Kalo te përmbajtja

Verifikimi me model me formë të thjeshtë

Analiza statike elastike

Ky verifikim përdor një tra të konsoluar të rrjetëzuar siç paraqitet në Figurën 9.1.1. Analizat u kryen për shtatë raste, nga exA deri në exG, duke ndryshuar kushtet e ngarkimit siç paraqiten në Figurën 9.1.2. Rasti exG ka të njëjtat kushte ngarkimi si exA, por përdor një zgjidhës direkt.

Rezultati i verifikimit për çdo kusht ngarkimi paraqitet në Tabelat 9.1.1–9.1.7.

Shembull i rrjetës së trarit të konsoluar (elemente heksaedrike) Fig. 9.1.1 Shembull i rrjetës së trarit të konsoluar (elemente heksahedrike)
(a) exA, G: Ngarkesë e përqendruar
(b) exD: Gravitet
(c) exB: Ngarkesë e shpërndarë në sipërfaqe
(d) exE: Forcë centrifugale
(e) exC: Ngarkesë vëllimore
(f) exF : Ngarkesë termike
Zëri Vlera
Moduli i Young-ut \(E = 4000.0\ \mathrm{kgf/mm^2}\)
Gjatësia \(L = 10.0\ \mathrm{mm}\)
Raporti i Poisson-it \(\nu = 0.3\)
Sipërfaqja e seksionit \(A = 1.0\ \mathrm{mm^2}\)
Dendësia e masës \(\rho = 8.0102 \times 10^{-10}\ \mathrm{kgf}\;\mathrm{s}^2/\mathrm{mm}^4\)
Momenti i dytë i sipërfaqes \(I = 1.0/12.0\ \mathrm{mm^4}\)
Përshpejtimi gravitacional \(g = 9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\)
Koeficienti linear i zgjerimit termik \(\alpha = 1.0 \times 10^{-5}\)

Tabela 9.1.2 Kushtet e verifikimit për modelin e trarit të konsoluar

Tabela 9.1.1: exA: Rezultatet e verifikimit të problemit me ngarkesë të përqendruar

Emri i rastit Numri i elementeve Vlera e parashikuar : \(\delta_{max}= -1.000\) Shënime
NASTRAN Komercial FrontISTR
A231 40 -0.338 -0.371 -0.371 33 nyje / problem i sforcimit plan
A232 40 -0.942 -1.002 -1.002 105 nyje / problem i sforcimit plan
A241 20 -0.720 -0.711 -0.711 33 nyje / problem i sforcimit plan
A242 20 -0.910 -1.002 -1.002 85 nyje / problem i sforcimit plan
A341 240 -0.384 -0.384 -0.386 99 nyje
A342 240 -0.990 -0.990 -0.999 525 nyje
A351 80 -0.353 -0.355 -0.351 99 nyje
A352 80 -0.993 -0.993 -0.992 381 nyje
A361 40 -0.954 -0.985 -0.984 99 nyje
A362 40 -0.994 -0.993 -0.993 220 nyje
A731 40 - - -0.991 33 nyje / metodë direkte
A741 20 - - -0.996 33 nyje / metodë direkte

Tabela 9.1.2: exB: Rezultatet e verifikimit të problemit me ngarkesë të shpërndarë në sipërfaqe

Emri i rastit Numri i elementeve Vlera e parashikuar : \(\delta_{max}= -3.750\) Shënime
NASTRAN Komercial FrontISTR
B231 40 -1.281 -1.403 -1.403 33 nyje / problem i sforcimit plan
B232 40 -3.579 -3.763 -3.763 105 nyje / problem i sforcimit plan
B241 20 -3.198 -2.680 -2.680 33 nyje / problem i sforcimit plan
B242 20 -3.426 -3.765 -3.765 85 nyje / problem i sforcimit plan
B341 240 -1.088 -1.449 -1.454 99 nyje
B342 240 -3.704 -3.704 -3.748 525 nyje
B351 80 -3.547 -1.338 -1.325 99 nyje
B352 80 -0.3717 -3.716 -3.713 381 nyje
B361 40 -3.557 -3.691 -3.688 99 nyje
B362 40 -3.726 -3.717 -3.717 220 nyje
B731 40 - - -3.722 33 nyje / metodë direkte
B741 20 - - -3.743 33 nyje / metodë direkte

Tabela 9.1.3: exC: Rezultatet e verifikimit të problemit me ngarkesë vëllimore

Emri i rastit Numri i elementeve Vlera e parashikuar : \(\delta_{max} = -2.944 \times 10^{-5}\) Shënime
NASTRAN Komercial FrontISTR
C231 40 - -1.101e-5 -1.101e-5 33 nyje / problem i sforcimit plan
C232 40 - -2.951e-5 -2.951e-5 105 nyje / problem i sforcimit plan
C241 20 - -2.102e-5 -2.102e-5 33 nyje / problem i sforcimit plan
C242 20 - -2.953e-5 -2.953e-5 85 nyje / problem i sforcimit plan
C341 240 - -1.136e-5 -1.140e-5 99 nyje
C342 240 - -2.905e-5 -2.937e-5 525 nyje
C351 80 - -1.050e-5 -1.039e-5 99 nyje
C352 80 - -2.914e-5 -2.911e-5 381 nyje
C361 40 - -2.895e-5 -2.893e-5 99 nyje
C362 40 - -2.915e-5 -2.915e-5 220 nyje
C731 40 - - -2.922e-5 33 nyje / metodë direkte
C741 20 - - -2.938e-5 33 nyje / metodë direkte

Tabela 9.1.4: exD: Rezultatet e verifikimit të problemit të gravitetit

Emri i rastit Numri i elementeve Vlera e parashikuar : \(\delta_{max} = -2.944 \times 10^{-5}\) Shënime
NASTRAN Komercial FrontISTR
D231 40 -1.101e-5 -1.101e-5 -1.101e-5 33 nyje / problem i sforcimit plan
D232 40 -2.805e-5 -2.951e-5 -2.951e-5 105 nyje / problem i sforcimit plan
D241 20 -2.508e-5 -2.102e-5 -2.102e-5 33 nyje / problem i sforcimit plan
D242 20 -2.684e-5 -2.953e-5 -2.953e-5 85 nyje / problem i sforcimit plan
D341 240 -1.172e-5 -1.136e-5 -1.140e-5 99 nyje
D342 240 -2.906e-5 -2.905e-5 -2.937e-5 525 nyje
D351 80 -1.046e-5 -1.050e-5 -1.039e-5 99 nyje
D352 80 -2.917e-5 -2.914e-5 -2.911e-5 381 nyje
D361 40 -2.800e-5 -2.895e-5 -2.893e-5 99 nyje
D362 40 -2.919e-5 -2.915e-5 -2.915e-5 220 nyje
D731 40 - - -2.922e-5 33 nyje / metodë direkte
D741 20 - - -2.938e-5 33 nyje / metodë direkte

Tabela 9.1.5: exE: Rezultatet e verifikimit të problemit të forcës centrifugale

Emri i rastit Numri i elementeve Vlera e parashikuar : \(\delta_{max} = 2.635 \times 10^{-3}\) Shënime
NASTRAN Komercial FrontISTR
E231 40 2.410e-3 2.616e-3 2.650e-3 33 nyje / problem i sforcimit plan
E232 40 2.447e-3 2.627e-3 2.628e-3 105 nyje / problem i sforcimit plan
E241 20 2.386e-3 2.622e-3 2.624e-3 33 nyje / problem i sforcimit plan
E242 20 2.387e-3 2.627e-3 2.629e-3 85 nyje / problem i sforcimit plan
E341 240 2.708e-3 2.579e-3 2.625e-3 99 nyje
E342 240 2.639e-3 2.614e-3 2.638e-3 525 nyje
E351 80 2.642e-3 2.598e-3 2.625e-3 99 nyje
E352 80 2.664e-3 2.617e-3 2.616e-3 381 nyje
E361 40 2.611e-3 2.603e-3 2.603e-3 99 nyje
E362 40 2.623e-3 2.616e-3 2.616e-3 220 nyje
E731 40 - - 2.619e-3 33 nyje / metodë direkte
E741 20 - - 2.622e-3 33 nyje / metodë direkte

Tabela 9.1.6: exF: Rezultatet e verifikimit të problemit të ngarkesës nga sforcimi termik

Emri i rastit Numri i elementeve Vlera e parashikuar : \(\delta_{max} = 1.000 \times 10^{-2}\) Shënime
NASTRAN Komercial FrontISTR
F231 40 - 1.016e-2 1.007e-2 33 nyje / problem i sforcimit plan
F232 40 - 1.007e-2 1.007e-2 105 nyje / problem i sforcimit plan
F241 20 - 1.010e-2 1.010e-2 33 nyje / problem i sforcimit plan
F242 20 - 1.006e-2 1.006e-2 85 nyje / problem i sforcimit plan
F341 240 - 1.047e-2 1.083e-2 99 nyje
F342 240 - 1.018e-2 1.022e-2 525 nyje
F351 80 - 1.031e-2 1.062e-2 99 nyje
F352 80 - 1.015e-2 1.017e-2 381 nyje
F361 40 - 1.026e-2 1.026e-2 99 nyje
F362 40 - 1.016e-2 1.016e-2 220 nyje

Tabela 9.1.7: exG: Rezultatet e verifikimit të metodës direkte (problem me ngarkesë të përqendruar)

Emri i rastit Numri i elementeve Vlera e parashikuar: δmax= -1.000 Shënime
NASTRAN Komercial FrontISTR
G231 40 -0.338 -0.371 -0.371 33 nyje / problem i sforcimit plan
G232 40 -0.942 -1.002 -1.002 105 nyje / problem i sforcimit plan
G241 20 -0.720 -0.711 -0.711 33 nyje / problem i sforcimit plan
G242 20 -0.910 -1.002 -1.002 85 nyje / problem i sforcimit plan
G341 240 -0.384 -0.384 -0.386 99 nyje
G342 240 -0.990 -0.990 -0.999 525 nyje
G351 80 -0.353 -0.355 -0.351 99 nyje
G352 80 -0.993 -0.993 -0.992 381 nyje
G361 40 -0.954 -0.985 -0.984 99 nyje
G362 40 -0.994 -0.993 -0.993 220 nyje
G731 40 - - -0.991 33 nyje / metodë direkte
G741 20 - - -0.996 33 nyje / metodë direkte

Analiza statike jolineare

(2-1) exnl1: Analiza e jolinearitetit gjeometrik

Modeli i verifikimit për rastin exI është identik me modelet për rastet exA deri në exG. Figura 9.1.3 paraqet një skemë të modelit të verifikimit. Në këtë model kryhet një analizë jolineare gjeometrike. Rezultatet e verifikimit paraqiten në Tabelën 9.1.8.

Llogaritja jolineare përdor një ngarkesë reference \(P = 1.0\ \mathrm{kgf}\), me një rritje prej \(0.1P\) në 10 hapa ngarkese.

Modeli i verifikimit Fig. 9.1.3 Modeli i verifikimit

Tabela 9.1.8 exI: Rezultatet e verifikimit (historia e devijimit maksimal)

Emri i rastit 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 Zgjidhja lineare
I231 - - - - - - - - - - -
I232 - - - - - - - - - - -
I241 - - - - - - - - - - -
I242 - - - - - - - - - - -
I341 0.039 0.077 0.116 0.154 0.193 0.232 0.270 0.309 0.348 0.386 0.386
I342 0.099 0.200 0.300 0.400 0.499 0.599 0.698 0.797 0.896 0.995 0.999
I351 0.035 0.070 0.105 0.141 0.176 0.211 0.246 0.281 0.316 0.351 0.351
I352 0.099 0.198 0.298 0.397 0.496 0.595 0.693 0.792 0.890 0.987 0.992
I361 0.070 0.139 0.209 0.278 0.348 0.417 0.487 0.556 0.625 0.694 0.984
I362 0.099 0.197 0.298 0.397 0.496 0.595 0.694 0.793 0.891 0.988 0.993

(2-2) exnl2: Analiza e deformimit elastoplastik

Ky problem verifikimi bazohet në National Agency for Finite Element Methods and Standards (U.K.): Test NL1 nga NAFEMS, dhe kryen analizë të deformimit elastoplastik duke përfshirë jolinearitetin gjeometrik dhe disa ligje forcimi. Figura 9.1.4 paraqet modelin e analizës.

Modeli i analizës së deformimit elastoplastik

Fig. 9.1.4 Modeli i analizës së deformimit elastoplastik

(1) Kushtet e verifikimit

Zëri Vlera
Materiali Material elastoplastik Mises
Moduli i Young-ut \(E = 250\ \mathrm{GPa}\)
Raporti i Poisson-it \(\nu=0.25\)
Sforcimi fillestar i rrjedhjes \(5\ \mathrm{MPa}\)
Deformimi fillestar i rrjedhjes \(0.25\times10^{-4}\)
Koeficienti i forcimit izotrop \(H_i = 0\) ose \(62.5\ \mathrm{GPa}\)

(2) Kushtet kufitare

Zëri Kushti kufitar Vlera
Hapi 1 Zhvendosje e imponuar në nyjet 2 dhe 3 \(u_x = 0.2500031251 * 10^{-4}\)
Hapi 2 Zhvendosje e imponuar në nyjet 2 dhe 3 \(u_x = 0.25000937518 * 10^{-4}\)
Hapi 3 Zhvendosje e imponuar në nyjet 3 dhe 4 \(u_y = 0.2500031251 * 10^{-4}\)
Hapi 4 Zhvendosje e imponuar në nyjet 3 dhe 4 \(u_y = 0.25000937518 * 10^{-4}\)
Hapi 5 Zhvendosje e imponuar në nyjet 2 dhe 3 \(u_x = -0.25000937518 * 10^{-4}\)
Hapi 6 Zhvendosje e imponuar në nyjet 2 dhe 3 \(u_x = -0.2500031251 * 10^{-4}\)
Hapi 7 Zhvendosje e imponuar në nyjet 3 dhe 4 \(u_y = -0.25000937518 * 10^{-4}\)
Hapi 8 Zhvendosje e imponuar në nyjet 3 dhe 4 \(u_y = -0.2500031251 * 10^{-4}\)

Të gjitha nyjet që nuk renditen këtu janë plotësisht të fiksuara. Zgjidhja teorike për këtë problem është si më poshtë.

Deformimi (\(\times10^{-4}\))
[\(\varepsilon_x\), \(\varepsilon_y\), \(\varepsilon_z\)]		 Sforcimi ekuivalent (MPa)
[\(H_i=0\ H_k=0\); \(H_i=62.5\ H_k=0\)]
0.25, 0, 0 5.0; 5.0
0.50, 0, 0 5.0; 5.862
0.50, 0.25, 0 5.0; 5.482
0.50, 0.50, 0 5.0; 6.362
0.25, 0.50, 0 5.0; 6.640
0, 0.50, 0 5.0; 7.322
0, 0.25, 0 3.917; 4.230
0, 0, 0 5.0; 5.673

Për krahasim, rezultatet e llogaritjes janë si më poshtë.

Deformimi (\(\times10^{-4}\))
[\(\varepsilon_x\), \(\varepsilon_y\), \(\varepsilon_z\)]		 Sforcimi ekuivalent (MPa)
[\(H_i=0\ H_k=0\); \(H_i=62.5\ H_k=0\)]
\(\varepsilon_{x}\) \(\varepsilon_{y}\)
0.25, 0, 0 5.0 (0.0%); 5.0 (0.0%)
0.50, 0, 0 5.0 (0.0%); 5.862 (0.0%)
0.50, 0.25, 0 5.0 (0.0%); 5.482 (0.0%)
0.50, 0.50, 0 5.0 (0.0%); 6.362 (-0.05%)
0.25, 0.50, 0 5.0 (0.0%); 6.640 (-0.21%)
0, 0.50, 0 5.0 (0.0%); 7.322 (-0.34%)
0, 0.25, 0 3.824 (-2.4%); 4.230 (-2.70%)
0, 0, 0 5.0 (0.0%); 5.673 (5.673 (-2.50%)

Analiza e kontaktit (1)

Ky problem verifikimi bazohet në problemin CGS-4 të provës së kontaktit të National Agency for Finite Element Methods and Standards (U.K.), dhe teston aftësinë e kontaktit me rrëshqitje të fundme dhe fërkim. Figura 9.1.5 paraqet modelin e analizës.

Modeli i analizës së kontaktit

Fig. 9.1.5 Modeli i analizës së kontaktit

Kushti i ekuilibrit për këtë problem është si më poshtë.

\[ F \cos \alpha - G \sin \alpha = \pm f_{c} \]

Në fazën e fërkimit pa rrëshqitje, forca e fërkimit është

\[ f_{c} = E_t \Delta u \]

dhe në fazën e fërkimit me rrëshqitje është

\[ f_{c} = \mu(G \cos \alpha + F \sin \alpha) \]

.

Krahasimi ndërmjet rezultateve të llogaritjes dhe zgjidhjes analitike është si më poshtë.

\(\mu\) Zgjidhja analitike \(F/G\) Rezultatet e llogaritjes \(F/G\)
0.0 0.1 0.1
0.1 0.202 0.202
0.2 0.306 0.306
0.3 0.412 0.412

Analiza e kontaktit (2): Problemi i kontaktit Hertz

Ky verifikim analizon problemin e kontaktit Hertz ndërmjet një cilindri pafundësisht të gjatë dhe një plani të pafund. Rrezja e cilindrit është \(R = 8\ \mathrm{mm}\), ndërsa moduli i Young-ut \(E\) dhe raporti i Poisson-it \(\mu\) i trupit të deformueshëm janë përkatësisht \(1100\ \mathrm{MPa}\) dhe \(0.0\). Supozohet se sipërfaqja e kontaktit është mjaft e vogël krahasuar me rrezen e cilindrit dhe, duke marrë parasysh simetrinë e problemit, analizohet një model çerek-cilindri.

Modeli i analizës për problemin e kontaktit Hertz Fig. 9.1.6 Modeli i analizës për problemin e kontaktit Hertz

(1) Rezultatet e verifikimit të rrezes së kontaktit

Formula teorike për llogaritjen e rrezes së kontaktit është si më poshtë:

\[ a = \sqrt{\frac{4FR}{\pi E^{*}}} \]

ku

\[ E^{*} = E/2(1 - \mu^{2}) \]

. Në kushtet aktuale të llogaritjes, kur presioni është \(F=100\), rrezja e kontaktit është \(a=1.36\).

Figura 9.1.7 paraqet forcat nyjore ekuivalente në pikat e kontaktit. Rrezja e kontaktit merret duke ekstrapoluar këtë shpërndarje të forcës nyjore.

Shpërndarja e forcës ekuivalente nyjore në pikat e kontaktit

Fig. 9.1.7 Shpërndarja e forcës nyjore ekuivalente në pikat e kontaktit

(2) Rezultatet e verifikimit për sforcimin maksimal të prerjes

Në zgjidhjen teorike, në pozicionin e kontaktit

\[ z = 0.78a \]

sforcimi maksimal i prerjes është

\[ \tau_{\max} = 0.30\sqrt{\frac{\text{FE}^{*}}{\pi R}} \]

. Në kushtet aktuale të llogaritjes,

\[ \tau_{\max} = 14.2 \]

. Për krahasim, llogaritja jep

\[ \tau_{\max} = 15.6 \]

.

Shpërndarja e sforcimit prerës (vlera maksimale = 15.6) Fig. 9.1.8 Shpërndarja e sforcimit prerës (vlera maksimale = 15.6)

(3) Analiza modale

Modelet e verifikimit për rastet exJ dhe exK janë identike me modelet për rastet exA deri në exG. Figura 9.1.9 paraqet një skemë të modelit të verifikimit. Në këtë model kryhet analizë modale. Llogariten tri frekuencat e para natyrore. Rasti exJ përdor një zgjidhës iterativ, ndërsa rasti exK përdor një zgjidhës direkt. Rezultatet e verifikimit paraqiten në Tabelat 9.1.9 deri 9.1.12.

Modeli i verifikimit Fig. 9.1.9 Modeli i verifikimit

Frekuencat natyrore të trarit të konsoluar merren nga ekuacionet e mëposhtme.

Frekuenca e parë natyrore

\[ n_1 = \frac{1.875^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } \]

Frekuenca e dytë natyrore

\[ n_2 = \frac{4.694^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } \]

Frekuenca e tretë natyrore

\[ n_3 = \frac{7.855^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } \]

Vlerat e vetive të modelit të verifikimit janë

Zëri Vlera
\(I\) \(1.0/12.0\ \mathrm{mm}^4\)
\(E\) \(4000.0\ \mathrm{kgf/mm^2}\)
\(l\) \(10.0\ \mathrm{mm}\)
\(\omega\) \(7.85 \times 10^{-6}\ \mathrm{kgf/mm^3}\)
\(g\) \(9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\)

Prandaj, tri frekuencat e para natyrore janë si më poshtë:

Numri i modës Vlera
\(n_1\) 3.609e3
\(n_2\) 2.262e4
\(n_3\) 6.335e4

Tabela 9.1.9: exJ: Rezultatet e verifikimit të metodës iterative për frekuencën e parë natyrore

Emri i rastit Numri i elementeve Vlera e parashikuar : n1=3.609e3 Shënime
NASTRAN FrontISTR
J231 40 5.861e3 5.861e3 33 nyje / problem i sforcimit plan
J232 40 3.596e3 3.593e3 105 nyje / problem i sforcimit plan
J241 20 3.586e3 4.245e3 33 nyje / problem i sforcimit plan
J242 20 3.590e3 3.587e3 85 nyje / problem i sforcimit plan
J341 240 5.442e3 5.429e3 99 nyje
J342 240 3.621e3 3.595e3 525 nyje
J351 80 3.695e3 4.298e3 99 nyje
J352 80 3.610e3 3.609e3 381 nyje
J361 40 3.679e3 3.619e3 99 nyje
J362 40 3.611e3 3.606e3 220 nyje

Tabela 9.1.10: exJ: Rezultatet e verifikimit të metodës iterative për frekuencën e dytë natyrore

Emri i rastit Numri i elementeve Vlera e parashikuar : n2=2.262e4 Shënime
NASTRAN FrontISTR
J231 40 3.350e4 3.351e4 33 nyje / problem i sforcimit plan
J232 40 2.163e4 2.156e4 105 nyje / problem i sforcimit plan
J241 20 2.149e4 2.516e4 33 nyje / problem i sforcimit plan
J242 20 2.149e4 2.143e4 85 nyje / problem i sforcimit plan
J341 240 3.145e4 3.138e4 99 nyje
J342 240 2.171e4 2.155e4 525 nyje
J351 80 2.208e4 2.546e4 99 nyje
J352 80 2.156e4 2.149e4 381 nyje
J361 40 2.202e4 2.168e4 99 nyje
J362 40 2.154e4 2.144e4 220 nyje

Shënim: Në modelet tredimensionale, dy modat e para janë të degjeneruara. Prandaj, frekuenca e tretë natyrore e llogaritur paraqitet në tabelë si frekuenca e dytë natyrore.

Tabela 9.1.11: exK: Rezultatet e verifikimit të metodës direkte për frekuencën e parë natyrore

Emri i rastit Numri i elementeve Vlera e parashikuar : n1=3.609e3 Shënime
NASTRAN FrontISTR
J231 40 5.861e3 5.861e3 33 nyje / problem i sforcimit plan
J232 40 3.596e3 3.593e3 105 nyje / problem i sforcimit plan
J241 20 3.586e3 4.245e3 33 nyje / problem i sforcimit plan
J242 20 3.590e3 3.587e3 85 nyje / problem i sforcimit plan
J341 240 5.442e3 5.429e3 99 nyje
J342 240 3.621e3 3.595e3 525 nyje
J351 80 3.695e3 4.298e3 99 nyje
J352 80 3.610e3 3.609e3 381 nyje
J361 40 3.679e3 3.619e3 99 nyje
J362 40 3.611e3 3.606e3 220 nyje
J731 40 - 3.606e3 220 nyje
J741 20 - 3.594e3 220 nyje

Tabela 9.1.12: exK: Rezultatet e verifikimit të metodës direkte për frekuencën e dytë natyrore

Emri i rastit Numri i elementeve Vlera e parashikuar : n2=2.262e4 Shënime
NASTRAN FrontISTR
J231 40 3.350e4 3.351e4 33 nyje / problem i sforcimit plan
J232 40 2.163e4 2.156e4 105 nyje / problem i sforcimit plan
J241 20 2.149e4 2.516e4 33 nyje / problem i sforcimit plan
J242 20 2.149e4 2.143e4 85 nyje / problem i sforcimit plan
J341 240 3.145e4 3.138e4 99 nyje
J342 240 2.171e4 2.155e4 525 nyje
J351 80 2.208e4 2.546e4 99 nyje
J352 80 2.156e4 2.149e4 381 nyje
J361 40 2.202e4 2.168e4 99 nyje
J362 40 2.154e4 2.144e4 220 nyje
J731 40 - 2.156e4 220 nyje
J741 20 - 2.153e4 220 nyje

Shënim: Në modelet tredimensionale, dy modat e para janë të degjeneruara. Prandaj, frekuenca e tretë natyrore e llogaritur paraqitet në tabelë si frekuenca e dytë natyrore.

(4) Analiza e përçimit të nxehtësisë

Kushtet e përbashkëta për analizat e përçimit të nxehtësisë në gjendje të qëndrueshme paraqiten në Figurën 9.1.10. Kushtet individuale për rastet e verifikimit exM deri exT paraqiten në Figurën 9.1.11. Ndarja e rrjetës është e njëjtë me atë të përdorur për exA.

Rezultatet e verifikimit (tabela e shpërndarjes së temperaturës) për çdo rast paraqiten në Tabelat 9.1.13–9.1.20.

Analiza e përçimit të nxehtësisë
Gjatësia ndërmjet A dhe B \(L = 10.0\ \mathrm{m}\)
Sipërfaqja e seksionit tërthor \(A = 1.0\ \mathrm{mm^2}\)

Varësia nga temperatura e përçueshmërisë termike

Përçueshmëria termike \(\lambda\) (W/(m·K)) Temperatura (°C)
50.0 0.0
35.0 500.0
20.0 1000.0

Fig. 9.1.10: Kushtet e verifikimit të analizës së përçimit të nxehtësisë në gjendje të qëndrueshme
exM: Material linear
exN: Problem me temperaturë të përcaktuar
exO: Problem me fluks nxehtësie të përqendruar
exP: Problem me fluks nxehtësie të shpërndarë
exQ: Problem i transferimit konvektiv të nxehtësisë
exR: Problem i transferimit të nxehtësisë me rrezatim
exS: Problem i gjenerimit vëllimor të nxehtësisë
exT: Problem i hapësirës së brendshme

Fig. 9.1.11: Kushtet e analizës për çdo rast verifikimi

Tabela 9.1.13: Rezultatet e verifikimit të exM (llogaritja në gjendje të qëndrueshme e materialit linear)

Emri i rastit Lloji i elementit Elemente/nyje Largësia nga skaji A (m)
Skaji A 2.0 4.0 6.0 8,0 Skaji B
M361A 361 40／33 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361B 361 40／105 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361C 361 20／33 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361D 361 20／85 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361E 361 240／99 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361F 361 24／525 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361G 361 80／99 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0

Tabela 9.1.14: Rezultatet e verifikimit të exN (problem me temperaturë të përcaktuar)

Emri i rastit Lloji i elementit Elemente/nyje Largësia nga skaji A (m)
Skaji A 2.0 4.0 6.0 8,0 Skaji B
Komercial 361 40／99 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N231 231 40／33 0.0 87.2 179.5 278.0 384.1 500.0
N232 232 40／105 0.0 86.0 178.3 276.8 382.9 500.0
N241 241 20／33 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N242 242 20／85 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N341 341 240／99 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N342 342 24／525 0.0 87.9 179.9 278.0 383.6 500.0
N351 351 80／99 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N352 352 80／381 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N361 361 40／99 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N362 362 40／330 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N731 731 40／33 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N741 741 20／33 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0

Tabela 9.1.15: Rezultatet e verifikimit të exO (problem me fluks nxehtësie të përqendruar)

Emri i rastit Lloji i elementit Elemente/nyje Largësia nga skaji A (m)
Skaji A 2.0 4.0 6.0 8,0 Skaji B
Komercial 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O231 231 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O232 232 40／105 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O241 241 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O242 242 20／85 0.0 103.2 213.7 333.4 465.2 618.0
O341 341 240／99 - - - - - -
O342 342 24／525 0.0 104.4 214.9 334.7 466.3 614.6
O351 351 80／99 - - - - - -
O352 352 80／381 0.0 103.2 213.7 333.3 465.0 624.2
O361 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O362 362 40／330 0.0 103.2 213.7 333.4 465.5 623.5
O731 731 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.5
O741 741 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6

Tabela 9.1.16: Rezultatet e verifikimit të exP (problem me fluks nxehtësie të shpërndarë)

Emri i rastit Lloji i elementit Elemente/nyje Largësia nga skaji A (m)
Skaji A 2.0 4.0 6.0 8,0 Skaji B
Komercial 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P231 231 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P232 232 40／105 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P241 241 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P242 242 20／85 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P341 341 240／99 - - - - - -
P342 342 24／525 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P351 351 80／99 - - - - - -
P352 352 80／381 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P361 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P362 362 40／330 0.0 103.2 213.7 333.4 465.5 612.6
P731 731 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.5
P741 741 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6

Tabela 9.1.17: Rezultatet e verifikimit të exQ (problem i transferimit konvektiv të nxehtësisë)

Emri i rastit Lloji i elementit Elemente/nyje Largësia nga skaji A (m)
Skaji A 2.0 4.0 6.0 8,0 Skaji B
Komercial 361 40／99 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q231 231 40／33 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q232 232 40／105 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q241 241 20／33 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q242 242 20／85 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q341 341 240／99 - - - - - -
Q342 342 24／525 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q351 351 80／99 - - - - - -
Q352 352 80／381 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q361 361 40／99 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q362 362 40／330 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q731 731 40／33 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q741 741 20／33 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2

Tabela 9.1.18: Rezultatet e verifikimit të exR (problem i transferimit të nxehtësisë me rrezatim)

Emri i rastit Lloji i elementit Elemente/nyje Largësia nga skaji A (m)
Skaji A 2.0 4.0 6.0 8,0 Skaji B
Komercial 361 40／99 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R231 231 40／33 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R232 232 40／105 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R241 241 20／33 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R242 242 20／85 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R341 341 240／99 - - - - - -
R342 342 24／525 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R351 351 80／99 - - - - - -
R352 352 80／381 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R361 361 40／99 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R362 362 40／330 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R731 731 40／33 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R741 741 20／33 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2

Tabela 9.1.19: Rezultatet e verifikimit të exS (problem i gjenerimit vëllimor të nxehtësisë)

Emri i rastit Lloji i elementit Elemente/nyje Largësia nga skaji A (m)
Skaji A 2.0 4.0 6.0 8,0 Skaji B
Komercial 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S231 231 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S232 232 40／105 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S241 241 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S242 242 20／85 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S341 341 240／99 - - - - - -
S342 342 24／525 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S351 351 80／99 - - - - - -
S352 352 80／381 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S361 361 40／99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S362 362 40／330 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S731 731 40／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S741 741 20／33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6

Tabela 9.1.20: Rezultatet e verifikimit të exT (problem i hapësirës së brendshme)

Emri i rastit Lloji i elementit Elemente/nyje Largësia nga skaji A (m)
Skaji A 2.0 4.0 6.0 8,0 Skaji B
Komercial 361 40／99 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S231 231 40／33 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S232 232 40／105 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S241 241 20／33 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S242 242 20／85 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S341 341 240／99 - - - - - -
S342 342 24／525 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S351 351 80／99 - - - - - -
S352 352 80／381 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S361 361 40／99 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S362 362 40／330 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S731 731 40／33 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S741 741 20／33 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0

Analiza dinamike lineare

Në exW kryhet një analizë dinamike lineare mbi të njëjtin tra të konsoluar si në pikën (1). Figura 9.1.12 paraqet kushtet e verifikimit. Për të njëjtën ndarje të rrjetës verifikohet efekti i inkrementit kohor mbi rezultatet. Përdoren si metoda implicite ashtu edhe eksplicite të integrimit në kohë, me llojet e elementeve 361 dhe 342. Rezultatet e verifikimit paraqiten në Tabelën 9.1.22 dhe Figurat 9.1.13 deri 9.1.15.

Modeli i analizës Modeli i analizës

Historia kohore e forcës së jashtme F Historia kohore e forcës së jashtme F

Zgjidhja teorike për zhvendosjen e pikës së ngacmimit është si më poshtë:

\[ F(t)=F_0 I(t) \]

ku

\[ \(F_0:\ \text{Vektor konstant}\) \]
\[ I(t)= \begin{cases} 0, t < 0 \\\ 1, 0 \leq t \end{cases} \]
\[ u(t) = \frac{F_0 l^3}{EI} \sum^{\infty}_{i=1} \frac{1-\cos{\omega_i t}}{{\lambda_i}^4} \left\lbrace \cosh{\lambda_i}-\cos{\lambda_i}-\frac{\cosh{\lambda_i} + \cos{\lambda_i}}{\sin{\lambda_i}+\sin{\lambda_i}} (\sinh{\lambda_i} - \sin{\lambda_i}) \right\rbrace^2 \]

Fig. 9.1.12: Kushtet e verifikimit të analizës dinamike lineare

Kushtet e verifikimit:
Gjatësia \(L\) \(10.0\ \mathrm{mm}\)
Gjerësia e seksionit tërthor \(a\) \(1.0\ \mathrm{mm}\)
Lartësia e seksionit tërthor \(b\) \(1.0\ \mathrm{mm}\)
Moduli i Young-ut \(E\) \(4000.0\ \mathrm{kgf/mm^2}\)
Raporti i Poisson-it \(\nu\) \(0.3\)
Dendësia \(\rho\) \(1.0 \times 10^{-9}\ \mathrm{kgf}\;\mathrm{s}^2/\mathrm{mm}^4\)
Përshpejtimi gravitacional \(g\) \(9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\)
Forca e jashtme \(F_0\) \(1.0\ \mathrm{kgf}\)
Elementi Element heksaedrik i rendit të parë
Element tetraedrik i rendit të dytë
Zgjidhja Metodë implicite
Parametri i metodës Newmark-\(\beta\), \(\gamma\) 1/2
Parametri \(\beta\) i metodës Newmark-\(\beta\) 1/4
Metodë eksplicite
Amortizimi Asnjë

Tabela 9.1.21: Kushtet e verifikimit të analizës dinamike lineare (vazhdim)

Emri i rastit Lloji i elementit Nr. i nyjeve Nr. i elementeve Zgjidhja Inkrementi kohor \(\Delta t\) (s)
W361_c0_im_m2_t1 361 99 40 Metodë implicite 1.0E-06
W361_c0_im_m2_t2 361 99 40 Metodë implicite 1.0E-05
W361_c0_im_m2_t3 361 99 40 Metodë implicite 1.0E-04
W361_c0_ex_m2_t1 361 99 40 Metodë implicite 1.0E-08
W361_c0_ex_m2_t2 361 99 40 Metodë implicite 1.0E-07
W361_c0_ex_m2_t3 361 99 40 Metodë implicite 1.0E-06
W342_c0_im_m2_t1 342 525 240 Metodë eksplicite 1.0E-06
W342_c0_im_m2_t2 342 525 240 Metodë eksplicite 1.0E-05
W342_c0_im_m2_t3 342 525 240 Metodë eksplicite 1.0E-04
W342_c0_ex_m2_t1 342 525 240 Metodë eksplicite 1.0E-08
W342_c0_ex_m2_t2 342 525 240 Metodë eksplicite 5.0E-08
W342_c0_ex_m2_t3 342 525 240 Metodë eksplicite 1.0E-07

Tabela 9.1.22: Rezultatet e verifikimit të analizës dinamike lineare të exW (tra i konsoluar)

Emri i rastit Lloji i elementit Numri i nyjeve Numri i elementeve Metoda Zhvendosja në drejtimin z në kohën \(t = 0.002\ \mathrm{s}\) (mm)
W361_c0_im_m2_t1 361 99 40 Metodë implicite 1.9753 1.9302
W361_c0_im_m2_t2 361 99 40 Metodë implicite 1.9753 1.8686
W361_c0_im_m2_t3 361 99 40 Metodë implicite 1.9753 0.3794
W361_c0_ex_m2_t1 361 99 40 Metodë implicite 1.9753 1.9302
W361_c0_ex_m2_t2 361 99 40 Metodë implicite 1.9753 1.9247
W361_c0_ex_m2_t3 361 99 40 Metodë implicite 1.9753 Nuk konvergoi
W342_c0_im_m2_t1 342 525 240 Metodë eksplicite 1.9753 1.9431
W342_c0_im_m2_t2 342 525 240 Metodë eksplicite 1.9753 1.8719
W342_c0_im_m2_t3 342 525 240 Metodë eksplicite 1.9753 0.3873
W342_c0_ex_m2_t1 342 525 240 Metodë eksplicite 1.9753 1.9359
W342_c0_ex_m2_t2 342 525 240 Metodë eksplicite 1.9753 1.9358
W342_c0_ex_m2_t3 342 525 240 Metodë eksplicite 1.9753 Nuk konvergoi

Diagrami i deformimit dhe shpërndarja e sforcimit ekuivalent të trarit të konsoluar Fig. 9.1.13: Diagrami i deformimit dhe shpërndarja e sforcimit ekuivalent të trarit të konsoluar

(a) Lloji i elementit 361 : Metodë implicite (a) Lloji i elementit 361: Metoda implicite

(b) Lloji i elementit 361 : Metodë eksplicite (b) Lloji i elementit 361: Metoda eksplicite

Fig. 9.1.14 Historia kohore e zhvendosjes së pikës së ngacmimit \(u_z\)

(a) Lloji i elementit 342: Metodë implicite (a) Lloji i elementit 342: Metoda implicite

(b) Lloji i elementit 342: Metodë eksplicite (b) Lloji i elementit 342: Metoda eksplicite

Fig. 9.1.15: Historia kohore e zhvendosjes së pikës së ngacmimit \(u_z\)

Analiza e përgjigjes në frekuencë

Në këtë verifikim kryhet një analizë e përgjigjes në frekuencë mbi një tra të konsoluar dhe vërtetohet duke e krahasuar me rezultatet e një zgjidhësi komercial me përdorim të përgjithshëm. Modeli i analizës dhe kushtet e verifikimit paraqiten më poshtë.

Kushtet e analizës:
Moduli i Young-ut \(E\) \(210000\ \mathrm{N/mm^2}\)
Raporti i Poisson-it \(\nu\) \(0.3\)
Dendësia \(\rho\) \(7.89 \times 10^{-9}\ \mathrm{t/mm^3}\)
Përshpejtimi gravitacional \(g\) \(9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\)
Ngarkesa \(F_0\) \(1.0\ \mathrm{N}\)
Parametri i amortizimit Rayleigh \(R_m\) \(0.0\)
Parametri i amortizimit Rayleigh \(R_k\) \(7.2E-07\)

Fig. 9.1.16 Modeli i analizës (elemente tetraedrike të rendit të parë: 126 elemente, 55 nyje)

Më poshtë paraqiten pesë frekuencat e para natyrore të marra nga analiza modale dhe përgjigjja në frekuencë në pikën e ngacmimit.

moda FrontISTR Komercial
1 14952 14952
2 15002 15003
3 84604 84539
4 84771 84697
5 127054 126852

Varësia nga frekuenca e amplitudës së zhvendosjes së pikës së ngacmimit Fig. 9.1.17: Varësia nga frekuenca e amplitudës së zhvendosjes së pikës së ngacmimit