Модална анализа¶

Генерализовани проблем сопствених вредности¶

При анализи слободних вибрација континуума конструкција се просторно дискретизује и моделује као систем са више степени слободе и концентрисаним масама, као што је приказано на слици 2.3.1. За проблем непригушених слободних вибрација владајућа једначина (једначина кретања) гласи како следи.

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = 0 \label{eq:2.3.1} \end{equation}\]

Овде је $u$ генерализовани вектор померања, $M$ матрица масе, а $K$ матрица крутости. Нека је $\omega$ сопствена кружна фреквенција, нека су $a$ и $b$ произвољне константе које нису истовремено једнаке нули и нека је $x$ вектор. Дефинишимо функцију

\[\begin{equation} u(t) = (a \sin \omega t + b \cos \omega t ) x \label{eq:2.3.2} \end{equation}\]

Њен други извод је

\[\begin{equation} \ddot{u}(t) = -\omega^2 (a \sin \omega t + b \cos \omega t) x \label{eq:2.3.3} \end{equation}\]

Уврштавањем једначине $\eqref{eq:2.3.2}$ и једначине $\eqref{eq:2.3.3}$ у једначину $\eqref{eq:2.3.1}$ добија се

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = (a \sin \omega t + b \cos \omega t) (K-\omega^2 M) x = 0 \label{eq:2.3.4} \end{equation}\]

Тако се добија горња једначина.

За нетривијалну вибрацију израз $a \sin \omega t + b \cos \omega t$ није идентички једнак нули.

\[ (K-\omega^2M)x=0 \]

Стога важи горња релација. Ако се постави $\lambda=\omega^2$, добија се

\[\begin{equation} K x = \lambda M x \label{eq:2.3.5} \end{equation}\]

Тако се добија горња једначина.

Скалар $\lambda$ назива се сопствена вредност, вектор $x$ назива се сопствени вектор, а проблем изражен једначином $\eqref{eq:2.3.5}$ назива се генерализовани проблем сопствених вредности.

Сопствена кружна фреквенција $\omega$ добија се из сопствене вредности $\lambda=\omega^2$, а одговарајући сопствени вектор $x$ представља облик вибрирања.

Пример система са више степени слободе при непригушеним слободним вибрацијама

Слика 2.3.1 Пример система са више степени слободе при непригушеним слободним вибрацијама

Својства матрица и претпоставке¶

За генерализовани проблем сопствених вредности $Kx=\lambda Mx$, добијен у претходном одељку, у овом приручнику се претпоставља да су матрице симетричне. За комплексне матрице то одговара Хермитовим матрицама, а за реалне матрице симетричним матрицама.

Нека је $k_{ij}$ елемент $ij$ матрице $K$. Хермитово својство је

\[\begin{equation} k_{ij} = \bar{k}_{ji} \label{eq:2.3.6} \end{equation}\]

изражено горњом једначином, при чему је $\bar{k}_{ji}$ комплексно конјугована вредност од $k_{ji}$. За реалне матрице ова релација постаје $k_{ij}=k_{ji}$.

Реална симетрична матрица $H$ је позитивно дефинитна ако за сваки ненулти вектор $x$

\[\begin{equation} x^{t} H x > 0 \label{eq:2.3.7} \end{equation}\]

важи горња неједнакост. У том случају су све сопствене вредности матрице $H$ позитивне.

У структурном проблему сопствених вредности матрица масе $M$ обично се сматра позитивно дефинитном. Матрица крутости $K$, међутим, у зависности од ограничења може бити позитивно семидефинитна и може имати нулте сопствене вредности које одговарају модовима крутог тела.

Померена инверзна итерација¶

У практичној структурној анализи методом коначних елемената углавном нису потребне све сопствене вредности; често је довољно највише неколико сопствених вредности нижег реда. HEC-MW је намењен проблемима великих размера, код којих су матрице велике и изузетно ретке, са много нултих елемената. Зато је важно ефикасно израчунати сопствене вредности модова нижег реда узимајући у обзир ова својства.

За померај $\sigma$, ако $-\sigma$ није сопствена вредност и $K+\sigma M$ је несингуларна матрица, једначина $\eqref{eq:2.3.5}$ може се трансформисати на следећи начин.

\[\begin{equation} (K + \sigma M)^{-1} M x = \frac{1}{\lambda+\sigma} x \label{eq:2.3.8} \end{equation}\]

Ова трансформација не мења сопствени вектор $x$, а сопствену вредност $\lambda$ пресликава у $1/(\lambda+\sigma)$.

Према томе, што је $\lambda$ ближе вредности $-\sigma$, то је апсолутна вредност трансформисане сопствене вредности већа. У структурном проблему сопствених вредности важи $\lambda \geq 0$ и $\sigma \geq 0$, па се најнижа сопствена вредност пресликава у сопствену вредност са највећом апсолутном вредношћу. Коришћењем овог својства и применом на једначину $\eqref{eq:2.3.8}$ итеративне методе која тежи да најпре конвергира ка сопственим вредностима велике апсолутне вредности, сопствене вредности нижег реда могу се ефикасно добити у растућем редоследу.

Ова метода назива се померена инверзна итерација.

За анализе са ограничењима FrontISTR поставља $\sigma = 0$, а једначина $\eqref{eq:2.3.8}$ постаје $K^{-1} M x = \frac{1}{\lambda} x$, односно инверзна итерација без помераја. У слободно–слободној анализи без ограничења $K$ је сингуларна јер има нулте сопствене вредности које одговарају модовима крутог тела; задавањем позитивне вредности параметру $\sigma$ матрица $K+\sigma M$ се регуларизује. Вредност $\sigma$ задаје се помоћу SIGMA у !EIGEN.

Ланцошева метода¶

Разлог за употребу (поређење са Јакобијевом методом)¶

Јакобијева метода је добро позната класична метода.

Ефикасна је када је матрица мала и густа. Међутим, пошто су матрице које HEC-MW обрађује велике и ретке, Јакобијева метода се не користи; уместо ње примењује се итеративна Ланцошева метода.

Алгоритам и карактеристике¶

Ова метода, коју је К. Ланцош предложио педесетих година 20. века, представља алгоритам за тридијагонализацију матрице и има следеће карактеристике.

То је итеративна метода која може да спроводи прорачун уз задржавање реткости матрице.
Њене операције углавном се састоје од производа матрице и вектора, због чега је погодна за паралелизацију.
Погодна је за геометријску декомпозицију домена повезану са мрежама коначних елемената.
Омогућава ефикасне прорачуне ограничавањем броја сопствених вредности или опсега модова који се траже.

Ланцошева метода полази од почетног вектора, узастопно конструише ортогоналне векторе и добија базу Криловљевог потпростора.

У аритметици коначне прецизности грешке заокруживања могу довести до губитка ортогоналности вектора. Да би се овај утицај сузбио, имплементација у FrontISTR-у поново ортогонализује сваки вектор у односу на већ добијене Ланцошеве базне векторе.

Геометријско тумачење (Криловљев потпростор)¶

Применом следећих трансформација променљивих на једначину $\eqref{eq:2.3.8}$,

\[ A = (K + \sigma M)^{-1} M \]

\[\begin{equation} \frac{1}{\lambda+\sigma}= \zeta \label{eq:2.3.9} \end{equation}\]

проблем се може записати као

\[\begin{equation} A x = \zeta x \label{eq:2.3.10} \end{equation}\]

Тако се добија горња једначина.

За произвољан ненулти вектор $q_0$,

\[ q_0,\ Aq_0,\ A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0 \]

простор разапет овим векторима

\[ \mathcal{K}_m(A,q_0) = \operatorname{span} \{q_0,Aq_0,A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0\} \]

назива се Криловљев потпростор.

Ланцошева метода узастопно конструише базу овог Криловљевог потпростора.

FrontISTR користи следећи скаларни производ повезан са матрицом масе $M$

\[ \langle x,y\rangle_M = x^T M y \]

за ортонормирање базе. Скаларни производ $\langle x,y\rangle$ и норма $\|x\|$, приказани на следећим сликама, у прорачунима FrontISTR-а тумаче се као овај $M$-скаларни производ и одговарајућа $M$-норма

\[ \|x\|_M=\sqrt{x^T M x} \]

редом.

На произвољан вектор $q_0$ примењује се линеарна трансформација дефинисана матрицом $A$, као што је приказано на слици 2.3.2.

$Линеарна трансформација вектора $q_0$ матрицом $A$$

Слика 2.3.2 Линеарна трансформација вектора $q_0$ матрицом $A$

Трансформисани вектор се ортогонализује у простору који разапиње заједно са изворним вектором. Конкретно, спроводи се Грам-Шмитова ортогонализација као што је приказано на слици 2.3.3. Нека је добијени вектор $r_1$; његовим нормализовањем добија се $q_1$.

$Вектор $q_1$ ортогоналан на $q_0$$

Слика 2.3.3 Вектор $q_1$ ортогоналан на $q_0$

Истим поступком се из $q_1$ добија $q_2$. При томе је $q_2$ ортогоналан и на $q_1$ и на $q_0$, као што је приказано на слици 2.3.4.

$Вектор $q_2$ ортогоналан на $q_1$ и $q_0$$

Слика 2.3.4 Вектор $q_2$ ортогоналан на $q_1$ и $q_0$

На тај начин Ланцошева метода узастопно конструише ортонормирану базу Криловљевог потпростора. Теоријски, симетрија проблема сопствених вредности омогућава да се ова итерација изрази као трочлана рекурентна релација која обухвата најновије базне векторе.

Имплементација у FrontISTR-у ипак поново ортогонализује сваки вектор у односу на већ добијене Ланцошеве базне векторе помоћу $M$-скаларног производа, како би сузбила губитак ортогоналности изазван аритметиком коначне прецизности.

Тридијагонализација¶

У Ланцошевој итерацији у FrontISTR-у базни вектори се ортонормирају у односу на $M$-скаларни производ описан у претходном одељку, тако да

\[ q_i^T M q_j = \delta_{ij} \]

важи горња релација.

Користећи матрицу $A$ из једначине $\eqref{eq:2.3.10}$, теоријска Ланцошева итерација гласи

\[\begin{equation} A q_i = \beta_i q_{i-1} + \alpha_i q_i + \beta_{i+1} q_{i+1} \label{eq:2.3.11} \end{equation}\]

како је представљено горњом трочланом рекурентном релацијом.

Најпре се $\alpha_i$ дефинише на следећи начин.

\[ \alpha_i = q_i^T M A q_i \]

Затим се привремени резидуал дефинише као

\[ \tilde{r}_{i+1} = Aq_i - \beta_i q_{i-1} - \alpha_i q_i \]

што је приказано изнад.

Да би се сузбио губитак ортогоналности изазван аритметиком коначне прецизности, имплементација у FrontISTR-у поново ортогонализује $\tilde{r}_{i+1}$ у односу на већ добијене Ланцошеве базне векторе помоћу $M$-скаларног производа. Ако је $r_{i+1}$ резидуал после поновне ортогонализације, онда

\[\begin{equation} \beta_{i+1} = \sqrt{r_{i+1}^T M r_{i+1}}, \qquad q_{i+1} = \frac{r_{i+1}}{\beta_{i+1}} \label{eq:2.3.12} \end{equation}\]

важе горње релације.

Сложимо $m$ базних вектора добијених Ланцошевом итерацијом у

\[ Q_m=[q_0,q_1,\ldots,q_{m-1}] \]

Тада, после коначног броја Ланцошевих итерација,

\[\begin{equation} A Q_m = Q_m T_m + \beta_m q_m e_m^T \label{eq:2.3.13} \end{equation}\]

важи горња релација.

Овде је $e_m$ $m$-димензионални јединични вектор чија је $m$-та компонента 1, а све остале компоненте су нула, и

\[\begin{equation} T_m= \begin{pmatrix} \alpha_0 & \beta_1 & & &\\ \beta_1 & \alpha_1 & \beta_2 & &\\ & \ddots & \ddots & \ddots &\\ & & \beta_{m-2} & \alpha_{m-2}& \beta_{m-1}\\ & & & \beta_{m-1} & \alpha_{m-1} \end{pmatrix} \label{eq:2.3.14} \end{equation}\]

представља симетричну тридијагоналну матрицу.

Стога се сопствене вредности изворног проблема сопствених вредности великих размера могу апроксимирати израчунавањем сопствених вредности тридијагоналне матрице $T_m$.

Повезане теме¶

Анализа фреквентног одзива — Фреквентни одзив уз коришћење резултата модалне анализе
Типови анализе — Функционални преглед модалне анализе