Gå till innehållet

Translation update pending

The Swedish translation may be out of date because the Japanese source has changed. The existing translation remains available while it is being updated.

Avancerade elementformuleringar

Den standardmässiga förskjutningsbaserade formulering som presenteras i Formulering av tredimensionella solida element uppvisar en alltför stor artificiell styvhet, så kallad låsning (volymlåsning eller skjuvlåsning), när den tillämpas på nästan inkompressibla material eller tunnväggiga strukturer där böjning dominerar. För att undvika detta tillhandahåller FrontISTR B-bar- och F-bar-metoderna, som endast ersätter volymdelen av B-matrisen respektive deformationsgradienten; inkompatibla element med interna frihetsgrader; u-p-blandelement som behandlar trycket som ett oberoende okänt fält; samt MITC-skal- och balkelement specialiserade för platt- och balkstrukturer.

Detta kapitel sammanfattar formuleringarna för dessa avancerade element och strukturelement, elementtyp för elementtyp.

B-bar-metoden

När ett linjärt hexaederelement med 8 noder används för ett nästan inkompressibelt material kan töjningsfältet inom ett element komma i konflikt med villkoret om konstant volym, vilket ger upphov till en alltför stor styvhet som kallas volymlåsning. B-bar-metoden mildrar denna överbegränsning genom att ersätta de komponenter i B-matrisen som bidrar till volymutvidgning med värden utvärderade i elementets centrum [Hughes1980].

Låt B-matrisen som beräknas från formfunktionernas spatiala derivator i elementets centrum \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) betecknas \(\bar{\boldsymbol{B}}\), och låt den vanliga B-matrisen i integrationspunkten \(\boldsymbol{r}\) betecknas \(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})\). I sambandet mellan förskjutning och töjning för nod \(\alpha\) och frihetsgrad \(i\) modifieras volymtöjningskomponenterna \((\varepsilon_{11}, \varepsilon_{22}, \varepsilon_{33})\) genom att addera

\[ \Delta B_{i\alpha} = \tfrac{1}{3}\bigl(\bar{B}_{i\alpha}(\boldsymbol{0}) - B_{i\alpha}(\boldsymbol{r})\bigr) \]

För skjuvkomponenterna \((\varepsilon_{12}, \varepsilon_{23}, \varepsilon_{31})\) används den vanliga \(\boldsymbol{B}\). Elementstyvheten och den interna kraftvektorn sätts samman med den resulterande B-bar-matrisen.

FrontISTR tillhandahåller denna formulering specifikt för det linjära hexaederelementet med 8 noder (element-ID 361; se Elementnumreringssystem), och den kan tillämpas på formuleringar för små deformationer, Total Lagrange och Updated Lagrange.

F-bar-metoden

Vid finita deformationer ingår volymförändringen icke-linjärt genom deformationsgradienten \(\boldsymbol{F}\). F-bar-metoden [deSouzaNeto1996] tillämpar en behandling mot volymlåsning som är analog med B-bar-metoden, men på deformationsgradientnivå.

Låt volymförhållandet för deformationsgradienten utvärderad i elementets centrum \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) vara \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\), och låt volymförhållandet i en integrationspunkt vara \(J = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\). Deformationsgradienten i integrationspunkten ersätts med

\[ \bar{\boldsymbol{F}} = \left(\frac{J_0}{J}\right)^{1/3} \boldsymbol{F} \]

Detta ger \(\det \bar{\boldsymbol{F}} = J_0\), så att volymförhållandet i hela elementet anpassas till värdet i elementets centrum. Den ersatta \(\bar{\boldsymbol{F}}\) används för spänningsutvärdering och konstruktion av töjnings-förskjutningsmatrisen, och elementets tangentstyvhet inkluderar de ytterligare termer som hör samman med denna ersättning.

FrontISTR implementerar F-bar-metoden specifikt för det linjära hexaederelementet med 8 noder, och den kan tillämpas på såväl små deformationer som icke-linjär geometri enligt Total Lagrange / Updated Lagrange.

Inkompatibla element

Det linjära hexaederelementet med 8 noder saknar de töjningsmoder som krävs för böjning och uppvisar böjlåsning i problem där böjning dominerar. Inkompatibla element [Taylor1976] inför ytterligare förskjutningsmoder inne i elementet för att kompensera för denna brist.

Utöver elementets nodförskjutningar \(\boldsymbol{u}^e\) införs frihetsgrader för inkompatibla moder \(\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{R}^{9}\), som endast finns inne i elementet, som 3 riktningar × 3 moder per element, och förskjutningsfältet approximeras som

\[ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha=1}^{8} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha + \sum_{k=1}^{3} M_k(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{\alpha}_k \]

För de naturliga koordinaterna \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\) väljs de inkompatibla formfunktionerna som \(M_1 = 1 - \xi^2\), \(M_2 = 1 - \eta^2\) och \(M_3 = 1 - \zeta^2\). De garanterar inte kontinuitet över elementgränserna, men de tillför ett internt rum som kan återge de töjningar som hör till böjmoder.

Elementstyvheten sätts först samman i blockform med externa och interna frihetsgrader

\[ \begin{bmatrix} \boldsymbol{K}_{dd} & \boldsymbol{K}_{d\alpha} \\ \boldsymbol{K}_{\alpha d} & \boldsymbol{K}_{\alpha\alpha} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u}^e \\ d\boldsymbol{\alpha} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{F}^e_{\text{ext}} \\ \boldsymbol{0} \end{bmatrix} \]

Efter assemblering i denna form eliminerar statisk kondensering de interna frihetsgraderna med \(d\boldsymbol{\alpha} = -\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\boldsymbol{K}_{\alpha d}\,d\boldsymbol{u}^e\), vilket ger den elementstyvhet som endast omfattar de externa frihetsgraderna

\[ \boldsymbol{K}^e = \boldsymbol{K}_{dd} - \boldsymbol{K}_{d\alpha}\,\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\,\boldsymbol{K}_{\alpha d} \]

och som förs vidare till den globala assembleringen.

FrontISTR implementerar det inkompatibla elementet specifikt för det linjära hexaederelementet med 8 noder (C3D8IC), och det kan tillämpas på formuleringar för små deformationer, Total Lagrange och Updated Lagrange.

U-P-blandelement

Medan B-bar- och F-bar-metoderna korrigerar volymkomponenten inom ett förskjutningsbaserat ramverk använder u-p-blandelementet (U-P) en blandad formulering [Bathe1996] som inför trycket \(\lambda\) som ett okänt fält oberoende av förskjutningen. För nästan inkompressibla material, såsom gummiliknande material med Poissons tal mycket nära 0.5 eller metaller efter plastisk deformation, orsakar upprätthållande av villkoret om konstant volym enbart med förskjutningsfältet volymlåsning; genom att behandla trycket som en oberoende variabel mildras denna begränsning.

Spänningen delas upp i deviatoriska och tryckrelaterade komponenter enligt

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} + \lambda\,\boldsymbol{I}, \qquad \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} = \mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\,\boldsymbol{\varepsilon} \]

Här är \(\mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\) den deviatoriska elasticitetsmatris som erhålls genom att från elasticitetsmatrisen avlägsna den volymdel som är proportionell mot bulkmodulen \(K\). Trycket \(\lambda\) och volymtöjningen \(g = \mathrm{tr}\,\boldsymbol{\varepsilon}\) är kopplade genom villkoret via kompressibiliteten \(\alpha^{-1} = 1/K\)

\[ g - \alpha^{-1}\lambda = 0 \]

Diskretisering med förskjutningen \(\boldsymbol{u}\) och trycket \(\lambda\) som okända ger det kopplade elementsystemet

\[ \begin{bmatrix} \mathbf{K}_{uu} & \mathbf{K}_{up} \\ \mathbf{K}_{up}^{T} & \mathbf{K}_{pp} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u} \\ d\lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{f}_{u} \\ \boldsymbol{f}_{p} \end{bmatrix} \]

där \(\mathbf{K}_{uu}\) innehåller det deviatoriska elastiska bidraget och, vid finita deformationer, den geometriska styvheten; \(\mathbf{K}_{up}\) kopplar volymtöjning och tryck; och \(\mathbf{K}_{pp} = -\int \alpha^{-1}\,\boldsymbol{N}_p \boldsymbol{N}_p^{T}\,dV\) är tryckstabiliseringstermen (\(\boldsymbol{N}_p\) är tryckets formfunktion). Eftersom tryckets frihetsgrader är interna för elementet utförs statisk kondensering i formen

\[ \mathbf{K}_{\mathrm{eff}} = \mathbf{K}_{uu} - \mathbf{K}_{up}\,\mathbf{K}_{pp}^{-1}\,\mathbf{K}_{up}^{T} \]

och den effektiva styvhet som endast omfattar de externa frihetsgraderna (förskjutning) förs vidare till den globala assembleringen.

FrontISTR implementerar U-P-elementet specifikt för det linjära hexaederelementet med 8 noder, med en tryckfrihetsgrad per element (konstant inom elementet). Det kan tillämpas på formuleringar för små deformationer, Total Lagrange och Updated Lagrange. I Updated Lagrange uppdateras den deviatoriska spänningen med en objektiv spänningshastighet (av Jaumann/Hughes-Winget-typ), varefter trycket \(\lambda\,\boldsymbol{I}\) påförs med det värde som erhållits genom statisk kondensering.

Skalelement

Skalelement baserade på Reissner-Mindlins platt-/skalteori används för tunnväggiga platt- och skalstrukturer. När tjockleken minskar överskattar lågordningselement för plattor/skal som är baserade på förskjutning den tvärgående skjuvtöjningen genom en mekanism analog med volymlåsning (skjuvlåsning), vilket gör att styvheten för böjmoder ökar alltför mycket. MITC-metoden (Mixed Interpolation of Tensorial Components) [Dvorkin1984] [Bathe1986] undviker detta problem genom att endast sampla om skjuvtöjningskomponenterna vid fördefinierade kopplingspunkter i elementet och interpolera de samplade värdena tillbaka över elementet.

Noderna i ett MITC-skalelement ligger på mittplanet, och varje nod har sex frihetsgrader: tre translationskomponenter och tre rotationskomponenter kring mittplanets normalkoordinatsystem. Elementstyvheten utvärderas genom tredimensionell Gaussintegration över mittplanets naturliga koordinater och tjockleksriktningen, och tjockleken \(h\) anges som en elementegenskap vid konstitutiv utvärdering.

FrontISTR tillhandahåller MITC3 (element-ID 731), MITC4 (741) och MITC9 (743), vilka representeras av ett enda mittplanslager, samt skiktade skalelement MITC3-shell361 (761, 3\(\times\)2 noder, 3 frihetsgrader per nod) och MITC4-shell361 (781, 4\(\times\)2 noder, 3 frihetsgrader per nod), vars noder är ordnade i två lager genom tjockleken. I de skiktade skalelementen består nodernas frihetsgrader endast av tre translationskomponenter, medan böjmoder som motsvarar rotationsfrihetsgrader representeras av arrangemanget med två lager.

Balkelement

Stångformiga konstruktionsdelar såsom balkar och ramkonstruktioner diskretiseras med balkelement. Balkelement representerar axial deformation, böjning och torsion med enbart translationer och rotationer hos noder på balkaxeln, medan deformation inom tvärsnittet representeras genom sektionskonstanter.

Varje balknod har sex frihetsgrader: tre translationskomponenter och tre rotationskomponenter. Elementstyvheten erhålls genom att bilda styvhetsmatriser i sluten form för axial deformation, böjning i två riktningar och torsion i ett lokalt koordinatsystem som definieras av elementaxeln och den referensaxel som anges i sektionsdata, och därefter transformera dem till det globala koordinatsystemet. Tvärsnittsarean \(A\), de andra areamomenten \(I_y\) och \(I_z\) kring de lokala \(y\)- och \(z\)-axlarna samt torsionskonstanten anges som sektionsdata. Tillsammans med materialets Youngs modul \(E\) och skjuvmodulen \(G\), som härleds från Youngs modul och Poissons tal, bestämmer de respektive styvhetskoefficienter.

För böjning finns två formuleringar: Bernoulli-Euler-balken, som antar att tvärsnittet förblir vinkelrätt mot balkaxeln efter deformation och försummar skjuvdeformation, och Timoshenko-balken, som tar hänsyn till skjuvdeformation. Båda kan väljas för det tvånodiga balkelementet 611, med Bernoulli-Euler-balken som standard. För Timoshenko-balken, med elementlängden \(L\), ingår koefficienterna som beskriver skjuvdeformationens bidrag,

\[ \Phi_y = \frac{12 E I_z}{G A_s L^2}, \qquad \Phi_z = \frac{12 E I_y}{G A_s L^2} \]

i styvhetskoefficienterna för respektive böjplan. Till exempel är styvhetskoefficienten för utböjning i lokal \(y\)-riktning \(12 E I_z / \{ L^3 (1 + \Phi_y) \}\). Här är \(A_s\) skjuvarean. Eftersom FrontISTR:s sektionsdata inte tillhandahåller \(A_s\) separat används \(A_s = A\). Detta motsvarar en skjuvkorrigeringsfaktor på 1. Om \(\Phi_y = \Phi_z = 0\) fås Bernoulli-Euler-balkens styvhet.

Element 641 är ett element med blandade frihetsgrader som representerar en balk med två noder med translationsfrihetsgrader och två noder med rotationsfrihetsgrader, och det är formulerat som en Bernoulli-Euler-balk.

Relaterade ämnen