Иди на текст

Translation update pending

The Serbian translation may be out of date because the Japanese source has changed. The existing translation remains available while it is being updated.

Напредне формулације елемената

Стандардна формулација заснована на померањима, приказана у Формулацији тродимензионалних солидних елемената, при примени на скоро нестишљиве материјале или танкозидне конструкције у којима доминира савијање показује неоправдану прекомерну крутост која се назива locking (запремински locking или смицајни locking). Да би се то избегло, FrontISTR садржи B-bar и F-bar методе, које замењују само запремински део B матрице или градијента деформације, некомпатибилне елементе који уводе унутрашње степене слободе, u-p мешовите елементе који притисак третирају као независно непознато поље, као и MITC љускасте и гредне елементе специјализоване за плоче и гредне конструкције.

У овом поглављу формулације ових напредних и конструктивних елемената систематизоване су по елементима.

B-bar метода

Када се осмочворни линеарни хексаедарски елемент користи за квазинестишљив материјал, деформација унутар једног елемента долази у сукоб са условом константне запремине и јавља се прекомерна крутост позната као запремински locking. B-bar метода замењује компоненте B матрице које доприносе запреминском ширењу вредностима процењеним у центру елемента и тако ублажава прекомерно ограничење [Hughes1980].

Нека је \(\bar{\boldsymbol{B}}\) B матрица израчуната из просторних извода функција облика у центру елемента \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\), а \(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})\) стандардна B матрица у интеграционој тачки \(\boldsymbol{r}\). У односу померање–деформација за степен слободе \(i\) чвора \(\alpha\), компонентама запреминске деформације \((\varepsilon_{11}, \varepsilon_{22}, \varepsilon_{33})\) додаје се

\[ \Delta B_{i\alpha} = \tfrac{1}{3}\bigl(\bar{B}_{i\alpha}(\boldsymbol{0}) - B_{i\alpha}(\boldsymbol{r})\bigr) \]

док се за смицајне компоненте \((\varepsilon_{12}, \varepsilon_{23}, \varepsilon_{31})\) користи стандардна \(\boldsymbol{B}\). Матрица крутости елемента и вектор унутрашњих сила склапају се помоћу тако добијене B-bar матрице.

FrontISTR обезбеђује ову формулацију искључиво за осмочворни линеарни хексаедарски елемент (ID елемента 361, систем нумерације елемената) и она се може применити на мале деформације, укупни Лагранж и ажурирани Лагранж.

F-bar метода

При коначним деформацијама промена запремине делује нелинеарно преко градијента деформације \(\boldsymbol{F}\), па F-bar метода [deSouzaNeto1996] примењује меру против запреминског locking-а еквивалентну B-bar методи већ на нивоу градијента деформације.

Нека је \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\) запремински однос градијента деформације процењеног у центру елемента \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\), а \(J = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\) запремински однос градијента деформације у интеграционој тачки; градијент деформације у интеграционој тачки замењује се са

\[ \bar{\boldsymbol{F}} = \left(\frac{J_0}{J}\right)^{1/3} \boldsymbol{F} \]

Овим се добија \(\det \bar{\boldsymbol{F}} = J_0\), па је запремински однос у целом елементу уједначен са вредношћу у центру елемента. За процену напона и формирање матрице деформација–померање користи се замењени \(\bar{\boldsymbol{F}}\), а тангентна матрица крутости елемента склапа се уз додатне чланове који произлазе из ове замене.

FrontISTR имплементира F-bar методу искључиво за осмочворни линеарни хексаедарски елемент; може се применити и на мале деформације и на нелинеарну геометрију укупног Лагранжа / ажурираног Лагранжа.

Некомпатибилни елемент

Осмочворни линеарни хексаедарски елемент нема степене слободе деформације потребне за мод савијања и зато у проблемима у којима доминира савијање показује locking при савијању. Некомпатибилни елемент [Taylor1976] уводи додатне модове померања унутар елемента да би надокнадио овај недостатак.

Поред померања чворова елемента \(\boldsymbol{u}^e\), уводе се степени слободе некомпатибилних модова \(\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{R}^{9}\) који постоје само унутар елемента, укупно 3 смера × 3 мода по елементу, па се поље померања апроксимира као

\[ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha=1}^{8} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha + \sum_{k=1}^{3} M_k(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{\alpha}_k \]

Некомпатибилне функције облика у природним координатама \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\) узимају се као \(M_1 = 1 - \xi^2\), \(M_2 = 1 - \eta^2\) и \(M_3 = 1 - \zeta^2\). Иако оне не гарантују континуитет на граници елемента, унутар елемента додају простор способан да репродукује деформацију мода савијања.

Након што се крутост елемента склопи у блоковски систем спољних и унутрашњих степени слободе

\[ \begin{bmatrix} \boldsymbol{K}_{dd} & \boldsymbol{K}_{d\alpha} \\ \boldsymbol{K}_{\alpha d} & \boldsymbol{K}_{\alpha\alpha} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u}^e \\ d\boldsymbol{\alpha} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{F}^e_{\text{ext}} \\ \boldsymbol{0} \end{bmatrix} \]

врши се статичка кондензација којом се унутрашњи степени слободе елиминишу помоћу \(d\boldsymbol{\alpha} = -\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\boldsymbol{K}_{\alpha d}\,d\boldsymbol{u}^e\), чиме се добија матрица крутости елемента само за спољне степене слободе

\[ \boldsymbol{K}^e = \boldsymbol{K}_{dd} - \boldsymbol{K}_{d\alpha}\,\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\,\boldsymbol{K}_{\alpha d} \]

која се предаје глобалном склапању.

FrontISTR имплементира некомпатибилни елемент искључиво за осмочворни линеарни хексаедарски елемент (C3D8IC) и може се применити на мале деформације, укупни Лагранж и ажурирани Лагранж.

U-P мешовити елемент

Док B-bar и F-bar методе исправљају запреминску компоненту у оквиру формулације засноване на померањима, u-p мешовити (U-P) елемент је мешовита формулација [Bathe1996] која уводи притисак \(\lambda\) као непознато поље независно од померања. Код квазинестишљивих материјала (нпр. гумолики материјали са Поасоновим коефицијентом веома близу 0.5 или метали након пластичне деформације), покушај испуњавања услова константне запремине само пољем померања доводи до запреминског locking-а; увођењем притиска као независне променљиве овај услов се ублажава.

Напон се раздваја на девијаторску компоненту и притисак и записује као

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} + \lambda\,\boldsymbol{I}, \qquad \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} = \mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\,\boldsymbol{\varepsilon} \]

Овде је \(\mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\) девијаторска еластична матрица добијена уклањањем запреминског дела пропорционалног модулу запреминске еластичности \(K\) из еластичне матрице. Притисак \(\lambda\) и запреминска деформација \(g = \mathrm{tr}\,\boldsymbol{\varepsilon}\) повезани су условом ограничења преко стишљивости \(\alpha^{-1} = 1/K\)

\[ g - \alpha^{-1}\lambda = 0 \]

Дискретизацијом у којој су померање \(\boldsymbol{u}\) и притисак \(\lambda\) непознате величине добија се систем једначина елемента

\[ \begin{bmatrix} \mathbf{K}_{uu} & \mathbf{K}_{up} \\ \mathbf{K}_{up}^{T} & \mathbf{K}_{pp} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u} \\ d\lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{f}_{u} \\ \boldsymbol{f}_{p} \end{bmatrix} \]

Овде \(\mathbf{K}_{uu}\) садржи девијаторску еластичну компоненту и, код коначних деформација, геометријску крутост; \(\mathbf{K}_{up}\) је матрица која повезује запреминску деформацију и притисак; а \(\mathbf{K}_{pp} = -\int \alpha^{-1}\,\boldsymbol{N}_p \boldsymbol{N}_p^{T}\,dV\) је стабилизациони члан притиска (\(\boldsymbol{N}_p\) је функција облика притиска). Пошто су степени слободе притиска затворени унутар елемента,

\[ \mathbf{K}_{\mathrm{eff}} = \mathbf{K}_{uu} - \mathbf{K}_{up}\,\mathbf{K}_{pp}^{-1}\,\mathbf{K}_{up}^{T} \]

статичком кондензацијом се систем своди на овај облик и глобалном склапању предаје ефективна крутост само спољних (померајних) степени слободе.

FrontISTR имплементира U-P елемент искључиво за осмочворни линеарни хексаедарски елемент, са једним степеном слободе притиска по елементу (константним у елементу). Може се применити на мале деформације, укупни Лагранж и ажурирани Лагранж; у формулацији ажурираног Лагранжа девијаторски напон се ажурира објективном брзином напона (тип Јауман / Хјуз–Вингет), а затим се притисак \(\lambda\,\boldsymbol{I}\) намеће из вредности добијене статичком кондензацијом.

Љускасти елементи

За танкозидне плочасте и љускасте конструкције користе се љускасти елементи засновани на Рајснер–Миндлиновој теорији плоча и љуски. Код нижередних елемената заснованих на померањима, са смањењем дебљине попречна смицајна деформација се прецењује механизмом сличним запреминском locking-у (смицајни locking), па крутост за мод савијања дивергентно расте. MITC (Mixed Interpolation of Tensorial Components) метода [Dvorkin1984] [Bathe1986] избегава овај проблем тако што само компоненте смицајне деформације поново узоркује у унапред дефинисаним tying тачкама унутар елемента и затим интерполира узорковане вредности кроз елемент.

Чворови MITC љускастог елемента налазе се на средњој површини закривљене површине; сваки чвор има 6 степени слободе, три транслације и три ротације око нормале средње површине. Крутост елемента процењује се тродимензионалном Гаусовом интеграцијом по природним координатама средње површине и правцу дебљине, а дебљина плоче \(h\) задаје се као атрибут елемента при израчунавању конститутивног закона.

FrontISTR обезбеђује MITC3 (ID елемента 731), MITC4 (741) и MITC9 (743), који се третирају као један слој средње површине, као и слојевите љускасте елементе MITC3-shell361 (761, 3\(\times\)2 чвора, 3 степена слободе по чвору) и MITC4-shell361 (781, 4\(\times\)2 чвора, 3 степена слободе по чвору), са два слоја чворова кроз дебљину плоче. Код слојевитих љускастих елемената чворови имају само три транслациона степена слободе, а мод савијања који одговара ротационим степенима слободе представља се распоредом у два слоја.

Гредни елементи

Линијске конструкције као што су носачи и рамови дискретизују се гредним елементима. Гредни елементи представљају истезање, савијање и увијање користећи само транслације и ротације чворова на оси греде, док се деформација унутар пресека представља константама пресека.

Сваки чвор греде има шест степени слободе: три транслационе и три ротационе компоненте. Крутост елемента добија се формирањем матрица крутости затвореног облика за истезање, савијање у два правца и увијање у локалном координатном систему дефинисаном осом елемента и референтном осом задатом у подацима пресека, а затим њиховом трансформацијом у глобални координатни систем. Површина пресека \(A\), други моменти површине \(I_y\) и \(I_z\) око локалних оса \(y\) и \(z\) и торзиона константа задају се као подаци пресека; заједно са Јанговим модулом \(E\) материјала и модулом смицања \(G\) изведеним из Јанговог модула и Поасоновог коефицијента одређују одговарајуће коефицијенте крутости.

За савијање су доступне две формулације: Бернули–Ојлерова греда, која претпоставља да пресек после деформације остаје управан на осу греде и занемарује смицајну деформацију, и Тимошенкова греда, која узима у обзир смицајну деформацију. Обе се могу изабрати за двочворни гредни елемент 611, при чему је Бернули–Ојлерова греда подразумевана. За Тимошенкову греду, са дужином елемента \(L\), коефицијенти који представљају допринос смицајне деформације,

\[ \Phi_y = \frac{12 E I_z}{G A_s L^2}, \qquad \Phi_z = \frac{12 E I_y}{G A_s L^2} \]

укључују се у коефицијенте крутости за одговарајуће равни савијања. На пример, коефицијент крутости за угиб у локалном правцу \(y\) је \(12 E I_z / \{ L^3 (1 + \Phi_y) \}\). Овде је \(A_s\) смицајна површина. Пошто подаци пресека FrontISTR-а не задају \(A_s\) посебно, користи се \(A_s = A\). То је еквивалентно фактору корекције смицања једнаком 1. Постављањем \(\Phi_y = \Phi_z = 0\) добија се крутост Бернули–Ојлерове греде.

Елемент 641 је елемент са мешовитим степенима слободе који представља греду помоћу два чвора са транслационим степенима слободе и два чвора са ротационим степенима слободе, а формулисан је као Бернули–Ојлерова греда.

Повезане теме