Иди на текст

Верификација моделима једноставног облика

Еластична статичка анализа

У овој верификацији анализирана је конзолна греда са мрежом као на слици 9.1.1. За услове верификације анализирано је седам случајева, exA–exG, са различитим условима оптерећења приказаним на слици 9.1.2. Случај exG има исте услове оптерећења као exA, али представља случај верификације у којем се користи директни решавач.

Резултати верификације за сваки случај приказани су у табелама 9.1.1–9.1.7.

Пример мреже конзолне греде (хексаедарски елементи) Слика 9.1.1 Пример мреже конзолне греде (хексаедарски елементи)
(a) exA,G: Концентрисано оптерећење
(b) exD: Гравитација
(c) exB: Расподељено површинско оптерећење
(d) exE: Центрифугална сила
(e) exC: Запреминско оптерећење
(f) exF: Топлотно оптерећење
Ставка Вредност
Јунгов модул \(E = 4000.0\ \mathrm{kgf/mm^2}\)
Дужина \(L = 10.0\ \mathrm{mm}\)
Поасонов коефицијент \(\nu = 0.3\)
Површина попречног пресека \(A = 1.0\ \mathrm{mm^2}\)
Густина масе \(\rho = 8.0102 \times 10^{-10}\ \mathrm{kgf}\;\mathrm{s}^2/\mathrm{mm}^4\)
Други момент површине \(I = 1.0/12.0\ \mathrm{mm^4}\)
Гравитационо убрзање \(g = 9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\)
Коефицијент линеарног топлотног ширења \(\alpha = 1.0 \times 10^{-5}\)

Слика 9.1.2 Услови верификације модела конзолне греде

Табела 9.1.1 exA: Резултати верификације проблема концентрисаног оптерећења

Назив случаја Број елемената Предвиђена вредност: \(\delta_{max}= -1.000\) Напомена
NASTRAN Комерцијални софтвер FrontISTR
A231 40 -0.338 -0.371 -0.371 33 чвора / проблем равног напонског стања
A232 40 -0.942 -1.002 -1.002 105 чворова / проблем равног напонског стања
A241 20 -0.720 -0.711 -0.711 33 чвора / проблем равног напонског стања
A242 20 -0.910 -1.002 -1.002 85 чворова / проблем равног напонског стања
A341 240 -0.384 -0.384 -0.386 99 чворова
A342 240 -0.990 -0.990 -0.999 525 чворова
A351 80 -0.353 -0.355 -0.351 99 чворова
A352 80 -0.993 -0.993 -0.992 381 чвор
A361 40 -0.954 -0.985 -0.984 99 чворова
A362 40 -0.994 -0.993 -0.993 220 чворова
A731 40 - - -0.991 33 чвора / Директна метода
A741 20 - - -0.996 33 чвора / Директна метода

Табела 9.1.2 exB: Резултати верификације проблема расподељеног површинског оптерећења

Назив случаја Број елемената Предвиђена вредност: \(\delta_{max}= -3.750\) Напомена
NASTRAN Комерцијални софтвер FrontISTR
B231 40 -1.281 -1.403 -1.403 33 чвора / проблем равног напонског стања
B232 40 -3.579 -3.763 -3.763 105 чворова / проблем равног напонског стања
B241 20 -3.198 -2.680 -2.680 33 чвора / проблем равног напонског стања
B242 20 -3.426 -3.765 -3.765 85 чворова / проблем равног напонског стања
B341 240 -1.088 -1.449 -1.454 99 чворова
B342 240 -3.704 -3.704 -3.748 525 чворова
B351 80 -3.547 -1.338 -1.325 99 чворова
B352 80 -0.3717 -3.716 -3.713 381 чвор
B361 40 -3.557 -3.691 -3.688 99 чворова
B362 40 -3.726 -3.717 -3.717 220 чворова
B731 40 - - -3.722 33 чвора / Директна метода
B741 20 - - -3.743 33 чвора / Директна метода

Табела 9.1.3 exC: Резултати верификације проблема запреминског оптерећења

Назив случаја Број елемената Предвиђена вредност: \(\delta_{max} = -2.944 \times 10^{-5}\) Напомена
NASTRAN Комерцијални софтвер FrontISTR
C231 40 - -1.101e-5 -1.101e-5 33 чвора / проблем равног напонског стања
C232 40 - -2.951e-5 -2.951e-5 105 чворова / проблем равног напонског стања
C241 20 - -2.102e-5 -2.102e-5 33 чвора / проблем равног напонског стања
C242 20 - -2.953e-5 -2.953e-5 85 чворова / проблем равног напонског стања
C341 240 - -1.136e-5 -1.140e-5 99 чворова
C342 240 - -2.905e-5 -2.937e-5 525 чворова
C351 80 - -1.050e-5 -1.039e-5 99 чворова
C352 80 - -2.914e-5 -2.911e-5 381 чвор
C361 40 - -2.895e-5 -2.893e-5 99 чворова
C362 40 - -2.915e-5 -2.915e-5 220 чворова
C731 40 - - -2.922e-5 33 чвора / Директна метода
C741 20 - - -2.938e-5 33 чвора / Директна метода

Табела 9.1.4 exD: Резултати верификације проблема гравитације

Назив случаја Број елемената Предвиђена вредност: \(\delta_{max} = -2.944 \times 10^{-5}\) Напомена
NASTRAN Комерцијални софтвер FrontISTR
D231 40 -1.101e-5 -1.101e-5 -1.101e-5 33 чвора / проблем равног напонског стања
D232 40 -2.805e-5 -2.951e-5 -2.951e-5 105 чворова / проблем равног напонског стања
D241 20 -2.508e-5 -2.102e-5 -2.102e-5 33 чвора / проблем равног напонског стања
D242 20 -2.684e-5 -2.953e-5 -2.953e-5 85 чворова / проблем равног напонског стања
D341 240 -1.172e-5 -1.136e-5 -1.140e-5 99 чворова
D342 240 -2.906e-5 -2.905e-5 -2.937e-5 525 чворова
D351 80 -1.046e-5 -1.050e-5 -1.039e-5 99 чворова
D352 80 -2.917e-5 -2.914e-5 -2.911e-5 381 чвор
D361 40 -2.800e-5 -2.895e-5 -2.893e-5 99 чворова
D362 40 -2.919e-5 -2.915e-5 -2.915e-5 220 чворова
D731 40 - - -2.922e-5 33 чвора / Директна метода
D741 20 - - -2.938e-5 33 чвора / Директна метода

Табела 9.1.5 exE: Резултати верификације проблема центрифугалне силе

Назив случаја Број елемената Предвиђена вредност: \(\delta_{max} = 2.635 \times 10^{-3}\) Напомена
NASTRAN Комерцијални софтвер FrontISTR
E231 40 2.410e-3 2.616e-3 2.650e-3 33 чвора / проблем равног напонског стања
E232 40 2.447e-3 2.627e-3 2.628e-3 105 чворова / проблем равног напонског стања
E241 20 2.386e-3 2.622e-3 2.624e-3 33 чвора / проблем равног напонског стања
E242 20 2.387e-3 2.627e-3 2.629e-3 85 чворова / проблем равног напонског стања
E341 240 2.708e-3 2.579e-3 2.625e-3 99 чворова
E342 240 2.639e-3 2.614e-3 2.638e-3 525 чворова
E351 80 2.642e-3 2.598e-3 2.625e-3 99 чворова
E352 80 2.664e-3 2.617e-3 2.616e-3 381 чвор
E361 40 2.611e-3 2.603e-3 2.603e-3 99 чворова
E362 40 2.623e-3 2.616e-3 2.616e-3 220 чворова
E731 40 - - 2.619e-3 33 чвора / Директна метода
E741 20 - - 2.622e-3 33 чвора / Директна метода

Табела 9.1.6 exF: Резултати верификације проблема топлотног напрезања

Назив случаја Број елемената Предвиђена вредност: \(\delta_{max} = 1.000 \times 10^{-2}\) Напомена
NASTRAN Комерцијални софтвер FrontISTR
F231 40 - 1.016e-2 1.007e-2 33 чвора / проблем равног напонског стања
F232 40 - 1.007e-2 1.007e-2 105 чворова / проблем равног напонског стања
F241 20 - 1.010e-2 1.010e-2 33 чвора / проблем равног напонског стања
F242 20 - 1.006e-2 1.006e-2 85 чворова / проблем равног напонског стања
F341 240 - 1.047e-2 1.083e-2 99 чворова
F342 240 - 1.018e-2 1.022e-2 525 чворова
F351 80 - 1.031e-2 1.062e-2 99 чворова
F352 80 - 1.015e-2 1.017e-2 381 чвор
F361 40 - 1.026e-2 1.026e-2 99 чворова
F362 40 - 1.016e-2 1.016e-2 220 чворова

Табела 9.1.7 exG: Резултати верификације директне методе (проблем концентрисаног оптерећења)

Назив случаја Број елемената Предвиђена вредност: δmax= -1.000 Напомена
NASTRAN Комерцијални софтвер FrontISTR
G231 40 -0.338 -0.371 -0.371 33 чвора / проблем равног напонског стања
G232 40 -0.942 -1.002 -1.002 105 чворова / проблем равног напонског стања
G241 20 -0.720 -0.711 -0.711 33 чвора / проблем равног напонског стања
G242 20 -0.910 -1.002 -1.002 85 чворова / проблем равног напонског стања
G341 240 -0.384 -0.384 -0.386 99 чворова
G342 240 -0.990 -0.990 -0.999 525 чворова
G351 80 -0.353 -0.355 -0.351 99 чворова
G352 80 -0.993 -0.993 -0.992 381 чвор
G361 40 -0.954 -0.985 -0.984 99 чворова
G362 40 -0.994 -0.993 -0.993 220 чворова
G731 40 - - -0.991 33 чвора / Директна метода
G741 20 - - -0.996 33 чвора / Директна метода

Нелинеарна статичка анализа

(2-1) exnl1: Геометријски нелинеарна анализа

Модел верификације за случај exI исти је као модел за случајеве верификације exA–G. На слици 9.1.3 приказан је концептуални дијаграм модела верификације. За овај модел спроводи се геометријски нелинеарна анализа. Резултати верификације приказани су у табели 9.1.8.

Нелинеарни прорачун се изводи за референтно оптерећење \(P = 1.0\ \mathrm{kgf}\), са прираштајем оптерећења \(0.1P\) у 10 корака.

Модел верификације Слика 9.1.3 Модел верификације

Табела 9.1.8 exI: Резултати верификације (Историја максималног угиба)

Назив случаја 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 Линеарно решење
I231 - - - - - - - - - - -
I232 - - - - - - - - - - -
I241 - - - - - - - - - - -
I242 - - - - - - - - - - -
I341 0.039 0.077 0.116 0.154 0.193 0.232 0.270 0.309 0.348 0.386 0.386
I342 0.099 0.200 0.300 0.400 0.499 0.599 0.698 0.797 0.896 0.995 0.999
I351 0.035 0.070 0.105 0.141 0.176 0.211 0.246 0.281 0.316 0.351 0.351
I352 0.099 0.198 0.298 0.397 0.496 0.595 0.693 0.792 0.890 0.987 0.992
I361 0.070 0.139 0.209 0.278 0.348 0.417 0.487 0.556 0.625 0.694 0.984
I362 0.099 0.197 0.298 0.397 0.496 0.595 0.694 0.793 0.891 0.988 0.993

(2-2) exnl2: Анализа еластопластичне деформације

Овај проблем верификације заснован је на тесту NL1 организације NAFEMS (National Agency for Finite Element Methods and Standards, U.K.), а анализа еластопластичне деформације спроведена је уз геометријску нелинеарност и више закона ојачавања. Модел анализе приказан је на слици 9.1.4.

Модел анализе еластопластичне деформације

Слика 9.1.4 Модел анализе еластопластичне деформације

(1) Услови верификације

Ставка Вредност
Материјал Мизесов еластопластични материјал
Јунгов модул \(E = 250\ \mathrm{GPa}\)
Поасонов коефицијент \(\nu=0.25\)
Почетни напон течења \(5\ \mathrm{MPa}\)
Почетна деформација течења \(0.25\times10^{-4}\)
Коефицијент изотропног ојачавања \(H_i = 0\) или \(62.5\ \mathrm{GPa}\)

(2) Гранични услови

Ставка Гранични услови Вредност
Корак 1 Задато померање на чворовима 2 и 3 \(u_x = 0.2500031251 * 10^{-4}\)
Корак 2 Задато померање на чворовима 2 и 3 \(u_x = 0.25000937518 * 10^{-4}\)
Корак 3 Задато померање на чворовима 3 и 4 \(u_y = 0.2500031251 * 10^{-4}\)
Корак 4 Задато померање на чворовима 3 и 4 \(u_y = 0.25000937518 * 10^{-4}\)
Корак 5 Задато померање на чворовима 2 и 3 \(u_x = -0.25000937518 * 10^{-4}\)
Корак 6 Задато померање на чворовима 2 и 3 \(u_x = -0.2500031251 * 10^{-4}\)
Корак 7 Задато померање на чворовима 3 и 4 \(u_y = -0.25000937518 * 10^{-4}\)
Корак 8 Задато померање на чворовима 3 и 4 \(u_y = -0.2500031251 * 10^{-4}\)

Сви чворови који овде нису приказани потпуно су ограничени. Теоријско решење овог проблема је следеће.

деформација (\(\times10^{-4}\))
[\(\varepsilon_x\), \(\varepsilon_y\), \(\varepsilon_z\)]		 Еквивалентни напон (MPa)
[\(H_i=0\ H_k=0\); \(H_i=62.5\ H_k=0\)]
0.25, 0, 0 5.0; 5.0
0.50, 0, 0 5.0; 5.862
0.50, 0.25, 0 5.0; 5.482
0.50, 0.50, 0 5.0; 6.362
0.25, 0.50, 0 5.0; 6.640
0, 0.50, 0 5.0; 7.322
0, 0.25, 0 3.917; 4.230
0, 0, 0 5.0; 5.673

Насупрот томе, резултати прорачуна су следећи.

деформација (\(\times10^{-4}\))
[\(\varepsilon_x\), \(\varepsilon_y\), \(\varepsilon_z\)]		 Еквивалентни напон (MPa)
[\(H_i=0\ H_k=0\); \(H_i=62.5\ H_k=0\)]
\(\varepsilon_{x}\) \(\varepsilon_{y}\)
0.25, 0, 0 5.0 (0.0%); 5.0 (0.0%)
0.50, 0, 0 5.0 (0.0%); 5.862 (0.0%)
0.50, 0.25, 0 5.0 (0.0%); 5.482 (0.0%)
0.50, 0.50, 0 5.0 (0.0%); 6.362 (-0.05%)
0.25, 0.50, 0 5.0 (0.0%); 6.640 (-0.21%)
0, 0.50, 0 5.0 (0.0%); 7.322 (-0.34%)
0, 0.25, 0 3.824 (-2.4%); 4.230 (-2.70%)
0, 0, 0 5.0 (0.0%); 5.673 (5.673 (-2.50%)

Контактна анализа (1)

Овај проблем верификације заснован је на National Agency for Finite Element Methods and Standards (U.K.): контактном патч тесту CGS-4, и служи за тестирање функције контакта са трењем и коначним клизањем. Модел анализе приказан је на слици 9.1.5.

Модел контактне анализе

Слика 9.1.5 Модел контактне анализе

Услов равнотеже за овај проблем је следећи.

\[ F \cos \alpha - G \sin \alpha = \pm f_{c} \]

У фази пријањајућег трења сила трења је

\[ f_{c} = E_t \Delta u \]

док је у фази клизног трења

\[ f_{c} = \mu(G \cos \alpha + F \sin \alpha) \]

Тако се добија наведени однос.

Поређење резултата прорачуна и аналитичког решења је следеће.

\(\mu\) \(F/G\)Аналитичко решење \(F/G\)Резултат прорачуна
0.0 0.1 0.1
0.1 0.202 0.202
0.2 0.306 0.306
0.3 0.412 0.412

Контактна анализа (2): Херцов контактни проблем

У овој верификацији анализиран је Херцов контактни проблем бесконачно дугог цилиндра и бесконачне равни. Полупречник цилиндра је \(R = 8\ \mathrm{mm}\), а Јунгов модул \(E\) и Поасонов коефицијент \(\mu\) деформабилног тела износе \(1100\ \mathrm{MPa}\) и \(0.0\). Претпоставља се да је контактна површина довољно мала у односу на полупречник цилиндра; узимајући у обзир и симетрију проблема, анализа се спроводи на четвртини модела цилиндра.

Модел анализе Херцовог контактног проблема Слика 9.1.6 Модел анализе Херцовог контактног проблема

(1) Резултати верификације полупречника контакта

Теоријска једначина за израчунавање полупречника контакта је следећа.

\[ a = \sqrt{\frac{4FR}{\pi E^{*}}} \]

где је

\[ E^{*} = E/2(1 - \mu^{2}) \]

Тако се добија наведени израз. У овом прорачуну, при притиску \(F=100\), полупречник контакта је \(a=1.36\).

На слици 9.1.7 приказане су еквивалентне чворне силе у контактним тачкама. Екстраполацијом ове расподеле чворних сила добија се полупречник контакта.

Расподела еквивалентних чворних сила у контактним тачкама

Слика 9.1.7 Расподела еквивалентних чворних сила у контактним тачкама

(2) Резултати верификације максималног смичућег напона

Према теоријском решењу, на контактном положају

\[ z = 0.78a \]

максимални смичући напон износи

\[ \tau_{\max} = 0.30\sqrt{\frac{\text{FE}^{*}}{\pi R}} \]

То је теоријски максимални смичући напон. За услове овог прорачуна

\[ \tau_{\max} = 14.2 \]

То је теоријска вредност за дате услове. Насупрот томе,

\[ \tau_{\max} = 15.6 \]

То је добијени резултат прорачуна.

Расподела смичућег напона (максимална вредност=15.6 Слика 9.1.8 Расподела смичућег напона (максимална вредност=15.6)

(3) Модална анализа

Модел верификације за случајеве exJ–K исти је као модел за случајеве верификације exA–G. На слици 9.1.9 приказан је концептуални дијаграм модела верификације. За овај модел спроводи се модална анализа. Одређују се прве три сопствене фреквенције. У случају exJ користи се итеративни решавач, а у случају exK директни решавач. Резултати верификације приказани су у табелама 9.1.9–9.1.12.

Модел верификације Слика 9.1.9 Модел верификације

Сопствене фреквенције конзолне греде добијају се следећим једначинама.

Први мод

\[ n_1 = \frac{1.875^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } \]

Други мод

\[ n_2 = \frac{4.694^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } \]

Трећи мод

\[ n_3 = \frac{7.855^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } \]

Карактеристичне вредности модела верификације су

Ставка Вредност
\(I\) \(1.0/12.0\ \mathrm{mm}^4\)
\(E\) \(4000.0\ \mathrm{kgf/mm^2}\)
\(l\) \(10.0\ \mathrm{mm}\)
\(\omega\) \(7.85 \times 10^{-6}\ \mathrm{kgf/mm^3}\)
\(g\) \(9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\)

Према томе, прве три сопствене фреквенције су следеће.

Број мода Вредност
\(n_1\) 3.609e3
\(n_2\) 2.262e4
\(n_3\) 6.335e4

Табела 9.1.9 exJ: Резултати верификације итеративном методом (прва сопствена фреквенција)

Назив случаја Број елемената Предвиђена вредност: n1=3.609e3 Напомена
NASTRAN FrontISTR
J231 40 5.861e3 5.861e3 33 чвора / проблем равног напонског стања
J232 40 3.596e3 3.593e3 105 чворова / проблем равног напонског стања
J241 20 3.586e3 4.245e3 33 чвора / проблем равног напонског стања
J242 20 3.590e3 3.587e3 85 чворова / проблем равног напонског стања
J341 240 5.442e3 5.429e3 99 чворова
J342 240 3.621e3 3.595e3 525 чворова
J351 80 3.695e3 4.298e3 99 чворова
J352 80 3.610e3 3.609e3 381 чвор
J361 40 3.679e3 3.619e3 99 чворова
J362 40 3.611e3 3.606e3 220 чворова

Табела 9.1.10 exJ: Резултати верификације итеративном методом (друга сопствена фреквенција)

Назив случаја Број елемената Предвиђена вредност: n2=2.262e4 Напомена
NASTRAN FrontISTR
J231 40 3.350e4 3.351e4 33 чвора / проблем равног напонског стања
J232 40 2.163e4 2.156e4 105 чворова / проблем равног напонског стања
J241 20 2.149e4 2.516e4 33 чвора / проблем равног напонског стања
J242 20 2.149e4 2.143e4 85 чворова / проблем равног напонског стања
J341 240 3.145e4 3.138e4 99 чворова
J342 240 2.171e4 2.155e4 525 чворова
J351 80 2.208e4 2.546e4 99 чворова
J352 80 2.156e4 2.149e4 381 чвор
J361 40 2.202e4 2.168e4 99 чворова
J362 40 2.154e4 2.144e4 220 чворова

Напомена) У тродимензионалним (3D) моделима први и други мод су дегенерисани. Зато је трећа израчуната сопствена фреквенција у табели наведена као друга сопствена фреквенција.

Табела 9.1.11 exK: Резултати верификације директном методом (прва сопствена фреквенција)

Назив случаја Број елемената Предвиђена вредност: n1=3.609e3 Напомена
NASTRAN FrontISTR
J231 40 5.861e3 5.861e3 33 чвора / проблем равног напонског стања
J232 40 3.596e3 3.593e3 105 чворова / проблем равног напонског стања
J241 20 3.586e3 4.245e3 33 чвора / проблем равног напонског стања
J242 20 3.590e3 3.587e3 85 чворова / проблем равног напонског стања
J341 240 5.442e3 5.429e3 99 чворова
J342 240 3.621e3 3.595e3 525 чворова
J351 80 3.695e3 4.298e3 99 чворова
J352 80 3.610e3 3.609e3 381 чвор
J361 40 3.679e3 3.619e3 99 чворова
J362 40 3.611e3 3.606e3 220 чворова
J731 40 - 3.606e3 220 чворова
J741 20 - 3.594e3 220 чворова

Табела 9.1.12 exK: Резултати верификације директном методом (друга сопствена фреквенција)

Назив случаја Број елемената Предвиђена вредност: n2=2.262e4 Напомена
NASTRAN FrontISTR
J231 40 3.350e4 3.351e4 33 чвора / проблем равног напонског стања
J232 40 2.163e4 2.156e4 105 чворова / проблем равног напонског стања
J241 20 2.149e4 2.516e4 33 чвора / проблем равног напонског стања
J242 20 2.149e4 2.143e4 85 чворова / проблем равног напонског стања
J341 240 3.145e4 3.138e4 99 чворова
J342 240 2.171e4 2.155e4 525 чворова
J351 80 2.208e4 2.546e4 99 чворова
J352 80 2.156e4 2.149e4 381 чвор
J361 40 2.202e4 2.168e4 99 чворова
J362 40 2.154e4 2.144e4 220 чворова
J731 40 - 2.156e4 220 чворова
J741 20 - 2.153e4 220 чворова

Напомена) У тродимензионалним (3D) моделима први и други мод су дегенерисани. Зато је трећа израчуната сопствена фреквенција у табели наведена као друга сопствена фреквенција.

(4) Анализа провођења топлоте

Заједнички услови стационарне анализе провођења топлоте приказани су на слици 9.1.10. Појединачни услови случајева верификације exM–exT приказани су на слици 9.1.11. Користи се мрежа еквивалентна оној из случаја exA.

У табелама 9.1.13–9.1.20 приказане су табеле расподеле температуре као резултати верификације за сваки случај.

Анализа провођења топлоте
ABДужина између крајева \(L = 10.0\ \mathrm{m}\)
Површина попречног пресека \(A = 1.0\ \mathrm{mm^2}\)

Температурна зависност топлотне проводљивости

Топлотна проводљивост \(\lambda\) (W/(m·K)) Температура (°C)
50.0 0.0
35.0 500.0
20.0 1000.0

Слика 9.1.10 Услови верификације стационарне анализе провођења топлоте
exM:Линеарни материјал
exN:Проблем задате температуре
exO:Проблем концентрисаног топлотног флукса
exP:Проблем расподељеног топлотног флукса
exQ:Проблем конвективног преноса топлоте
exR:Проблем радијационог преноса топлоте
exS:Проблем запреминског генерисања топлоте
exT:Проблем унутрашњег зазора

Слика 9.1.11 Услови анализе по случају верификације

Табела 9.1.13 exM: Резултати верификације стационарног прорачуна са линеарним материјалом

Назив случаја Тип елемента елемената/Број чворова Растојање од краја A (m)
крај A 2.0 4.0 6.0 8,0 крај B
M361A 361 40/33 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361B 361 40/105 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361C 361 20/33 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361D 361 20/85 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361E 361 240/99 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361F 361 24/525 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361G 361 80/99 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0

Табела 9.1.14 exN: Резултати верификације проблема задате температуре

Назив случаја Тип елемента елемената/Број чворова Растојање од краја A (m)
крај A 2.0 4.0 6.0 8,0 крај B
Комерцијални софтвер 361 40/99 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N231 231 40/33 0.0 87.2 179.5 278.0 384.1 500.0
N232 232 40/105 0.0 86.0 178.3 276.8 382.9 500.0
N241 241 20/33 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N242 242 20/85 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N341 341 240/99 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N342 342 24/525 0.0 87.9 179.9 278.0 383.6 500.0
N351 351 80/99 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N352 352 80/381 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N361 361 40/99 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N362 362 40/330 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N731 731 40/33 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N741 741 20/33 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0

Табела 9.1.15 exO: Резултати верификације проблема концентрисаног топлотног флукса

Назив случаја Тип елемента елемената/Број чворова Растојање од краја A (m)
крај A 2.0 4.0 6.0 8,0 крај B
Комерцијални софтвер 361 40/99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O231 231 40/33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O232 232 40/105 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O241 241 20/33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O242 242 20/85 0.0 103.2 213.7 333.4 465.2 618.0
O341 341 240/99 - - - - - -
O342 342 24/525 0.0 104.4 214.9 334.7 466.3 614.6
O351 351 80/99 - - - - - -
O352 352 80/381 0.0 103.2 213.7 333.3 465.0 624.2
O361 361 40/99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O362 362 40/330 0.0 103.2 213.7 333.4 465.5 623.5
O731 731 40/33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.5
O741 741 20/33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6

Табела 9.1.16 exP: Резултати верификације проблема расподељеног топлотног флукса

Назив случаја Тип елемента елемената/Број чворова Растојање од краја A (m)
крај A 2.0 4.0 6.0 8,0 крај B
Комерцијални софтвер 361 40/99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P231 231 40/33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P232 232 40/105 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P241 241 20/33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P242 242 20/85 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P341 341 240/99 - - - - - -
P342 342 24/525 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P351 351 80/99 - - - - - -
P352 352 80/381 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P361 361 40/99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P362 362 40/330 0.0 103.2 213.7 333.4 465.5 612.6
P731 731 40/33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.5
P741 741 20/33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6

Табела 9.1.17 exQ: Резултати верификације проблема конвективног преноса топлоте

Назив случаја Тип елемента елемената/Број чворова Растојање од краја A (m)
крај A 2.0 4.0 6.0 8,0 крај B
Комерцијални софтвер 361 40/99 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q231 231 40/33 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q232 232 40/105 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q241 241 20/33 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q242 242 20/85 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q341 341 240/99 - - - - - -
Q342 342 24/525 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q351 351 80/99 - - - - - -
Q352 352 80/381 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q361 361 40/99 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q362 362 40/330 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q731 731 40/33 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q741 741 20/33 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2

Табела 9.1.18 exR: Резултати верификације проблема радијационог преноса топлоте

Назив случаја Тип елемента елемената/Број чворова Растојање од краја A (m)
крај A 2.0 4.0 6.0 8,0 крај B
Комерцијални софтвер 361 40/99 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R231 231 40/33 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R232 232 40/105 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R241 241 20/33 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R242 242 20/85 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R341 341 240/99 - - - - - -
R342 342 24/525 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R351 351 80/99 - - - - - -
R352 352 80/381 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R361 361 40/99 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R362 362 40/330 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R731 731 40/33 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R741 741 20/33 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2

Табела 9.1.19 exS: Резултати верификације проблема запреминског генерисања топлоте

Назив случаја Тип елемента елемената/Број чворова Растојање од краја A (m)
крај A 2.0 4.0 6.0 8,0 крај B
Комерцијални софтвер 361 40/99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S231 231 40/33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S232 232 40/105 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S241 241 20/33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S242 242 20/85 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S341 341 240/99 - - - - - -
S342 342 24/525 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S351 351 80/99 - - - - - -
S352 352 80/381 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S361 361 40/99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S362 362 40/330 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S731 731 40/33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S741 741 20/33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6

Табела 9.1.20 exT: Резултати верификације проблема унутрашњег зазора

Назив случаја Тип елемента елемената/Број чворова Растојање од краја A (m)
крај A 2.0 4.0 6.0 8,0 крај B
Комерцијални софтвер 361 40/99 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S231 231 40/33 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S232 232 40/105 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S241 241 20/33 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S242 242 20/85 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S341 341 240/99 - - - - - -
S342 342 24/525 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S351 351 80/99 - - - - - -
S352 352 80/381 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S361 361 40/99 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S362 362 40/330 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S731 731 40/33 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S741 741 20/33 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0

Линеарна динамичка анализа

У случају exW спроведена је линеарна динамичка анализа исте конзолне греде као у ставци (1). Услови верификације приказани су на слици 9.1.12. Овде је за исту мрежу испитан утицај временског прираштаја на резултате. Као методе динамичке анализе коришћене су и имплицитна и експлицитна метода, а употребљени су типови елемената 361 и 342. Резултати верификације приказани су у табели 9.1.22 и на сликама 9.1.13–9.1.15.

Модел анализе Модел анализе

Временски ток спољашње силе F Временски ток спољашње силе F

Теоријско решење померања побудне тачке:

\[ F(t)=F_0 I(t) \]

где је

\[ \(F_0:\ \text{Константан вектор}\) \]
\[ I(t)= \begin{cases} 0, t < 0 \\\ 1, 0 \leq t \end{cases} \]
\[ u(t) = \frac{F_0 l^3}{EI} \sum^{\infty}_{i=1} \frac{1-\cos{\omega_i t}}{{\lambda_i}^4} \left\lbrace \cosh{\lambda_i}-\cos{\lambda_i}-\frac{\cosh{\lambda_i} + \cos{\lambda_i}}{\sin{\lambda_i}+\sin{\lambda_i}} (\sinh{\lambda_i} - \sin{\lambda_i}) \right\rbrace^2 \]

Слика 9.1.12 Услови верификације линеарне динамичке анализе

Услови верификације:
Дужина \(L\) \(10.0\ \mathrm{mm}\)
Ширина пресека \(a\) \(1.0\ \mathrm{mm}\)
Висина пресека \(b\) \(1.0\ \mathrm{mm}\)
Јунгов модул \(E\) \(4000.0\ \mathrm{kgf/mm^2}\)
Поасонов коефицијент \(\nu\) \(0.3\)
Густина \(\rho\) \(1.0 \times 10^{-9}\ \mathrm{kgf}\;\mathrm{s}^2/\mathrm{mm}^4\)
Гравитационо убрзање \(g\) \(9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\)
Спољашња сила \(F_0\) \(1.0\ \mathrm{kgf}\)
елемената линеарни хексаедарски елемент
квадратни тетраедарски елемент
Метода решавања Имплицитна метода
Параметар Њумарк-\(\beta\) методе \(\gamma\) 1/2
Параметар \(\beta\) Њумарк-\(\beta\) методе 1/4
Експлицитна метода
Пригушење Нема

Табела 9.1.21 Услови верификације линеарне динамичке анализе (наставак)

Назив случаја Тип елемента Број чворова Број елемената Метода решавања Временски прираштај \(\Delta t\) (s)
W361_c0_im_m2_t1 361 99 40 Имплицитна метода 1.0E-06
W361_c0_im_m2_t2 361 99 40 Имплицитна метода 1.0E-05
W361_c0_im_m2_t3 361 99 40 Имплицитна метода 1.0E-04
W361_c0_ex_m2_t1 361 99 40 Имплицитна метода 1.0E-08
W361_c0_ex_m2_t2 361 99 40 Имплицитна метода 1.0E-07
W361_c0_ex_m2_t3 361 99 40 Имплицитна метода 1.0E-06
W342_c0_im_m2_t1 342 525 240 Експлицитна метода 1.0E-06
W342_c0_im_m2_t2 342 525 240 Експлицитна метода 1.0E-05
W342_c0_im_m2_t3 342 525 240 Експлицитна метода 1.0E-04
W342_c0_ex_m2_t1 342 525 240 Експлицитна метода 1.0E-08
W342_c0_ex_m2_t2 342 525 240 Експлицитна метода 5.0E-08
W342_c0_ex_m2_t3 342 525 240 Експлицитна метода 1.0E-07

Табела 9.1.22 exW: Резултати верификације линеарне динамичке анализе конзолне греде

Назив случаја Тип елемента Број чворова Број елемената Метода решавања Померање у z смеру у тренутку \(t = 0.002\ \mathrm{s}\) (mm)
W361_c0_im_m2_t1 361 99 40 Имплицитна метода 1.9753 1.9302
W361_c0_im_m2_t2 361 99 40 Имплицитна метода 1.9753 1.8686
W361_c0_im_m2_t3 361 99 40 Имплицитна метода 1.9753 0.3794
W361_c0_ex_m2_t1 361 99 40 Имплицитна метода 1.9753 1.9302
W361_c0_ex_m2_t2 361 99 40 Имплицитна метода 1.9753 1.9247
W361_c0_ex_m2_t3 361 99 40 Имплицитна метода 1.9753 Дивергенција
W342_c0_im_m2_t1 342 525 240 Експлицитна метода 1.9753 1.9431
W342_c0_im_m2_t2 342 525 240 Експлицитна метода 1.9753 1.8719
W342_c0_im_m2_t3 342 525 240 Експлицитна метода 1.9753 0.3873
W342_c0_ex_m2_t1 342 525 240 Експлицитна метода 1.9753 1.9359
W342_c0_ex_m2_t2 342 525 240 Експлицитна метода 1.9753 1.9358
W342_c0_ex_m2_t3 342 525 240 Експлицитна метода 1.9753 Дивергенција

Деформисани облик конзолне греде и расподела еквивалентног напона Слика 9.1.13 Деформисани облик конзолне греде и расподела еквивалентног напона

(a) Тип елемента 361:Имплицитна метода (a) Тип елемента 361:Имплицитна метода

(b) Тип елемента 361:Експлицитна метода (b) Тип елемента 361:Експлицитна метода

Слика 9.1.14 Временски ток померања побудне тачке \(u_z\)

(a) Тип елемента 342:Имплицитна метода (a) Тип елемента 342:Имплицитна метода

(b) Тип елемента 342:Експлицитна метода (b) Тип елемента 342:Експлицитна метода

Слика 9.1.15 Временски ток померања побудне тачке \(u_z\)

Анализа фреквенцијског одзива

У овој верификацији спроведена је анализа фреквенцијског одзива конзолне греде, а резултати су верификовани поређењем са резултатима општег комерцијалног софтвера. У наставку су приказани модел анализе и услови верификације.

Услови анализе:
Јунгов модул \(E\) \(210000\ \mathrm{N/mm^2}\)
Поасонов коефицијент \(\nu\) \(0.3\)
Густина \(\rho\) \(7.89 \times 10^{-9}\ \mathrm{t/mm^3}\)
Гравитационо убрзање \(g\) \(9800.0\ \mathrm{mm/s^2}\)
Оптерећење \(F_0\) \(1.0\ \mathrm{N}\)
Параметар Рејлијевог пригушења \(R_m\) \(0.0\)
Параметар Рејлијевог пригушења \(R_k\) \(7.2E-07\)

Слика 9.1.16 Модел анализе (линеарни тетраедарски елементи; 126 елемената, 55 чворова)

Приказано је првих пет сопствених фреквенција добијених модалном анализом и фреквенцијски одзив у тачки побуде.

Мод FrontISTR Комерцијални софтвер
1 14952 14952
2 15002 15003
3 84604 84539
4 84771 84697
5 127054 126852

Зависност амплитуде померања побудне тачке од фреквенције Слика 9.1.17 Зависност амплитуде померања побудне тачке од фреквенције