Kalo te përmbajtja

Analiza kalimtare e përçimit të nxehtësisë

Paraqiten diskretizimi kohor dhe metoda iterative e zgjidhjes për analizën e përçimit të nxehtësisë në trupa të ngurtë me metodën e elementeve të fundme. Për ekuacionet qeverisëse dhe kushtet kufitare në vazhdimësi, shih Ekuacioni i përçimit të nxehtësisë.

Ekuacioni i diskretizuar (pika e nisjes)

Kur ekuacioni i përçimit të nxehtësisë (ekuacioni i përçimit të nxehtësisë (gov_he_main)) diskretizohet me metodën Galerkin,

\[\begin{equation} K T + M \frac{\partial T}{\partial t} = F \label{eq:2.4.8} \end{equation}\]

ku

\[\begin{equation} K = \int\left( k_x \frac{\partial N^T}{\partial x}\frac{\partial N}{\partial x} + k_y \frac{\partial N^T}{\partial y}\frac{\partial N}{\partial y} + k_z \frac{\partial N^T}{\partial z}\frac{\partial N}{\partial z} \right) dV + \int hc N^T N ds + \int hr N^T N ds \label{eq:2.4.9} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M = \int \rho c N^T N dV \label{eq:2.4.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} F = \int Q N^T dV - \int q_s N^T dS + \int{hc} T c N^T dS + \int{hcTr} ({T+Tr}) ({T^2 + T r^2}) N^T dS \label{eq:2.4.11} \end{equation}\]
\[\begin{equation} N = (N^1, N^2, \ldots, Ni) \label{eq:2.4.12} \end{equation}\]

Këtu, \(K\), \(M\), \(F\), \(N\) janë përkatësisht matrica e përçimit të nxehtësisë (duke përfshirë termat e konveksionit dhe rrezatimit nga kontributet kufitare), matrica e masës, vektori i ngarkesës termike dhe matrica e funksioneve të formës. Përkufizimet e simboleve të vetive të materialit (\(\rho\), \(c\), \(k_x, k_y, k_z\), \(Q\), \(hc\), \(hr\), etj.) ndjekin Ekuacionin e përçimit të nxehtësisë.

Diskretizimi kohor dhe metoda iterative e zgjidhjes

Ekuacioni \(\eqref{eq:2.4.8}\) është jolinear dhe kalimtar. Duke e diskretizuar tani në kohë me metodën Euler prapa, kur temperatura në kohën \(t=t_0\) dihet, temperatura në kohën \(t=t_0+\Delta t\) llogaritet me ekuacionin vijues.

\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} + M_{t=t_0+\Delta t} \frac{T_{t=t_0+\Delta t} - T_{t=t_0}}{\Delta t} = F_{t=t_0+\Delta t} \label{eq:2.4.13} \end{equation}\]

Le të përmirësojmë vektorin e temperaturës \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\), i cili plotëson në mënyrë të përafërt ekuacionin \(\eqref{eq:2.4.13}\), për të marrë zgjidhjen me saktësi më të lartë \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)+1}\).

Për këtë qëllim, fillimisht vektori i temperaturës shprehet si më poshtë.

\[\begin{equation} T_{t=t_0+\Delta t}= T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.14} \end{equation}\]

Produkti i matricës së përçimit të nxehtësisë me vektorin e temperaturës, matrica e masës, etj., shprehen në mënyrë të përafërt me ekuacionet vijuese.

\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} = K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big) } {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.15} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M_{t=t_0+\Delta t} = M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.16} \end{equation}\]

Duke zëvendësuar ekuacionet \(\eqref{eq:2.4.14}\), \(\eqref{eq:2.4.15}\) dhe \(\eqref{eq:2.4.16}\) në ekuacionin \(\eqref{eq:2.4.13}\) dhe duke neglizhuar termat e rendit të dytë e më lart, merret ekuacioni vijues.

\[\begin{equation} \bigg(\frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac {\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } { \partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big)} {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \bigg) \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \\\ = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.17} \end{equation}\]

Më tej, matrica e koeficientëve në anën e majtë vlerësohet në mënyrë të përafërt me ekuacionin vijues.

\[\begin{equation} K^{(i)} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac{\partial \big( K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \big)}{\partial T^{(i)}_{t=t_0+\Delta t}} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)} \label{eq:2.4.18} \end{equation}\]

Këtu, \(K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)}\) është matrica tangjente e ngurtësisë.

Përfundimisht, temperatura në kohën \(t=t_0+\Delta t\) mund të llogaritet duke kryer llogaritjen iterative me ekuacionin vijues.

\[\begin{equation} K^{(i)} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.19} \end{equation}\]

Veçanërisht në analizën stacionare, llogaritja iterative kryhet me ekuacionin vijues.

\[ K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} = F_{t=\infty} - K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} \]
\[\begin{equation} T_{t=\infty}^{(i+1)} = T_{t=\infty}^{(i)} + \Delta{T}_{t=\infty}^{(i)} \label{eq:2.4.20} \end{equation}\]

Në analizën kalimtare, zgjedhja e inkrementit kohor \(\Delta t\) në përgjithësi nuk kufizohet në madhësi, sepse për diskretizimin në kohë përdoret një metodë implicite. Megjithatë, nëse inkrementi kohor \(\Delta t\) është tepër i madh, numri i iteracioneve të nevojshme për konvergjencë rritet. Në përgjithësi, nëse inkrementi kohor \(\Delta t\) është tepër i madh, numri i iteracioneve rritet. Në implementim monitorohet madhësia e vektorit të mbetjes; nëse konvergjenca është e ngadaltë, \(\Delta t\) zvogëlohet, ndërsa nëse numri i iteracioneve është i vogël, \(\Delta t\) zmadhohet me kontroll automatik të inkrementit (→ për hollësi shih Kontrolli i hapit).

Tema të lidhura