Списак ознака физичких величина
Ова страница садржи списак ознака физичких величина које се користе у теоријском приручнику за FrontISTR. За правила нотације (подебљано означавање вектора и тензора, Ајнштајнова конвенција сабирања и Војтова нотација) погледајте Тензорска нотација и математичке основе.
Конфигурације и координатни системи
| Ознака | Опис |
| \(\boldsymbol{X}\) | Вектор положаја материјалне тачке у референтној (почетној) конфигурацији (материјалне координате) |
| \(\boldsymbol{x}\) | Вектор положаја материјалне тачке у тренутној конфигурацији (просторне координате) |
| \(\phi(\boldsymbol{X}, t)\) | Пресликавање кретања: \(\boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t)\) |
| \(\Omega_0\) | Област коју тело заузима у референтној конфигурацији |
| \(\Omega\) | Област коју тело заузима у тренутној конфигурацији |
| \(\Gamma_0\) | Граница области \(\Omega_0\) |
| \(\Gamma\) | Граница области \(\Omega\) |
| \(\Gamma_B, \Gamma_{0B}\) | Геометријска (померајна) граница: граница у тренутној/референтној конфигурацији на којој је прописано \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) |
| \(\Gamma_t, \Gamma_{0t}\) | Механичка граница: граница у тренутној/референтној конфигурацији на којој је прописано \(\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) (или \(\boldsymbol{P}\boldsymbol{N} = \bar{\boldsymbol{t}}\)) |
| \(\boldsymbol{n}\) | Спољашњи јединични нормални вектор на површину у тренутној конфигурацији |
| \(\boldsymbol{N}\) | Спољашњи јединични нормални вектор на површину у референтној конфигурацији |
| \(t\) | Време |
Конвенција: Физичке величине у референтној конфигурацији означавају се великим словима или индексом \(0\), док се величине у тренутној конфигурацији означавају малим словима.
Време и инкременти (инкрементална анализа)
| Ознака | Опис |
| \(\Delta t\) | Временски инкремент: \(\Delta t = t_{n+1} - t_n\) |
| \(^{t}(\cdot)\) | Физичка величина у времену \(t\) (леви горњи индекс). Пример: \(^{t}\boldsymbol{\sigma}\) је Кошијев напон у времену \(t\) |
| \(^{t}\Omega\) | Област тренутне конфигурације у времену \(t\) |
| \(^{t}\Gamma\) | Граница тренутне конфигурације у времену \(t\) |
Конвенција: У инкременталној анализи стање до времена \(t\) сматра се познатим, а стање у времену \(t + \Delta t\) одређује се као непознато. Леви горњи индекс се изоставља када време није потребно експлицитно навести. Формулација која као референтну користи конфигурацију \(\Omega_0\) назива се Total Лагранжова формулација, док се формулација која као референтну користи тренутну конфигурацију \(^{t}\Omega\) на почетку инкремента назива Updated Лагранжова формулација.
Померање, брзина, убрзање и запреминска сила
| Ознака | Опис |
| \(\boldsymbol{u}\) | Вектор померања: \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{u}}\) | Померање прописано на геометријској граници \(\Gamma_B\) |
| \(\delta \boldsymbol{u}\) | Виртуелно померање (тест функција): \(\delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) на \(\Gamma_B\) |
| \(\boldsymbol{v}\) | Вектор брзине: \(\boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}\) |
| \(\boldsymbol{a}\) | Вектор убрзања: \(\boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}}\) |
| \(\boldsymbol{g}\) | Запреминска сила (по јединици масе) |
| \(\boldsymbol{t}\) | Вектор површинске силе (по јединици површине): \(\boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{t}}\) | Површинска сила прописана на механичкој граници \(\Gamma_t\) (Нојманови подаци) |
Диференцијални оператори
| Ознака | Опис |
| \(\dot{(\cdot)}\) | Материјални временски извод (временски извод при праћењу исте материјалне тачке): \(\dot{A} \equiv DA/Dt\) |
| \(\nabla_X\) | Градијент у референтној конфигурацији (градијент по материјалним координатама \(\boldsymbol{X}\)): \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\) |
| \(\nabla_x\) | Градијент у тренутној конфигурацији (градијент по просторним координатама \(\boldsymbol{x}\)): \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\) |
| \(\nabla_S\) | Оператор симетричног градијента: \(\nabla_S \boldsymbol{u} = \tfrac{1}{2}(\nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T)\) |
Напомена: \(\nabla_X\) и \(\nabla_x\) повезани су релацијом \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). Градијент без индекса, \(\nabla\), користи се када се конфигурација може одредити из контекста или када разлика нестаје, као код малих деформација.
Тензори кинематике деформације
| Ознака | Опис |
| \(\boldsymbol{F}\) | Тензор градијента деформације: \(F_{ij} = \partial x_i / \partial X_j\) |
| \(J\) | Однос промене запремине: \(J = dv/dV = \det \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{C}\) | Десни Коши–Гринов тензор деформације: \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{b}\) | Леви Коши–Гринов тензор деформације: \(\boldsymbol{b} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T\) |
| \(\boldsymbol{L}\) | Тензор градијента брзине: \(L_{ij} = \partial v_i / \partial x_j = \dot{F}_{ik}F^{-1}_{kj}\) |
| \(\boldsymbol{D}\) | Тензор брзине деформације (симетрични део \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{D} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}+\boldsymbol{L}^T)\) |
| \(\boldsymbol{W}\) | Тензор спина (антисиметрични део \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{W} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}^T)\) |
Тензори деформације
| Ознака | Опис |
| \(\boldsymbol{E}\) | Грин–Лагранжов тензор деформације (референтна конфигурација): \(\boldsymbol{E} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{I})\) |
| \(\boldsymbol{e}\) | Алмансијев тензор деформације (тренутна конфигурација): \(\boldsymbol{e} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{b}^{-1})\) |
| \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) | Линеарни део Алмансијевог тензора деформације (симетрични градијент померања у тренутној конфигурацији): \(\boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T)\) |
| \(\boldsymbol{\varepsilon}\) | Тензор мале деформације (линеарна апроксимација): \(\varepsilon_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i/\partial x_j + \partial u_j/\partial x_i)\) |
Напомена: \(\boldsymbol{E}\) се углавном користи у Total Лагранжовој формулацији, док се \(\boldsymbol{D}\) углавном користи у Updated Лагранжовој формулацији.
Тензори напона
| Ознака | Опис |
| \(\boldsymbol{\sigma}\) | Кошијев тензор напона (прави напон, тренутна конфигурација): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\,d\Gamma\) |
| \(\boldsymbol{P}\) | Први Пиола–Кирхофов тензор напона (номинални напон): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
| \(\boldsymbol{S}\) | Други Пиола–Кирхофов тензор напона (референтна конфигурација, симетричан): \(\boldsymbol{F}^{-1}d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
Релације трансформације између тензора напона:
\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J}\boldsymbol{F}\boldsymbol{S}\boldsymbol{F}^T = \frac{1}{J}\boldsymbol{P}\boldsymbol{F}^T \]
Конвенција: Total Лагранжова формулација користи пар \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\), док Updated Лагранжова формулација користи пар \((\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{D})\).
Густина и маса
| Ознака | Опис |
| \(\rho\) | Густина масе у тренутној конфигурацији |
| \(\rho_0\) | Густина масе у референтној конфигурацији |
Закон одржања масе: \(\rho_0 = J\rho\).
Материјалне константе (линеарно еластично тело)
| Ознака | Опис |
| \(E\) | Јангов модул (модул уздужне еластичности) |
| \(\nu\) | Поасонов коефицијент |
| \(\lambda\) | Прва Ламеова константа: \(\lambda = E\nu / [(1+\nu)(1-2\nu)]\) |
| \(\mu\) | Друга Ламеова константа (модул смицања): \(\mu = E / [2(1+\nu)]\) |
| \(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) | Тензор еластичности (четвртог реда): \(\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{E}\), компоненте \(C_{ijkl}\) |
| \(D\) (или \(\hat{\tilde{C}}\)) | Материјална матрица (Војтова нотација, \(6\times6\) у 3D): \(\hat{\sigma} = D\,\hat{\varepsilon}\) |
Компоненте тензора еластичности за изотропни линеарно еластични материјал:
\[ C_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk}) \]
Хипереластични материјали
| Ознака | Опис |
| \(W(\boldsymbol{C})\) | Функција еластичног потенцијала (функција густине енергије деформације) |
| \(I_1, I_2, I_3\) | Главне инваријанте десног Коши–Гриновог тензора \(\boldsymbol{C}\) |
| \(\tilde{I}_1, \tilde{I}_2, \tilde{I}_3\) | Редуковане инваријанте \(\boldsymbol{C}\) (издвојена промена запремине) |
| \(C_1, C_2\) | Материјалне константе Муни–Ривлинов модела |
| \(D\) | Материјална константа везана за запреминску еластичност |
Еластопластични материјали
| Ознака | Опис |
| \(\boldsymbol{D}^e\) | Еластична компонента тензора брзине деформације |
| \(\boldsymbol{D}^p\) | Пластична компонента тензора брзине деформације |
| \(F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa)\) | Функција течења |
| \(\kappa\) | Унутрашња променљива која представља пластично стање (променљива изотропног ојачања) |
| \(\lambda^p\) | Пластични множилац (множилац брзине пластичне деформације): \(\lambda^p \geq 0\) |
| \(\Theta\) | Пластични потенцијал (за асоцирано правило течења \(\Theta = F\)) |
| \(\bar{\sigma}\) | Еквивалентни напон (нпр. Мизесов напон) |
| \(\bar{\varepsilon}^p\) | Еквивалентна пластична деформација |
| \(H(\bar{\varepsilon}^p)\) | Функција изотропног ојачања |
Услов комплементарности: \(\lambda^p F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa) = 0\), \(\lambda^p \geq 0\), \(F \leq 0\).
Метода коначних елемената
| Ознака | Опис |
| \(\Omega^h, \Omega_0^h\) | Области у тренутној и референтној конфигурацији апроксимиране дискретизацијом методом коначних елемената: \(\Omega^h = \bigcup_e \Omega^e\) |
| \(\Omega^e, \Omega^e_0\) | Област елемента у тренутној и референтној конфигурацији |
| \(\Gamma^e_t, \Gamma^e_{0t}\) | Део границе елемента који припада механичкој граници |
| \(\boldsymbol{r}\) | Природне координате (локалне координате елемента) |
| \(\boldsymbol{r}_\alpha\) | Тачка у природним координатама која одговара чвору \(\alpha\) |
| \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) | Функција облика која одговара чвору \(\alpha\) елемента \(e\) |
| \(n_e\) | Број чворова који чине елемент |
| \(n_g\) | Укупан број глобалних чворова |
| \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) | Координате и померање чвора елемента \(\alpha\) |
| \(\boldsymbol{X}^e, \boldsymbol{u}^e\) | Вектори координата и померања чворова елемента: \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) итд. |
| \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) | Глобални вектори координата и померања чворова (поређани по броју чвора, а затим по степену слободе) |
| \(\boldsymbol{B}\) | Матрица везе деформације и померања (B-матрица) |
| \(\boldsymbol{N}_\alpha, \boldsymbol{N}\) | Матрица функција облика: \(\boldsymbol{N}_\alpha\) је блок \(d \times d\) са функцијом облика \(N_\alpha^e\) за чвор \(\alpha\) на дијагонали, а \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\). \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\) |
| \(\boldsymbol{K}^e\) | Матрица крутости елемента |
| \(\boldsymbol{K}^e_X, \boldsymbol{K}^e_x\) | Интегранди матрице крутости елемента (записани у референтној и тренутној конфигурацији): \(\boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv\) |
| \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL формулација), \(\boldsymbol{q}^e\) (UL формулација) | Вектор унутрашњих сила елемента |
| \(\boldsymbol{F}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e\) | Чворна спољашња сила која делује на чвор елемента \(\alpha\) и вектор чворних спољашњих сила елемента: \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\) |
| \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) | Глобални вектор унутрашњих сила и глобални вектор спољашњих сила: \(\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T\); аналогно за \(\boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{Q}_{i_g}, \boldsymbol{F}_{i_g}\) | Чворна унутрашња и спољашња сила у глобалном чвору \(i_g\) (чворни блокови \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\)) |
| \(\boldsymbol{K}\) | Глобална тангентна матрица крутости: \(\boldsymbol{K} = \partial \boldsymbol{Q}/\partial \boldsymbol{u}\). Матрица формирана постављањем блока \(3\times 3\) \(\boldsymbol{K}_{i_gi_h}\) у ред \(i_g\), колону \(i_h\) |
| \(\boldsymbol{R}_i\) | Вектор резидуала у Њутн–Рафсоновој итерацији: \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\) |
| \(d\boldsymbol{u}_i\) | Корекција у Њутн–Рафсоновој итерацији (добија се решавањем линеарне једначине \(\boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}\) у итерацији \(i\)) |
| \(i_g\) | Број глобалног чвора (\(1 \leq i_g \leq n_g\)) |
| \(\mathrm{gdx}(e, \alpha)\) | Број глобалног чвора који одговара локалном броју чвора \(\alpha\) елемента \(e\): \(\mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\) |
| \(\mathcal{E}(i_g)\) | Скуп парова \((e, \alpha)\) који одговарају глобалном чвору \(i_g\): \(\mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \}\). Користи се при састављању |
| \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) | Скуп тројки \((e, \alpha, \beta)\) које одговарају пару глобалних чворова \((i_g, i_h)\); користи се при састављању матрице крутости |
| \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) | Индекси чворова који чине елемент |
| \(i, j, k, l, \ldots\) | Индекси степена слободе (\(1, 2, 3\) у 3D) |
Елементи високих перформанси и структурни елементи
| Ознака | Опис |
| \(\bar{\boldsymbol{B}}\) | Матрица везе деформације и померања са коригованим запреминским делом методом B-bar (запреминска компонента се замењује B-матрицом вреднованом у центру елемента) |
| \(\bar{\boldsymbol{F}}\) | Градијент деформације са коригованим запреминским делом методом F-bar: \(\bar{\boldsymbol{F}} = (J_0/J)^{1/3} \boldsymbol{F}\) |
| \(J_0\) | Однос запремине градијента деформације вреднованог у центру елемента \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\): \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\) |
| \(\boldsymbol{\alpha}\) | Вектор унутрашњих степени слободе код елемента са некомпатибилним модовима (коефицијенти додатних модова померања који не обезбеђују континуитет на граници елемента) |
| \(M_k(\boldsymbol{r})\) | Функције облика некомпатибилних модова: \(M_1=1-\xi^2\), \(M_2=1-\eta^2\), \(M_3=1-\zeta^2\) |
| \(h\) | Дебљина љускастог елемента |
| \(A\) | Површина попречног пресека гредног елемента |
| \(I\) | Други момент површине попречног пресека гредног елемента |
| \(G\) | Модул смицања: \(G = E/[2(1+\nu)]\) |
Повезане теме