{equation}\]

Këtu, \(M\) është matrica e masës, \(C\) është matrica e amortizimit, \(Q\) është vektori i forcës së brendshme dhe \(F\) është vektori i forcës së jashtme. Supozohet se matrica e masës mbetet konstante pavarësisht deformimit, edhe në analizën jolineare.

Ndryshimet e zhvendosjes, shpejtësisë dhe përshpejtimit gjatë hapit kohor \(\Delta t\) përafrohen duke përdorur metodën Newmark-\(\beta\), siç tregohet në Eq. \(\eqref{eq:2.5.2}\) dhe Eq. \(\eqref{eq:2.5.3}\).

\[\begin{equation} \dot{U}(t + \Delta t) = \frac{\gamma}{\beta \Delta t} \Delta U( t + \Delta t ) - \frac{\gamma - \beta}{\beta} \dot{U}( t ) - \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2\beta} \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}(t + \Delta t) = \frac{1}{\beta \Delta t^2}\Delta U(t + \Delta t) - \frac{1}{\beta \Delta t} \dot{U}(t) - \frac{1 - 2\beta}{2\beta} \ddot {U}(t) \label{eq:2.5.3} \end{equation}\]

Këtu, \(\gamma\) dhe \(\beta\) janë parametrat e metodës Newmark-\(\beta\).

Siç dihet, vlerat e mëposhtme të \(\gamma\) dhe \(\beta\) u korrespondojnë përkatësisht metodës së përshpejtimit linear dhe rregullit trapezoidal.

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{6}\) (metoda e përshpejtimit linear)

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{4}\) (rregulli trapezoidal)

Zëvendësimi i Eq. \(\eqref{eq:2.5.2}\) dhe Eq. \(\eqref{eq:2.5.3}\) në Eq. \(\eqref{eq:2.5.1}\) jep ekuacionin e mëposhtëm.

\[\begin{align} \nonumber \left( \frac{1}{\beta \Delta t^2} \mathbf{M} + \frac{\gamma}{\beta \Delta t} C + K \right) \Delta U ( t + \Delta t ) &= F ( t + \Delta t ) - Q ( t + \Delta t ) \\\ \nonumber &+ \frac{1}{\beta \Delta t} M \dot{U} ( t ) + \frac{1 - 2\beta}{2\beta} M \ddot{U} ( t ) \\\ &+ \frac{\gamma - \beta}{\beta} C \dot{U} (t) + \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2 \beta} C \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.4} \end{align}\]

Në veçanti, për një problem linear, \(K_L\) është matrica lineare e ngurtësisë dhe \(Q ( t + \Delta t ) = K_L U (t + \Delta t)\). Zëvendësimi i kësaj marrëdhënieje në ekuacionin e mësipërm jep ekuacionin e mëposhtëm.

\[\begin{align} \nonumber M \left\lbrace -\frac{1}{\beta \Delta t^2} U(t) -\frac{1}{\beta \Delta t}\dot U(t) - \frac{2\beta}{1-2\beta} \ddot U(t) \right\rbrace &+ C\left\lbrace - \frac{\gamma}{\beta \Delta t} U(t) + \left(1 - \frac{\gamma}{\beta}\right) \dot U(t) + \Delta{t}\frac{ 2\beta-\gamma}{2\beta}\ddot U(t)\right\rbrace \\\ & + \frac{1}{\beta \Delta{t}^2} M + \frac{\gamma}{\beta \Delta{t}} C + K_L U(t+\Delta{t}) = F(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.5} \end{align}\]

Në vendet ku përshpejtimi përcaktohet si kusht kufitar gjeometrik, zhvendosja merret nga Eq. \(\eqref{eq:2.5.2}\) si më poshtë.

\[\begin{equation} u_{is} (t+\Delta{t}) = u_{is} (t) + \Delta t \dot{u}(t) + \Delta t^2 \left(\frac{1}{2} -\beta \right) {\ddot{u}}_{is} (t + \Delta t) \label{eq:2.5.6} \end{equation}\]

Në mënyrë të ngjashme, në vendet ku përcaktohet shpejtësia, zhvendosja merret nga Eq. \(\eqref{eq:2.5.6}\) si më poshtë.

\[\begin{equation} u_{is}(t+\Delta{t})= u_{is}(t)+\Delta t \frac{ \gamma - \beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t) +(\Delta{t})^2 \frac{ \gamma - 2\beta}{ 2\gamma} \ddot{u_{is}}(t) +\Delta t \frac{\beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.7} \end{equation}\]

Këtu, \(u_{is}(t+\Delta{t})\) është zhvendosja nyjore në kohën \(t+\Delta{t}\), dhe \(\dot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) është shpejtësia nyjore në kohën \(t+\Delta{t}\), \(\ddot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) është përshpejtimi nyjor në kohën \(t+\Delta{t}\), \(i\) është numri i shkallës së lirisë së nyjes dhe \(s\) është numri i nyjes. Termat e masës dhe amortizimit trajtohen si më poshtë.

Trajtimi i termit të masës

Në parim, matrica e masës trajtohet si matricë mase e përqendruar.

Trajtimi i termit të amortizimit

Termi i amortizimit trajtohet si amortizim Rayleigh i shprehur nga Eq. \(\eqref{eq:2.5.8}\).

\[\begin{equation} C = R_m M + R_k K_L \label{eq:2.5.8} \end{equation}\]

Këtu, \(R_m\) dhe \(R_k\) janë parametrat e amortizimit Rayleigh.

Vlerat \(R_m\) dhe \(R_k\) të specifikuara në kartën !DYNAMIC zbatohen njëtrajtësisht në të gjithë modelin. Për të caktuar vlera të ndryshme \(R_m\) dhe \(R_k\) për çdo material, specifikoni kartën !DAMPING brenda bllokut !MATERIAL të atij materiali. Për elementet që i përkasin një materiali për të cilin është specifikuar !DAMPING, nga matrica e masës së elementit \(M_i\) dhe matrica tangjente e ngurtësisë \(K_i\), matrica e amortizimit të elementit llogaritet si \(C_i = R_m M_i + R_k K_i\) dhe montohet në matricën globale të amortizimit. Kjo veçori është efektive vetëm për metodën implicite.

Metoda eksplicite (metoda e diferencës qendrore)

Metoda eksplicite bazohet në ekuacionin e lëvizjes në kohën t të treguar më poshtë.

\[\begin{equation} M \ddot{U}(t) + C (t) \dot{U}(t) + Q(t) = F(t) \label{eq:2.5.9} \end{equation}\]

Duke shprehur zhvendosjet në kohët \(t + \Delta t\) dhe \(t - \Delta t\) me zhvillime Taylor rreth kohës \(t\) dhe duke mbajtur termat deri në rendin 2 në \(\Delta t\), merren ekuacionet e mëposhtme.

\[\begin{equation} U(t+\Delta{t}) = U(t)+\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} U(t-\Delta{t})=U(t)-\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.11} \end{equation}\]

Duke marrë diferencën dhe shumën e Eq. \(\eqref{eq:2.5.3}\) dhe Eq. \(\eqref{eq:2.5.4}\), merren ekuacionet e mëposhtme.

\[\begin{equation} \dot{U}(t)=\frac{1}{2\Delta{t}} (U(t+\Delta{t})-U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.12} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}= \frac{1}{(2\Delta{t})^2} (U(t+\Delta{t})-2U(t)+U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.13} \end{equation}\]

Zëvendësimi i Eq. \(\eqref{eq:2.5.12}\) dhe Eq. \(\eqref{eq:2.5.13}\) në Eq. \(\eqref{eq:2.5.9}\) jep ekuacionin e mëposhtëm.

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U ( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} 2 U(t) - U( t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \label{eq:2.5.14} \end{equation}\]

Në veçanti, për një problem linear, \(Q(t) = K_L U(t)\), dhe ekuacioni i mësipërm bëhet

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - K_L U(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U (t - \Delta t) \label{eq:2.5.15} \end{equation}\]

Nëse matrica e masës \(M\) merret si matricë mase e përqendruar dhe matrica e amortizimit si matricë amortizimi proporcional \(C = R_m M\), Eq. \(\eqref{eq:2.5.15}\) nuk kërkon zgjidhjen e ekuacioneve të njëkohshme.

Prandaj, nga Eq. \(\eqref{eq:2.5.15}\), \(U(t+\Delta t)\) mund të merret me ekuacionin e mëposhtëm.

\[\begin{equation} U( t + \Delta t ) \\\ = \frac{1}{( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C )} \{ F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \} \label{eq:2.5.17} \end{equation}\]

Tema të lidhura