Критеријум конвергенције¶

Као услов за прекид Њутн–Рафсонове итерације (Њутн–Рафсонова метода), FrontISTR користи два система бездимензионалних величина: критеријум норме резидуала и критеријум норме корекције. Оба имају исту дефиницију, без обзира на тип анализе (статичка анализа, динамичка анализа имплицитном методом) и на присуство или одсуство контакта.

Подела величина одлуке¶

У степенима слободе чвора мешане су компоненте различитих физичких димензија. Код елемената са 6 степени слободе, резидуал за транслационе степене слободе има димензију силе, док резидуал за ротационе степене слободе има димензију момента. Такође, код контактне анализе методом Лагранжевих множилаца (Контактна анализа), вектору резидуала додају се редови који одговарају контактном размаку (димензија дужине).

Ако би се ове величине сабирале у једну суму квадрата, вредност норме произвољно би се мењала у зависности од избора јединичног система, а значење прага не би било одређено. Зато FrontISTR величине за одлуку дели по димензијама, сваку од њих претходно бездимензионише одговарајућом референтном величином, па тек онда доноси одлуку.

Симбол	Компонента	Димензија
\(\tilde{\boldsymbol{R}}_t\)	Резидуал транслационих степени слободе (степени слободе чвора 1–3)	Сила
\(\tilde{\boldsymbol{R}}_r\)	Резидуал ротационих степени слободе (степени слободе чвора 4–6, само код елемената са 6 степени слободе)	Момент
\(d\boldsymbol{\lambda}\)	Корекција Лагранжовог множиоца	Сила

Степен слободе притиска код елемента са везом за флуид (4 степена слободе по чвору, \(u,v,w,p\)) не укључује се у одлуку.

Код гредних и љускастих елемената са 3 степена слободе чвора (641/761/781), ротације се изражавају степенима слободе 1–3 вирелних чворова који су упарени са транслационим чворовима. Пошто одлука не разликује вирелне чворове, резидуали вирелних чворова (моменти) такође су садржани у транслационој компоненти \(\tilde{\boldsymbol{R}}_t\). Исто важи и за критеријум норме корекције и за одлуку према максималној вредности.

Резидуал \(\tilde{\boldsymbol{R}}\) не садржи компоненте степени слободе на којима су назначена ограничења померања, јер резидуали који се појављују на тим степенима слободе одговарају реакцијама ограничења, а не грешкама равнотеже (Њутн–Рафсонова метода).

Критеријум норме резидуала¶

Резидуал \(\tilde{\boldsymbol{R}}_i\) на \(i\)-тој итерацији бездимензионише се величином сила које постоје у систему у том тренутку. Референтна сила \(F_\mathrm{ref}\) за транслациону компоненту и референтни момент \(M_\mathrm{ref}\) за ротациону компоненту

\[ F_\mathrm{ref} = \max\left( \|\boldsymbol{Q}_t\|,\ \|\boldsymbol{D}_t\| \right), \qquad M_\mathrm{ref} = \max\left( \|\boldsymbol{Q}_r\|,\ \|\boldsymbol{D}_r\| \right) \]

се дефинишу.

Овде је \(\boldsymbol{Q}\) вектор унутрашњих сила, а \(\boldsymbol{D}\) сума сила инерције и вязкозних сила

\[ \boldsymbol{D} = \boldsymbol{M}\ddot{\boldsymbol{u}}_{n+1} + \boldsymbol{C}\dot{\boldsymbol{u}}_{n+1} \]

је (Методе динамичке анализе), а код статичке анализе важи \(\boldsymbol{D} = \boldsymbol{0}\). Индекси \(t, r\) означавају транслациону, односно ротациону компоненту из претходног одељка. Величине за одлуку

\[ \frac{\|\tilde{\boldsymbol{R}}_{i,t}\|}{F_\mathrm{ref}} < \varepsilon_f, \qquad \frac{\|\tilde{\boldsymbol{R}}_{i,r}\|}{M_\mathrm{ref}} < \varepsilon_f \]

су.

Референтна сила узима се као максимална вредност норма унутрашњих сила и сила инерције и вязкозних сила, а не као њихов векторски збир \(\|\boldsymbol{Q} + \boldsymbol{D}\|\), јер је код слободног вибрања без дејства спољашњих сила у стању равнотеже \(\boldsymbol{Q} = -\boldsymbol{D}\), па би референтна величина заснована на векторском збиру пала на \(0\). Код максималне вредности норма такво поништавање се не догађа.

Када референтна величина падне испод унапред одређене доње границе (\(10^{-8}\)) (нпр. код прве итерације започете из стања без оптерећења), не дели се референтном величином, већ се сама норма резидуала узима за величину за одлуку. У том случају одлука се заснива на апсолутној вредности резидуала.

Критеријум норме корекције¶

Корекција \(d\boldsymbol{u}_i\) добијена на \(i\)-тој итерацији бездимензионише се инкрементом померања \(\Delta\boldsymbol{u}\) акумулираним до тада у том подкораку.

\[ \frac{\|d\boldsymbol{u}_{i,t}\|}{\|\Delta\boldsymbol{u}_t\|} < \varepsilon_d, \qquad \frac{\|d\boldsymbol{u}_{i,r}\|}{\|\Delta\boldsymbol{u}_r\|} < \varepsilon_d \]

То што је корекција у односу на акумулирани инкремент постала довољно мала значи да је итерација стагнирала. Користи се као допунска одлука за проблеме код којих се резидуал споро смањује. Ако је називник \(0\), сматра се да овај критеријум није задовољен.

Критеријум Лагранжовог множиоца¶

Код контактне анализе методом Лагранжевих множилаца, корекција множиоца бездимензионирана величином самих множиоца

\[ \frac{\|d\boldsymbol{\lambda}_i\|}{\max\left( \|\boldsymbol{\lambda}\|,\ F_\mathrm{ref} \right)} < \varepsilon_\lambda \]

се додаје у одлуку.

Пошто су ограничења контактних размака укључена у систем једначина као једначине за Лагранжеве множиоце, ако су множиоци конвергирали, сматра се да су ограничења задовољена. Сами резидуали размака, који имају димензију дужине, не укључују се у критеријум норме резидуала, јер се не могу сабирати са резидуалима сила.

Лагранжеви множиоци су контактне силе и имају исту димензију као и референтна сила \(F_\mathrm{ref}\), зато се називник доњом границом ограничава на \(F_\mathrm{ref}\). Нормализација само помоћу \(\|\boldsymbol{\lambda}\|\) учинила би одлуку безмерно строгом када контакт скоро да не носи оптерећење, а код чворова који тек што су ушли у контакт важи \(\|\boldsymbol{\lambda}\| = 0\) уз \(\|d\boldsymbol{\lambda}_i\| \neq 0\), па би одлуку било немогуће задовољити. Поступак када називник падне испод доње границе исти је као код критеријума норме резидуала.

Одлука према максималној вредности¶

Пошто је L2 норма сума квадрата по свим степенима слободе, резидуал који остаје само на неколико чворова, са повећањем броја чворова, све више се разређује у целини и оцењује се као мањи. Да би се открило локално неравнотежно стање, као код контактних чворова, може се истовремено користити и одлука добијена заменом L2 норме максималном вредношћу апсолутних вредности компоненти степена слободе у сваком од критеријума из претходних одељака.

Максимална вредност транслационе компоненте вектора \(\boldsymbol{v}\), за чвор \(I\) и степен слободе чвора \(k\),

\[ \|\boldsymbol{v}_t\|_\infty = \max_{I}\ \max_{k=1,2,3} |v_{Ik}| \]

се дефинише.

Ротациона компонента \(\|\boldsymbol{v}_r\|_\infty\) одређује се на исти начин за \(k = 4,5,6\), а за Лагранжов множилац узима се максимална вредност апсолутних вредности свих компоненти. Величине за одлуку добијају се тако што се L2 норма у сваком критеријуму, и у бројнику и у називнику, замењује овом максималном вредношћу.

\[ \frac{\|\tilde{\boldsymbol{R}}_{i,t}\|_\infty}{F^\infty_\mathrm{ref}} < \varepsilon^\infty_f, \qquad F^\infty_\mathrm{ref} = \max\left( \|\boldsymbol{Q}_t\|_\infty,\ \|\boldsymbol{D}_t\|_\infty \right) \]

\[ \frac{\|d\boldsymbol{u}_{i,t}\|_\infty}{\|\Delta\boldsymbol{u}_t\|_\infty} < \varepsilon^\infty_d, \qquad \frac{\|d\boldsymbol{\lambda}_i\|_\infty}{\max\left( \|\boldsymbol{\lambda}\|_\infty,\ F^\infty_\mathrm{ref} \right)} < \varepsilon^\infty_\lambda \]

Ротационе компоненте се третирају слично. Поступак када референтна величина падне испод доње границе и када је називник \(0\) исти је као код L2 критеријума.

Референтне величине такође се узимају као максималне вредности истог облика, како би се величине за одлуку одржале на нивоу упоредивом са L2 критеријумима и како би се могле користити са приближно једнаким праговима. Не дели се посебном референтном величином за сваку компоненту степена слободе, јер се у смеровима без оптерећења референтна величина приближава \(0\) и величина за одлуку губи значење.

Код одлуке према максималној вредности одређују се чвор и степен слободе који дају максималну вредност. FrontISTR то за резидуал и корекцију исписује у дневник за сваку итерацију.

Комбинација одлука¶

Свака од величина за одлуку наведених досад (за резидуал, корекцију и Лагранжов множилац, за транслационе и ротационе компоненте, уз разликовање L2 норме и максималне вредности) може се појединачно одредити да се користи у одлуци (CHECK) или да се не користи (SKIP). Подразумевано, све одлуке засноване на L2 норми су CHECK, а све одлуке засноване на максималној вредности SKIP.

Ако је задовољен било који од критеријума норме резидуала и критеријума норме корекције, сматра се да је постигнута конвергенција. Критеријум Лагранжовог множиоца је, пошто потврђује да су контактна ограничења задовољена, увек захтеван у анализама у којима постоје Лагранжеви множиоци. Унутар једног критеријума морају бити задовољене све ставке означене као CHECK, и међу транслационом и ротационом компонентом и између L2 норме и максималне вредности.

Да би се то изразило формулама, за групу величина за одлуку \(G\) дефинишу се следеће две:

\[ \mathrm{all\_ok}(G) = \bigwedge_{m \in G} \left( m \text{ је испуњен} \ \vee\ m \text{ је SKIP} \right), \qquad \mathrm{any\_check}(G) = \bigvee_{m \in G} \left( m \text{ је CHECK} \right) \]

\(\mathrm{all\_ok}(G)\) је тачно ако у \(G\) не постоји ниједна величина за одлуку означена као CHECK. Услов конвергенције

\[ \mathrm{all\_ok}(\text{Критеријум Лагранжовог множиоца}) \ \wedge\ \left\{ \left( \mathrm{any\_check}(\text{Критеријум норме корекције}) \wedge \mathrm{all\_ok}(\text{Критеријум норме корекције}) \right) \ \vee\ \left( \mathrm{any\_check}(\text{Критеријум норме резидуала}) \wedge \mathrm{all\_ok}(\text{Критеријум норме резидуала}) \right) \right\} \]

је.

Додавање \(\mathrm{any\_check}\) двема групама повезаним „или“ спречава да група без ниједне величине за одлуку означене као CHECK буде третирана као задовољена без стварне одлуке. Ротациона компонента код анализа без ротационих степени слободе и критеријум Лагранжовог множиоца код анализа без Лагранжевих множиоца не укључују се у одлуку чак и ако је назначено CHECK. Под подразумеваним поставкама услов конвергенције је

\[ \left( \text{Критеријум Лагранжовог множиоца} \right) \ \wedge\ \left\{ \left( \text{Критеријум норме корекције} \right) \ \vee\ \left( \text{Критеријум норме резидуала} \right) \right\} \]

а код анализа са ротационим степенима слободе оцењују се и транслациона и ротациона компонента, а код анализа без Лагранжевих множиоца оцењује се услов без критеријума Лагранжовог множиоца.

Начин навођења и подразумеване вредности прагова \(\varepsilon_f, \varepsilon_d, \varepsilon_\lambda\) одлука заснованих на L2 норми наведени су у !STEP, поставке CHECK/SKIP и прагови одлука заснованих на максималној вредности у !CONVERG_PARAM, а за смернице за избор међу њима погледајте Нелинеарна итерација и временска интеграција (функција).

Повезане теме¶

Њутн–Рафсонова метода — главни итеративни поступак
Методе динамичке анализе — дефиниције сила инерције и вязкозних сила
Нелинеарна итерација и временска интеграција (функција) — избор критеријума и подразумеване вредности