Gå till innehållet

Translation update pending

The Swedish translation may be out of date because the Japanese source has changed. The existing translation remains available while it is being updated.

Lista över symboler för fysikaliska storheter

Den här sidan listar symbolerna för fysikaliska storheter som används i FrontISTR:s teorimanual. För notationskonventioner (fetstil för vektorer och tensorer, Einsteins summakonvention och Voigt-notation), se Tensornotation och matematiska grunder.

Konfigurationer och koordinatsystem

Symbol Beskrivning
\(\boldsymbol{X}\) Positionsvektor för en materialpunkt i referenskonfigurationen (initialkonfigurationen), dvs. materialkoordinater
\(\boldsymbol{x}\) Positionsvektor för en materialpunkt i den aktuella konfigurationen, dvs. rumsliga koordinater
\(\phi(\boldsymbol{X}, t)\) Rörelseavbildning: \(\boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t)\)
\(\Omega_0\) Område som kroppen upptar i referenskonfigurationen
\(\Omega\) Område som kroppen upptar i den aktuella konfigurationen
\(\Gamma_0\) Rand till \(\Omega_0\)
\(\Gamma\) Rand till \(\Omega\)
\(\Gamma_B, \Gamma_{0B}\) Geometrisk rand (förskjutningsrand): rand i aktuell/referenskonfiguration där \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) föreskrivs
\(\Gamma_t, \Gamma_{0t}\) Mekanisk rand: rand i aktuell/referenskonfiguration där \(\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) (eller \(\boldsymbol{P}\boldsymbol{N} = \bar{\boldsymbol{t}}\)) föreskrivs
\(\boldsymbol{n}\) Utåtriktad enhetsnormalvektor till en yta i den aktuella konfigurationen
\(\boldsymbol{N}\) Utåtriktad enhetsnormalvektor till en yta i referenskonfigurationen
\(t\) Tid

Konvention: Fysikaliska storheter i referenskonfigurationen betecknas med versaler eller indexet \(0\), medan storheter i den aktuella konfigurationen betecknas med gemener.

Tid och inkrement (inkrementell analys)

Symbol Beskrivning
\(\Delta t\) Tidsinkrement: \(\Delta t = t_{n+1} - t_n\)
\(^{t}(\cdot)\) Fysikalisk storhet vid tiden \(t\) (vänster upphöjt index). Exempel: \(^{t}\boldsymbol{\sigma}\) är Cauchy-spänningen vid tiden \(t\)
\(^{t}\Omega\) Den aktuella konfigurationens område vid tiden \(t\)
\(^{t}\Gamma\) Den aktuella konfigurationens rand vid tiden \(t\)

Konvention: Vid inkrementell analys behandlas tillståndet fram till tiden \(t\) som känt, och tillståndet vid tiden \(t + \Delta t\) löses som okänt. Det vänstra upphöjda indexet utelämnas när tiden inte behöver anges uttryckligen. En formulering som använder referenskonfigurationen \(\Omega_0\) som referens kallas total-Lagrange-formulering, medan en formulering som använder den aktuella konfigurationen \(^{t}\Omega\) vid inkrementets början som referens kallas updated-Lagrange-formulering.

Förskjutning, hastighet, acceleration och kroppskraft

Symbol Beskrivning
\(\boldsymbol{u}\) Förskjutningsvektor: \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\)
\(\bar{\boldsymbol{u}}\) Förskjutning föreskriven på den geometriska randen \(\Gamma_B\)
\(\delta \boldsymbol{u}\) Virtuell förskjutning (testfunktion): \(\delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) på \(\Gamma_B\)
\(\boldsymbol{v}\) Hastighetsvektor: \(\boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}\)
\(\boldsymbol{a}\) Accelerationsvektor: \(\boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}}\)
\(\boldsymbol{g}\) Kroppskraft (per massenhet)
\(\boldsymbol{t}\) Traktionsvektor (per ytenhet): \(\boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\)
\(\bar{\boldsymbol{t}}\) Traktion föreskriven på den mekaniska randen \(\Gamma_t\) (Neumann-data)

Differentialoperatorer

Symbol Beskrivning
\(\dot{(\cdot)}\) Materiell tidsderivata (tidsderivata som följer samma materialpunkt): \(\dot{A} \equiv DA/Dt\)
\(\nabla_X\) Gradient i referenskonfigurationen (gradient med avseende på materialkoordinaterna \(\boldsymbol{X}\)): \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\)
\(\nabla_x\) Gradient i den aktuella konfigurationen (gradient med avseende på de rumsliga koordinaterna \(\boldsymbol{x}\)): \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\)
\(\nabla_S\) Symmetrisk gradientoperator: \(\nabla_S \boldsymbol{u} = \tfrac{1}{2}(\nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T)\)

Anmärkning: \(\nabla_X\) och \(\nabla_x\) är relaterade genom \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). En gradient utan index, \(\nabla\), används när konfigurationen framgår av sammanhanget eller när skillnaden försvinner, såsom i problem med små deformationer.

Deformationstensorer

Symbol Beskrivning
\(\boldsymbol{F}\) Deformationsgradienttensor: \(F_{ij} = \partial x_i / \partial X_j\)
\(J\) Volymförhållande: \(J = dv/dV = \det \boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{C}\) Höger Cauchy-Green-deformationstensor: \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{b}\) Vänster Cauchy-Green-deformationstensor: \(\boldsymbol{b} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T\)
\(\boldsymbol{L}\) Hastighetsgradienttensor: \(L_{ij} = \partial v_i / \partial x_j = \dot{F}_{ik}F^{-1}_{kj}\)
\(\boldsymbol{D}\) Deformationshastighetstensor (symmetrisk del av \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{D} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}+\boldsymbol{L}^T)\)
\(\boldsymbol{W}\) Spinntensor (antisymmetrisk del av \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{W} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}^T)\)

Töjningstensorer

Symbol Beskrivning
\(\boldsymbol{E}\) Green-Lagrange-töjningstensor (referenskonfiguration): \(\boldsymbol{E} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{I})\)
\(\boldsymbol{e}\) Almansi-töjningstensor (aktuell konfiguration): \(\boldsymbol{e} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{b}^{-1})\)
\(\boldsymbol{A}_{(L)}\) Linjär del av Almansi-töjningstensor (symmetrisk förskjutningsgradient i den aktuella konfigurationen): \(\boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T)\)
\(\boldsymbol{\varepsilon}\) Infinitesimal töjningstensor (linjär approximation): \(\varepsilon_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i/\partial x_j + \partial u_j/\partial x_i)\)

Anmärkning: \(\boldsymbol{E}\) används främst i total-Lagrange-formuleringen, medan \(\boldsymbol{D}\) används främst i updated-Lagrange-formuleringen.

Spänningstensorer

Symbol Beskrivning
\(\boldsymbol{\sigma}\) Cauchy-spänningstensor (sann spänning, aktuell konfiguration): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\,d\Gamma\)
\(\boldsymbol{P}\) Första Piola-Kirchhoff-spänningstensor (nominell spänning): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\)
\(\boldsymbol{S}\) Andra Piola-Kirchhoff-spänningstensor (referenskonfiguration, symmetrisk): \(\boldsymbol{F}^{-1}d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\)

Omvandlingsrelationer mellan spänningstensorerna:

\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J}\boldsymbol{F}\boldsymbol{S}\boldsymbol{F}^T = \frac{1}{J}\boldsymbol{P}\boldsymbol{F}^T \]

Konvention: Total-Lagrange-formuleringen använder paret \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\), medan updated-Lagrange-formuleringen använder paret \((\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{D})\).

Densitet och massa

Symbol Beskrivning
\(\rho\) Massdensitet i den aktuella konfigurationen
\(\rho_0\) Massdensitet i referenskonfigurationen

Massans bevarande: \(\rho_0 = J\rho\).

Materialkonstanter (linjär elasticitet)

Symbol Beskrivning
\(E\) Youngs modul
\(\nu\) Poissons tal
\(\lambda\) Första Lamé-konstanten: \(\lambda = E\nu / [(1+\nu)(1-2\nu)]\)
\(\mu\) Andra Lamé-konstanten (skjuvmodul): \(\mu = E / [2(1+\nu)]\)
\(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) Elasticitetstensor (fjärde ordningen): \(\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{E}\), komponenter \(C_{ijkl}\)
\(D\) (eller \(\hat{\tilde{C}}\)) Materialmatris (Voigt-notation, \(6\times6\) i 3D): \(\hat{\sigma} = D\,\hat{\varepsilon}\)

Komponenter i elasticitetstensorn för ett isotropt linjärelastiskt material:

\[ C_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk}) \]

Hyperelastiska material

Symbol Beskrivning
\(W(\boldsymbol{C})\) Elastisk potentialfunktion (täthet för töjningsenergi)
\(I_1, I_2, I_3\) Huvudinvarianter för höger Cauchy-Green-tensor \(\boldsymbol{C}\)
\(\tilde{I}_1, \tilde{I}_2, \tilde{I}_3\) Reducerade invarianter för \(\boldsymbol{C}\) (volymändringen separerad)
\(C_1, C_2\) Materialkonstanter i Mooney-Rivlin-modellen
\(D\) Materialkonstant relaterad till volymelasticitet

Elastoplastiska material

Symbol Beskrivning
\(\boldsymbol{D}^e\) Elastisk komponent av deformationshastighetstensor
\(\boldsymbol{D}^p\) Plastisk komponent av deformationshastighetstensor
\(F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa)\) Flytfunktion
\(\kappa\) Intern variabel som representerar det plastiska tillståndet (isotrop hårdningsvariabel)
\(\lambda^p\) Plastisk multiplikator (multiplikator för plastisk töjningshastighet): \(\lambda^p \geq 0\)
\(\Theta\) Plastisk potential (\(\Theta = F\) för en associerad flytlag)
\(\bar{\sigma}\) Ekvivalent spänning (t.ex. von Mises-spänning)
\(\bar{\varepsilon}^p\) Ekvivalent plastisk töjning
\(H(\bar{\varepsilon}^p)\) Isotrop hårdningsfunktion

Komplementaritetsvillkor: \(\lambda^p F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa) = 0\), \(\lambda^p \geq 0\), \(F \leq 0\).

Finita elementmetoden

Symbol Beskrivning
\(\Omega^h, \Omega_0^h\) Områden i aktuell respektive referenskonfiguration approximerade genom finita element-diskretisering: \(\Omega^h = \bigcup_e \Omega^e\)
\(\Omega^e, \Omega^e_0\) Elementområde i aktuell respektive referenskonfiguration
\(\Gamma^e_t, \Gamma^e_{0t}\) Den del av elementranden som tillhör den mekaniska randen
\(\boldsymbol{r}\) Naturliga koordinater (elementlokala koordinater)
\(\boldsymbol{r}_\alpha\) Punkt i naturliga koordinater som motsvarar nod \(\alpha\)
\(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) Formfunktion som motsvarar nod \(\alpha\) i element \(e\)
\(n_e\) Antal noder som utgör ett element
\(n_g\) Totalt antal globala noder
\(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) Koordinater och förskjutning för elementnod \(\alpha\)
\(\boldsymbol{X}^e, \boldsymbol{u}^e\) Elementets nodkoordinat- och nodförskjutningsvektorer: \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\), osv.
\(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) Globala nodkoordinat- och nodförskjutningsvektorer (ordnade efter nodnummer och därefter frihetsgrad)
\(\boldsymbol{B}\) Matris för töjnings–förskjutningssamband (B-matris)
\(\boldsymbol{N}_\alpha, \boldsymbol{N}\) Formfunktionsmatris: \(\boldsymbol{N}_\alpha\) är ett \(d \times d\)-block med formfunktionen \(N_\alpha^e\) för nod \(\alpha\) på diagonalen, och \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\). \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\)
\(\boldsymbol{K}^e\) Elementstyvhetsmatris
\(\boldsymbol{K}^e_X, \boldsymbol{K}^e_x\) Integrander för elementstyvhetsmatrisen (uttryckta i referens- respektive aktuell konfiguration): \(\boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv\)
\(\boldsymbol{Q}^e\) (TL-formulering), \(\boldsymbol{q}^e\) (UL-formulering) Elementets inre kraftvektor
\(\boldsymbol{F}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e\) Nodal yttre kraft som verkar på elementnod \(\alpha\), samt elementets nodala yttre kraftvektor: \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\)
\(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) Global inre kraftvektor och global yttre kraftvektor: \(\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T\); analogt för \(\boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{Q}_{i_g}, \boldsymbol{F}_{i_g}\) Nodal inre kraft och nodal yttre kraft vid global nod \(i_g\) (nodblock i \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\))
\(\boldsymbol{K}\) Global tangentstyvhetsmatris: \(\boldsymbol{K} = \partial \boldsymbol{Q}/\partial \boldsymbol{u}\). Matris som bildas genom att placera \(3\times 3\)-blocket \(\boldsymbol{K}_{i_gi_h}\) på rad \(i_g\), kolumn \(i_h\)
\(\boldsymbol{R}_i\) Residualvektor i Newton-Raphson-iteration: \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\)
\(d\boldsymbol{u}_i\) Korrektion i Newton-Raphson-iteration (erhålls genom att lösa den linjära ekvationen \(\boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}\) vid iteration \(i\))
\(i_g\) Globalt nodnummer (\(1 \leq i_g \leq n_g\))
\(\mathrm{gdx}(e, \alpha)\) Globalt nodnummer som motsvarar lokalt nodnummer \(\alpha\) i element \(e\): \(\mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\)
\(\mathcal{E}(i_g)\) Mängd av par \((e, \alpha)\) som motsvarar globalt nodnummer \(i_g\): \(\mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \}\). Används vid assembleringsoperationer
\(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) Mängd av tupler \((e, \alpha, \beta)\) som motsvarar paret av globala nodnummer \((i_g, i_h)\); används vid assemblering av styvhetsmatrisen
\(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) Index för noder som utgör ett element
\(i, j, k, l, \ldots\) Index för frihetsgrader (\(1, 2, 3\) i 3D)

Avancerade element och strukturelement

Symbol Beskrivning
\(\bar{\boldsymbol{B}}\) Matris för töjnings–förskjutningssamband där volymdelen har modifierats med B-bar-metoden (volymkomponenten ersätts med B-matrisen utvärderad i elementcentrum)
\(\bar{\boldsymbol{F}}\) Deformationsgradient där volymdelen har modifierats med F-bar-metoden: \(\bar{\boldsymbol{F}} = (J_0/J)^{1/3} \boldsymbol{F}\)
\(J_0\) Volymförhållande för deformationsgradienten utvärderad i elementcentrum \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\): \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\)
\(\boldsymbol{\alpha}\) Vektor för interna frihetsgrader i ett inkompatibelt modelement (koefficienter för ytterligare förskjutningsmoder som inte upprätthåller kontinuitet på elementranden)
\(M_k(\boldsymbol{r})\) Formfunktioner för inkompatibla moder: \(M_1=1-\xi^2\), \(M_2=1-\eta^2\), \(M_3=1-\zeta^2\)
\(h\) Skalelementets tjocklek
\(A\) Tvärsnittsarea för ett balkelement
\(I\) Andra areamomentet för ett balkelements tvärsnitt (betecknat \(I_y\) och \(I_z\) kring de lokala \(y\)- respektive \(z\)-axlarna)
\(G\) Skjuvmodul: \(G = E/[2(1+\nu)]\)
\(L\) Elementlängd för ett balkelement
\(A_s\) Skjuvarea för ett balkelements tvärsnitt (FrontISTR använder \(A_s = A\))
\(\Phi_y, \Phi_z\) Koefficienter som representerar bidraget från skjuvdeformation i en Timoshenko-balk: \(\Phi_y = 12EI_z/(GA_sL^2)\), \(\Phi_z = 12EI_y/(GA_sL^2)\)

Relaterade ämnen