Translation update pending
The Serbian translation may be out of date because the Japanese source has changed. The existing translation remains available while it is being updated.
Списак ознака физичких величина¶
Ова страница садржи списак ознака физичких величина које се користе у теоријском приручнику за FrontISTR. За правила нотације (подебљано означавање вектора и тензора, Ајнштајнова конвенција сабирања и Војтова нотација) погледајте Тензорска нотација и математичке основе.
Конфигурације и координатни системи¶
| Ознака | Опис |
|---|---|
| \(\boldsymbol{X}\) | Вектор положаја материјалне тачке у референтној (почетној) конфигурацији (материјалне координате) |
| \(\boldsymbol{x}\) | Вектор положаја материјалне тачке у тренутној конфигурацији (просторне координате) |
| \(\phi(\boldsymbol{X}, t)\) | Пресликавање кретања: \(\boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t)\) |
| \(\Omega_0\) | Област коју тело заузима у референтној конфигурацији |
| \(\Omega\) | Област коју тело заузима у тренутној конфигурацији |
| \(\Gamma_0\) | Граница области \(\Omega_0\) |
| \(\Gamma\) | Граница области \(\Omega\) |
| \(\Gamma_B, \Gamma_{0B}\) | Геометријска (померајна) граница: граница у тренутној/референтној конфигурацији на којој је прописано \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) |
| \(\Gamma_t, \Gamma_{0t}\) | Механичка граница: граница у тренутној/референтној конфигурацији на којој је прописано \(\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) (или \(\boldsymbol{P}\boldsymbol{N} = \bar{\boldsymbol{t}}\)) |
| \(\boldsymbol{n}\) | Спољашњи јединични нормални вектор на површину у тренутној конфигурацији |
| \(\boldsymbol{N}\) | Спољашњи јединични нормални вектор на површину у референтној конфигурацији |
| \(t\) | Време |
Конвенција: Физичке величине у референтној конфигурацији означавају се великим словима или индексом \(0\), док се величине у тренутној конфигурацији означавају малим словима.
Време и инкременти (инкрементална анализа)¶
| Ознака | Опис |
|---|---|
| \(\Delta t\) | Временски инкремент: \(\Delta t = t_{n+1} - t_n\) |
| \(^{t}(\cdot)\) | Физичка величина у времену \(t\) (леви горњи индекс). Пример: \(^{t}\boldsymbol{\sigma}\) је Кошијев напон у времену \(t\) |
| \(^{t}\Omega\) | Област тренутне конфигурације у времену \(t\) |
| \(^{t}\Gamma\) | Граница тренутне конфигурације у времену \(t\) |
Конвенција: У инкременталној анализи стање до времена \(t\) сматра се познатим, а стање у времену \(t + \Delta t\) одређује се као непознато. Леви горњи индекс се изоставља када време није потребно експлицитно навести. Формулација која као референтну користи конфигурацију \(\Omega_0\) назива се укупна Лагранжова формулација, док се формулација која као референтну користи тренутну конфигурацију \(^{t}\Omega\) на почетку инкремента назива ажурирана Лагранжова формулација.
Померање, брзина, убрзање и запреминска сила¶
| Ознака | Опис |
|---|---|
| \(\boldsymbol{u}\) | Вектор померања: \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{u}}\) | Померање прописано на геометријској граници \(\Gamma_B\) |
| \(\delta \boldsymbol{u}\) | Виртуелно померање (тест функција): \(\delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) на \(\Gamma_B\) |
| \(\boldsymbol{v}\) | Вектор брзине: \(\boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}\) |
| \(\boldsymbol{a}\) | Вектор убрзања: \(\boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}}\) |
| \(\boldsymbol{g}\) | Запреминска сила (по јединици масе) |
| \(\boldsymbol{t}\) | Вектор површинске силе (по јединици површине): \(\boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{t}}\) | Површинска сила прописана на механичкој граници \(\Gamma_t\) (Нојманови подаци) |
Диференцијални оператори¶
| Ознака | Опис |
|---|---|
| \(\dot{(\cdot)}\) | Материјални временски извод (временски извод при праћењу исте материјалне тачке): \(\dot{A} \equiv DA/Dt\) |
| \(\nabla_X\) | Градијент у референтној конфигурацији (градијент по материјалним координатама \(\boldsymbol{X}\)): \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\) |
| \(\nabla_x\) | Градијент у тренутној конфигурацији (градијент по просторним координатама \(\boldsymbol{x}\)): \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\) |
| \(\nabla_S\) | Оператор симетричног градијента: \(\nabla_S \boldsymbol{u} = \tfrac{1}{2}(\nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T)\) |
Напомена: \(\nabla_X\) и \(\nabla_x\) повезани су релацијом \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). Градијент без индекса, \(\nabla\), користи се када се конфигурација може одредити из контекста или када разлика нестаје, као код малих деформација.
Тензори кинематике деформације¶
| Ознака | Опис |
|---|---|
| \(\boldsymbol{F}\) | Тензор градијента деформације: \(F_{ij} = \partial x_i / \partial X_j\) |
| \(J\) | Однос промене запремине: \(J = dv/dV = \det \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{C}\) | Десни Коши–Гринов тензор деформације: \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{b}\) | Леви Коши–Гринов тензор деформације: \(\boldsymbol{b} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T\) |
| \(\boldsymbol{L}\) | Тензор градијента брзине: \(L_{ij} = \partial v_i / \partial x_j = \dot{F}_{ik}F^{-1}_{kj}\) |
| \(\boldsymbol{D}\) | Тензор брзине деформације (симетрични део \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{D} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}+\boldsymbol{L}^T)\) |
| \(\boldsymbol{W}\) | Тензор спина (антисиметрични део \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{W} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}^T)\) |
Тензори деформације¶
| Ознака | Опис |
|---|---|
| \(\boldsymbol{E}\) | Грин–Лагранжов тензор деформације (референтна конфигурација): \(\boldsymbol{E} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{I})\) |
| \(\boldsymbol{e}\) | Алмансијев тензор деформације (тренутна конфигурација): \(\boldsymbol{e} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{b}^{-1})\) |
| \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) | Линеарни део Алмансијевог тензора деформације (симетрични градијент померања у тренутној конфигурацији): \(\boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T)\) |
| \(\boldsymbol{\varepsilon}\) | Тензор мале деформације (линеарна апроксимација): \(\varepsilon_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i/\partial x_j + \partial u_j/\partial x_i)\) |
Напомена: \(\boldsymbol{E}\) се углавном користи у укупној Лагранжовој формулацији, док се \(\boldsymbol{D}\) углавном користи у ажурираној Лагранжовој формулацији.
Тензори напона¶
| Ознака | Опис |
|---|---|
| \(\boldsymbol{\sigma}\) | Кошијев тензор напона (прави напон, тренутна конфигурација): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\,d\Gamma\) |
| \(\boldsymbol{P}\) | Први Пиола–Кирхофов тензор напона (номинални напон): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
| \(\boldsymbol{S}\) | Други Пиола–Кирхофов тензор напона (референтна конфигурација, симетричан): \(\boldsymbol{F}^{-1}d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
Релације трансформације између тензора напона:
\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J}\boldsymbol{F}\boldsymbol{S}\boldsymbol{F}^T = \frac{1}{J}\boldsymbol{P}\boldsymbol{F}^T \]
Конвенција: укупна Лагранжова формулација користи пар \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\), док ажурирана Лагранжова формулација користи пар \((\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{D})\).
Густина и маса¶
| Ознака | Опис |
|---|---|
| \(\rho\) | Густина масе у тренутној конфигурацији |
| \(\rho_0\) | Густина масе у референтној конфигурацији |
Закон одржања масе: \(\rho_0 = J\rho\).
Материјалне константе (линеарно еластично тело)¶
| Ознака | Опис |
|---|---|
| \(E\) | Јангов модул (модул уздужне еластичности) |
| \(\nu\) | Поасонов коефицијент |
| \(\lambda\) | Прва Ламеова константа: \(\lambda = E\nu / [(1+\nu)(1-2\nu)]\) |
| \(\mu\) | Друга Ламеова константа (модул смицања): \(\mu = E / [2(1+\nu)]\) |
| \(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) | Тензор еластичности (четвртог реда): \(\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{E}\), компоненте \(C_{ijkl}\) |
| \(D\) (или \(\hat{\tilde{C}}\)) | Материјална матрица (Војтова нотација, \(6\times6\) у 3D): \(\hat{\sigma} = D\,\hat{\varepsilon}\) |
Компоненте тензора еластичности за изотропни линеарно еластични материјал:
\[ C_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk}) \]
Хипереластични материјали¶
| Ознака | Опис |
|---|---|
| \(W(\boldsymbol{C})\) | Функција еластичног потенцијала (функција густине енергије деформације) |
| \(I_1, I_2, I_3\) | Главне инваријанте десног Коши–Гриновог тензора \(\boldsymbol{C}\) |
| \(\tilde{I}_1, \tilde{I}_2, \tilde{I}_3\) | Редуковане инваријанте \(\boldsymbol{C}\) (издвојена промена запремине) |
| \(C_1, C_2\) | Материјалне константе Муни–Ривлинов модела |
| \(D\) | Материјална константа везана за запреминску еластичност |
Еластопластични материјали¶
| Ознака | Опис |
|---|---|
| \(\boldsymbol{D}^e\) | Еластична компонента тензора брзине деформације |
| \(\boldsymbol{D}^p\) | Пластична компонента тензора брзине деформације |
| \(F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa)\) | Функција течења |
| \(\kappa\) | Унутрашња променљива која представља пластично стање (променљива изотропног ојачања) |
| \(\lambda^p\) | Пластични множилац (множилац брзине пластичне деформације): \(\lambda^p \geq 0\) |
| \(\Theta\) | Пластични потенцијал (за асоцирано правило течења \(\Theta = F\)) |
| \(\bar{\sigma}\) | Еквивалентни напон (нпр. Мизесов напон) |
| \(\bar{\varepsilon}^p\) | Еквивалентна пластична деформација |
| \(H(\bar{\varepsilon}^p)\) | Функција изотропног ојачања |
Услов комплементарности: \(\lambda^p F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa) = 0\), \(\lambda^p \geq 0\), \(F \leq 0\).
Метода коначних елемената¶
| Ознака | Опис |
|---|---|
| \(\Omega^h, \Omega_0^h\) | Области у тренутној и референтној конфигурацији апроксимиране дискретизацијом методом коначних елемената: \(\Omega^h = \bigcup_e \Omega^e\) |
| \(\Omega^e, \Omega^e_0\) | Област елемента у тренутној и референтној конфигурацији |
| \(\Gamma^e_t, \Gamma^e_{0t}\) | Део границе елемента који припада механичкој граници |
| \(\boldsymbol{r}\) | Природне координате (локалне координате елемента) |
| \(\boldsymbol{r}_\alpha\) | Тачка у природним координатама која одговара чвору \(\alpha\) |
| \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) | Функција облика која одговара чвору \(\alpha\) елемента \(e\) |
| \(n_e\) | Број чворова који чине елемент |
| \(n_g\) | Укупан број глобалних чворова |
| \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) | Координате и померање чвора елемента \(\alpha\) |
| \(\boldsymbol{X}^e, \boldsymbol{u}^e\) | Вектори координата и померања чворова елемента: \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) итд. |
| \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) | Глобални вектори координата и померања чворова (поређани по броју чвора, а затим по степену слободе) |
| \(\boldsymbol{B}\) | Матрица везе деформације и померања (B-матрица) |
| \(\boldsymbol{N}_\alpha, \boldsymbol{N}\) | Матрица функција облика: \(\boldsymbol{N}_\alpha\) је блок \(d \times d\) са функцијом облика \(N_\alpha^e\) за чвор \(\alpha\) на дијагонали, а \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\). \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\) |
| \(\boldsymbol{K}^e\) | Матрица крутости елемента |
| \(\boldsymbol{K}^e_X, \boldsymbol{K}^e_x\) | Интегранди матрице крутости елемента (записани у референтној и тренутној конфигурацији): \(\boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv\) |
| \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL формулација), \(\boldsymbol{q}^e\) (UL формулација) | Вектор унутрашњих сила елемента |
| \(\boldsymbol{F}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e\) | Чворна спољашња сила која делује на чвор елемента \(\alpha\) и вектор чворних спољашњих сила елемента: \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\) |
| \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) | Глобални вектор унутрашњих сила и глобални вектор спољашњих сила: \(\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T\); аналогно за \(\boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{Q}_{i_g}, \boldsymbol{F}_{i_g}\) | Чворна унутрашња и спољашња сила у глобалном чвору \(i_g\) (чворни блокови \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\)) |
| \(\boldsymbol{K}\) | Глобална тангентна матрица крутости: \(\boldsymbol{K} = \partial \boldsymbol{Q}/\partial \boldsymbol{u}\). Матрица формирана постављањем блока \(3\times 3\) \(\boldsymbol{K}_{i_gi_h}\) у ред \(i_g\), колону \(i_h\) |
| \(\boldsymbol{R}_i\) | Вектор резидуала у Њутн–Рафсоновој итерацији: \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\) |
| \(d\boldsymbol{u}_i\) | Корекција у Њутн–Рафсоновој итерацији (добија се решавањем линеарне једначине \(\boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}\) у итерацији \(i\)) |
| \(i_g\) | Број глобалног чвора (\(1 \leq i_g \leq n_g\)) |
| \(\mathrm{gdx}(e, \alpha)\) | Број глобалног чвора који одговара локалном броју чвора \(\alpha\) елемента \(e\): \(\mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\) |
| \(\mathcal{E}(i_g)\) | Скуп парова \((e, \alpha)\) који одговарају глобалном чвору \(i_g\): \(\mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \}\). Користи се при састављању |
| \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) | Скуп тројки \((e, \alpha, \beta)\) које одговарају пару глобалних чворова \((i_g, i_h)\); користи се при састављању матрице крутости |
| \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) | Индекси чворова који чине елемент |
| \(i, j, k, l, \ldots\) | Индекси степена слободе (\(1, 2, 3\) у 3D) |
Елементи високих перформанси и структурни елементи¶
| Ознака | Опис |
|---|---|
| \(\bar{\boldsymbol{B}}\) | Матрица везе деформације и померања са коригованим запреминским делом методом B-bar (запреминска компонента се замењује B-матрицом вреднованом у центру елемента) |
| \(\bar{\boldsymbol{F}}\) | Градијент деформације са коригованим запреминским делом методом F-bar: \(\bar{\boldsymbol{F}} = (J_0/J)^{1/3} \boldsymbol{F}\) |
| \(J_0\) | Однос запремине градијента деформације вреднованог у центру елемента \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\): \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\) |
| \(\boldsymbol{\alpha}\) | Вектор унутрашњих степени слободе код елемента са некомпатибилним модовима (коефицијенти додатних модова померања који не обезбеђују континуитет на граници елемента) |
| \(M_k(\boldsymbol{r})\) | Функције облика некомпатибилних модова: \(M_1=1-\xi^2\), \(M_2=1-\eta^2\), \(M_3=1-\zeta^2\) |
| \(h\) | Дебљина љускастог елемента |
| \(A\) | Површина попречног пресека гредног елемента |
| \(I\) | Други момент површине попречног пресека гредног елемента (око локалних оса \(y\) и \(z\) означава се са \(I_y\) и \(I_z\)) |
| \(G\) | Модул смицања: \(G = E/[2(1+\nu)]\) |
| \(L\) | Дужина гредног елемента |
| \(A_s\) | Површина смицања попречног пресека гредног елемента (у FrontISTR-у је \(A_s = A\)) |
| \(\Phi_y, \Phi_z\) | Коефицијенти који представљају допринос деформације смицања Тимошенкове греде: \(\Phi_y = 12EI_z/(GA_sL^2)\), \(\Phi_z = 12EI_y/(GA_sL^2)\) |
Повезане теме¶
- Тензорска нотација и математичке основе — Правила подебљаног означавања, Ајнштајнове конвенције сабирања и Војтове нотације
- Кретање, деформисање и деформација — Дефиниције конфигурација, градијента деформације и деформације
- Кретање, деформисање и деформација — Извођење једначина поља
- Линеарна еластичност — Експлицитне компоненте материјалне матрице \(D\)