Analiza modale¶

Problemi i përgjithësuar i vlerave vetjake¶

Kur analizohet dridhja e lirë e një kontinuumi, kryhet diskretizimi hapësinor dhe sistemi modelohet si një sistem me shumë shkallë lirie me masa të përqendruara, siç paraqitet në Figurën 2.3.1. Për problemin e dridhjes së lirë pa amortizim, ekuacioni qeverisës (ekuacioni i lëvizjes) është si më poshtë.

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = 0 \label{eq:2.3.1} \end{equation}\]

Këtu, $u$ është vektori i zhvendosjes së përgjithësuar, $M$ është matrica e masës dhe $K$ është matrica e ngurtësisë. Le të jetë $\omega$ frekuenca këndore natyrore, $a$ dhe $b$ konstante çfarëdo që nuk janë njëkohësisht zero dhe $x$ një vektor; përcaktojmë funksionin

\[\begin{equation} u(t) = (a \sin \omega t + b \cos \omega t ) x \label{eq:2.3.2} \end{equation}\]

Derivati i dytë i këtij funksioni është

\[\begin{equation} \ddot{u}(t) = -\omega^2 (a \sin \omega t + b \cos \omega t) x \label{eq:2.3.3} \end{equation}\]

Duke zëvendësuar Ekuacionin $\eqref{eq:2.3.2}$ dhe Ekuacionin $\eqref{eq:2.3.3}$ në Ekuacionin $\eqref{eq:2.3.1}$,

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = (a \sin \omega t + b \cos \omega t) (K-\omega^2 M) x = 0 \label{eq:2.3.4} \end{equation}\]

merret shprehja e mëposhtme.

Për një dridhje jotriviale, $a \sin \omega t + b \cos \omega t$ nuk është identikisht zero; prandaj,

\[ (K-\omega^2M)x=0 \]

merret. Duke vendosur $\lambda=\omega^2$,

\[\begin{equation} K x = \lambda M x \label{eq:2.3.5} \end{equation}\]

merret.

Koeficienti $\lambda$ quhet vlerë vetjake dhe vektori $x$ quhet vektor vetjak; problemi i shprehur nga Ekuacioni $\eqref{eq:2.3.5}$ quhet problem i përgjithësuar i vlerave vetjake.

Nga vlera vetjake $\lambda=\omega^2$ merret frekuenca këndore natyrore $\omega$, ndërsa vektori vetjak përkatës $x$ paraqet modën e dridhjes.

Shembull i një sistemi me shumë shkallë lirie për dridhje të lirë pa amortizim

Figura 2.3.1　Shembull i një sistemi me shumë shkallë lirie për dridhje të lirë pa amortizim

Vetitë dhe supozimet e matricave¶

Për problemin e përgjithësuar të vlerave vetjake $Kx=\lambda Mx$ të marrë në pjesën e mëparshme, në këtë manual supozohet simetria e matricave përkatëse. Për matricat komplekse kjo i përgjigjet një matrice hermitiane, ndërsa për matricat reale një matrice simetrike.

Nëse elementi $ij$ i matricës $K$ është $k_{ij}$, vetia hermitiane shprehet si

\[\begin{equation} k_{ij} = \bar{k}_{ji} \label{eq:2.3.6} \end{equation}\]

Këtu, $\bar{k}_{ji}$ është konjugati kompleks i $k_{ji}$. Për matricat reale, kjo marrëdhënie bëhet $k_{ij}=k_{ji}$.

Gjithashtu, një matricë reale simetrike $H$ është pozitivisht e përcaktuar nëse, për çdo vektor jozero $x$,

\[\begin{equation} x^{t} H x > 0 \label{eq:2.3.7} \end{equation}\]

plotësohet kjo pabarazi. Në këtë rast, të gjitha vlerat vetjake të $H$ janë pozitive.

Në problemet strukturore të vlerave vetjake, matrica e masës $M$ zakonisht trajtohet si pozitivisht e përcaktuar. Ndërsa matrica e ngurtësisë $K$, në varësi të kufizimeve, mund të jetë pozitivisht gjysmë e përcaktuar dhe mund të ketë vlera vetjake zero që u përgjigjen modave të trupit të ngurtë.

Iteracioni invers me zhvendosje¶

Në analizën praktike strukturore me metodën e elementeve të fundme, zakonisht nuk nevojiten të gjitha vlerat vetjake; shpesh mjaftojnë vetëm disa vlera vetjake të rendit të ulët. HEC-MW synon probleme në shkallë të gjerë, për të cilat matricat janë të mëdha dhe shumë të rralla, me shumë elemente zero. Prandaj është e rëndësishme të llogariten në mënyrë efikase vlerat vetjake të modave të rendit të ulët duke mbajtur parasysh këto veçori.

Për një zhvendosje $\sigma$, nëse $-\sigma$ nuk është vlerë vetjake dhe $K+\sigma M$ është josingulare, Ekuacioni $\eqref{eq:2.3.5}$ mund të transformohet si më poshtë.

\[\begin{equation} (K + \sigma M)^{-1} M x = \frac{1}{\lambda+\sigma} x \label{eq:2.3.8} \end{equation}\]

Ky transformim e lë të pandryshuar vektorin vetjak $x$ dhe e shndërron vlerën vetjake $\lambda$ në $1/(\lambda+\sigma)$.

Rrjedhimisht, sa më afër $-\sigma$ të jetë $\lambda$, aq më e madhe është vlera absolute e vlerës vetjake të transformuar. Në një problem strukturor të vlerave vetjake, $\lambda \geq 0$ dhe $\sigma \geq 0$; kështu, vlera vetjake më e ulët shndërrohet në vlerën vetjake me vlerën absolute më të madhe. Duke përdorur këtë veti dhe duke zbatuar në Ekuacionin $\eqref{eq:2.3.8}$ një metodë iterative që priret të konvergojë fillimisht te vlerat vetjake me vlerë absolute të madhe, vlerat vetjake të rendit të ulët mund të merren në mënyrë efikase sipas rendit rritës.

Kjo metodë quhet iteracion invers me zhvendosje.

Për analizat me kufizime, FrontISTR vendos $\sigma = 0$, dhe Ekuacioni $\eqref{eq:2.3.8}$ bëhet $K^{-1} M x = \frac{1}{\lambda} x$, pra iteracion invers pa zhvendosje. Në analizën e pakufizuar free-free, $K$ është singulare sepse ka vlera vetjake zero që u përgjigjen modave të trupit të ngurtë; duke i dhënë $\sigma$ një vlerë pozitive, $K+\sigma M$ rregullarizohet. Vlera e $\sigma$ përcaktohet me SIGMA në !EIGEN.

Metoda Lanczos¶

Arsyeja e përzgjedhjes (krahasimi me metodën Jacobi)¶

Metoda Jacobi është një metodë klasike e mirënjohur.

Ajo është efikase kur matrica është e vogël dhe e dendur. Megjithatë, meqenëse matricat e trajtuara nga HEC-MW janë të mëdha dhe të rralla, metoda Jacobi nuk përdoret; në vend të saj përdoret metoda iterative Lanczos.

Algoritmi dhe veçoritë¶

Kjo metodë, e propozuar nga C. Lanczos në vitet 1950, është një algoritëm për tridiagonalizimin e një matrice dhe ka veçoritë e mëposhtme.

Është metodë iterative dhe llogaritja mund të kryhet duke e mbajtur matricën të rrallë.
Veprimet përbëhen kryesisht nga produkte matricë-vektor, prandaj metoda është e përshtatshme për paralelizim.
Është e përshtatshme për dekompozimin gjeometrik të domenit që lidhet me rrjetat e elementeve të fundme.
Llogaritja mund të kryhet në mënyrë efikase duke kufizuar numrin e vlerave vetjake ose intervalin e modave që kërkohen.

Metoda Lanczos nis nga një vektor fillestar, ndërton njëri pas tjetrit vektorë ortogonalë dhe merr një bazë të një nënhapësire Krylov.

Në aritmetikën me saktësi të fundme, gabimet e rrumbullakimit mund të shkaktojnë humbjen e ortogonalitetit të vektorëve. Për ta kufizuar këtë ndikim, implementimi i FrontISTR i riortogonalizon vektorët kundrejt bazës Lanczos të marrë më parë.

Kuptimi gjeometrik (nënhapësira Krylov)¶

Duke zbatuar transformimet e mëposhtme të ndryshoreve në Ekuacionin $\eqref{eq:2.3.8}$,

\[ A = (K + \sigma M)^{-1} M \]

\[\begin{equation} \frac{1}{\lambda+\sigma}= \zeta \label{eq:2.3.9} \end{equation}\]

problemi mund të rishkruhet si

\[\begin{equation} A x = \zeta x \label{eq:2.3.10} \end{equation}\]

dhe merret ekuacioni i mësipërm.

Për një vektor çfarëdo jozero $q_0$,

\[ q_0,\ Aq_0,\ A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0 \]

hapësira e shtrirë nga këta vektorë

\[ \mathcal{K}_m(A,q_0) = \operatorname{span} \{q_0,Aq_0,A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0\} \]

quhet nënhapësirë Krylov.

Metoda Lanczos ndërton në mënyrë të njëpasnjëshme një bazë të kësaj nënhapësire Krylov.

FrontISTR përdor produktin e brendshëm të mëposhtëm të lidhur me matricën e masës $M$

\[ \langle x,y\rangle_M = x^T M y \]

për të ortonormalizuar bazën. Produkti i brendshëm $\langle x,y\rangle$ dhe norma $\|x\|$ të paraqitura në figurat e mëposhtme interpretohen në llogaritjet e FrontISTR përkatësisht si ky produkt i brendshëm $M$ dhe norma përkatëse $M$,

\[ \|x\|_M=\sqrt{x^T M x} \]

respektivisht.

Zbatoni transformimin linear të përcaktuar nga matrica $A$ mbi një vektor çfarëdo $q_0$, siç tregohet në Figurën 2.3.2.

$Transformimi linear i $q_0$ nga matrica $A$$

Figura 2.3.2　Transformimi linear i $q_0$ nga matrica $A$

Vektori i transformuar ortogonalizohet brenda hapësirës së shtrirë prej tij dhe vektorit fillestar. Në mënyrë të veçantë, kryhet ortogonalizimi Gram-Schmidt siç tregohet në Figurën 2.3.3. Vektorin e përftuar e shënojmë me $r_1$; duke e normalizuar merret $q_1$.

$Vektori $q_1$ ortogonal ndaj $q_0$$

Figura 2.3.3　Vektori $q_1$ ortogonal ndaj $q_0$

Me të njëjtën procedurë merret $q_2$ nga $q_1$. Këtu, $q_2$ është ortogonal si ndaj $q_1$, ashtu edhe ndaj $q_0$, siç tregohet në Figurën 2.3.4.

$Vektori $q_2$ ortogonal ndaj $q_1$ dhe $q_0$$

Figura 2.3.4　Vektori $q_2$ ortogonal ndaj $q_1$ dhe $q_0$

Në këtë mënyrë, metoda Lanczos ndërton në mënyrë të njëpasnjëshme një bazë ortonormale të nënhapësirës Krylov. Teorikisht, simetria e problemit të vlerave vetjake lejon që ky iteracion të shprehet si një rekurrencë me tre terma që përdor vektorët më të fundit të bazës.

Megjithatë, për të kufizuar humbjen e ortogonalitetit nga aritmetika me saktësi të fundme, implementimi i FrontISTR i riortogonalizon vektorët kundrejt bazës Lanczos të marrë më parë duke përdorur produktin e brendshëm $M$.

Tridiagonalizimi¶

Në iteracionin Lanczos të FrontISTR, vektorët e bazës ortonormalizohen ndaj produktit të brendshëm $M$ të përshkruar në pjesën e mëparshme; prandaj,

\[ q_i^T M q_j = \delta_{ij} \]

plotësohet kjo marrëdhënie.

Duke përdorur matricën $A$ nga Ekuacioni $\eqref{eq:2.3.10}$, iteracioni teorik Lanczos

\[\begin{equation} A q_i = \beta_i q_{i-1} + \alpha_i q_i + \beta_{i+1} q_{i+1} \label{eq:2.3.11} \end{equation}\]

shprehet si më sipër.

Së pari, $\alpha_i$ përcaktohet si

\[ \alpha_i = q_i^T M A q_i \]

dhe mbetja e përkohshme përcaktohet si

\[ \tilde{r}_{i+1} = Aq_i - \beta_i q_{i-1} - \alpha_i q_i \]

shprehja e mësipërme.

Për të kufizuar humbjen e ortogonalitetit nga aritmetika me saktësi të fundme, implementimi i FrontISTR e riortogonalizon $\tilde{r}_{i+1}$ kundrejt bazës Lanczos të marrë më parë duke përdorur produktin e brendshëm $M$. Nëse $r_{i+1}$ është mbetja pas riortogonalizimit, atëherë

\[\begin{equation} \beta_{i+1} = \sqrt{r_{i+1}^T M r_{i+1}}, \qquad q_{i+1} = \frac{r_{i+1}}{\beta_{i+1}} \label{eq:2.3.12} \end{equation}\]

plotësohen marrëdhëniet e mëposhtme.

Mblidhni $m$ vektorët e bazës të marrë nga iteracioni Lanczos në

\[ Q_m=[q_0,q_1,\ldots,q_{m-1}] \]

Pas një numri të fundëm iteracionesh Lanczos,

\[\begin{equation} A Q_m = Q_m T_m + \beta_m q_m e_m^T \label{eq:2.3.13} \end{equation}\]

plotësohet marrëdhënia e mëposhtme.

Këtu, $e_m$ është vektori njësi me dimension $m$, komponenti i $m$-të i të cilit është 1 dhe komponentët e tjerë janë zero, dhe

\[\begin{equation} T_m= \begin{pmatrix} \alpha_0 & \beta_1 & & &\\ \beta_1 & \alpha_1 & \beta_2 & &\\ & \ddots & \ddots & \ddots &\\ & & \beta_{m-2} & \alpha_{m-2}& \beta_{m-1}\\ & & & \beta_{m-1} & \alpha_{m-1} \end{pmatrix} \label{eq:2.3.14} \end{equation}\]

është matricë simetrike tridiagonale.

Kështu, vlerat vetjake të problemit fillestar të vlerave vetjake në shkallë të gjerë mund të përafrohen duke llogaritur vlerat vetjake të matricës tridiagonale $T_m$.

Tema të lidhura¶

Analiza e përgjigjes në frekuencë — përgjigjja në frekuencë që përdor rezultatet e analizës modale
Llojet e analizës — përmbledhje funksionale e analizës modale