Lista över symboler för fysikaliska storheter
Den här sidan listar symbolerna för fysikaliska storheter som används i FrontISTR:s teorimanual. För notationskonventioner (fetstil för vektorer och tensorer, Einsteins summakonvention och Voigt-notation), se Tensornotation och matematiska grunder.
Konfigurationer och koordinatsystem
| Symbol | Beskrivning |
| \(\boldsymbol{X}\) | Positionsvektor för en materialpunkt i referenskonfigurationen (initialkonfigurationen), dvs. materialkoordinater |
| \(\boldsymbol{x}\) | Positionsvektor för en materialpunkt i den aktuella konfigurationen, dvs. rumsliga koordinater |
| \(\phi(\boldsymbol{X}, t)\) | Rörelseavbildning: \(\boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t)\) |
| \(\Omega_0\) | Område som kroppen upptar i referenskonfigurationen |
| \(\Omega\) | Område som kroppen upptar i den aktuella konfigurationen |
| \(\Gamma_0\) | Rand till \(\Omega_0\) |
| \(\Gamma\) | Rand till \(\Omega\) |
| \(\Gamma_B, \Gamma_{0B}\) | Geometrisk rand (förskjutningsrand): rand i aktuell/referenskonfiguration där \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) föreskrivs |
| \(\Gamma_t, \Gamma_{0t}\) | Mekanisk rand: rand i aktuell/referenskonfiguration där \(\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) (eller \(\boldsymbol{P}\boldsymbol{N} = \bar{\boldsymbol{t}}\)) föreskrivs |
| \(\boldsymbol{n}\) | Utåtriktad enhetsnormalvektor till en yta i den aktuella konfigurationen |
| \(\boldsymbol{N}\) | Utåtriktad enhetsnormalvektor till en yta i referenskonfigurationen |
| \(t\) | Tid |
Konvention: Fysikaliska storheter i referenskonfigurationen betecknas med versaler eller indexet \(0\), medan storheter i den aktuella konfigurationen betecknas med gemener.
Tid och inkrement (inkrementell analys)
| Symbol | Beskrivning |
| \(\Delta t\) | Tidsinkrement: \(\Delta t = t_{n+1} - t_n\) |
| \(^{t}(\cdot)\) | Fysikalisk storhet vid tiden \(t\) (vänster upphöjt index). Exempel: \(^{t}\boldsymbol{\sigma}\) är Cauchy-spänningen vid tiden \(t\) |
| \(^{t}\Omega\) | Den aktuella konfigurationens område vid tiden \(t\) |
| \(^{t}\Gamma\) | Den aktuella konfigurationens rand vid tiden \(t\) |
Konvention: Vid inkrementell analys behandlas tillståndet fram till tiden \(t\) som känt, och tillståndet vid tiden \(t + \Delta t\) löses som okänt. Det vänstra upphöjda indexet utelämnas när tiden inte behöver anges uttryckligen. En formulering som använder referenskonfigurationen \(\Omega_0\) som referens kallas total-Lagrange-formulering, medan en formulering som använder den aktuella konfigurationen \(^{t}\Omega\) vid inkrementets början som referens kallas updated-Lagrange-formulering.
Förskjutning, hastighet, acceleration och kroppskraft
| Symbol | Beskrivning |
| \(\boldsymbol{u}\) | Förskjutningsvektor: \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{u}}\) | Förskjutning föreskriven på den geometriska randen \(\Gamma_B\) |
| \(\delta \boldsymbol{u}\) | Virtuell förskjutning (testfunktion): \(\delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) på \(\Gamma_B\) |
| \(\boldsymbol{v}\) | Hastighetsvektor: \(\boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}\) |
| \(\boldsymbol{a}\) | Accelerationsvektor: \(\boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}}\) |
| \(\boldsymbol{g}\) | Kroppskraft (per massenhet) |
| \(\boldsymbol{t}\) | Traktionsvektor (per ytenhet): \(\boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\) |
| \(\bar{\boldsymbol{t}}\) | Traktion föreskriven på den mekaniska randen \(\Gamma_t\) (Neumann-data) |
Differentialoperatorer
| Symbol | Beskrivning |
| \(\dot{(\cdot)}\) | Materiell tidsderivata (tidsderivata som följer samma materialpunkt): \(\dot{A} \equiv DA/Dt\) |
| \(\nabla_X\) | Gradient i referenskonfigurationen (gradient med avseende på materialkoordinaterna \(\boldsymbol{X}\)): \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\) |
| \(\nabla_x\) | Gradient i den aktuella konfigurationen (gradient med avseende på de rumsliga koordinaterna \(\boldsymbol{x}\)): \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\) |
| \(\nabla_S\) | Symmetrisk gradientoperator: \(\nabla_S \boldsymbol{u} = \tfrac{1}{2}(\nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T)\) |
Anmärkning: \(\nabla_X\) och \(\nabla_x\) är relaterade genom \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). En gradient utan index, \(\nabla\), används när konfigurationen framgår av sammanhanget eller när skillnaden försvinner, såsom i problem med små deformationer.
| Symbol | Beskrivning |
| \(\boldsymbol{F}\) | Deformationsgradienttensor: \(F_{ij} = \partial x_i / \partial X_j\) |
| \(J\) | Volymförhållande: \(J = dv/dV = \det \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{C}\) | Höger Cauchy-Green-deformationstensor: \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{b}\) | Vänster Cauchy-Green-deformationstensor: \(\boldsymbol{b} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T\) |
| \(\boldsymbol{L}\) | Hastighetsgradienttensor: \(L_{ij} = \partial v_i / \partial x_j = \dot{F}_{ik}F^{-1}_{kj}\) |
| \(\boldsymbol{D}\) | Deformationshastighetstensor (symmetrisk del av \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{D} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}+\boldsymbol{L}^T)\) |
| \(\boldsymbol{W}\) | Spinntensor (antisymmetrisk del av \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{W} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}^T)\) |
Töjningstensorer
| Symbol | Beskrivning |
| \(\boldsymbol{E}\) | Green-Lagrange-töjningstensor (referenskonfiguration): \(\boldsymbol{E} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{I})\) |
| \(\boldsymbol{e}\) | Almansi-töjningstensor (aktuell konfiguration): \(\boldsymbol{e} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{b}^{-1})\) |
| \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) | Linjär del av Almansi-töjningstensor (symmetrisk förskjutningsgradient i den aktuella konfigurationen): \(\boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T)\) |
| \(\boldsymbol{\varepsilon}\) | Infinitesimal töjningstensor (linjär approximation): \(\varepsilon_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i/\partial x_j + \partial u_j/\partial x_i)\) |
Anmärkning: \(\boldsymbol{E}\) används främst i total-Lagrange-formuleringen, medan \(\boldsymbol{D}\) används främst i updated-Lagrange-formuleringen.
Spänningstensorer
| Symbol | Beskrivning |
| \(\boldsymbol{\sigma}\) | Cauchy-spänningstensor (sann spänning, aktuell konfiguration): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\,d\Gamma\) |
| \(\boldsymbol{P}\) | Första Piola-Kirchhoff-spänningstensor (nominell spänning): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
| \(\boldsymbol{S}\) | Andra Piola-Kirchhoff-spänningstensor (referenskonfiguration, symmetrisk): \(\boldsymbol{F}^{-1}d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\) |
Omvandlingsrelationer mellan spänningstensorerna:
\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J}\boldsymbol{F}\boldsymbol{S}\boldsymbol{F}^T = \frac{1}{J}\boldsymbol{P}\boldsymbol{F}^T \]
Konvention: Total-Lagrange-formuleringen använder paret \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\), medan updated-Lagrange-formuleringen använder paret \((\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{D})\).
Densitet och massa
| Symbol | Beskrivning |
| \(\rho\) | Massdensitet i den aktuella konfigurationen |
| \(\rho_0\) | Massdensitet i referenskonfigurationen |
Massans bevarande: \(\rho_0 = J\rho\).
Materialkonstanter (linjär elasticitet)
| Symbol | Beskrivning |
| \(E\) | Youngs modul |
| \(\nu\) | Poissons tal |
| \(\lambda\) | Första Lamé-konstanten: \(\lambda = E\nu / [(1+\nu)(1-2\nu)]\) |
| \(\mu\) | Andra Lamé-konstanten (skjuvmodul): \(\mu = E / [2(1+\nu)]\) |
| \(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) | Elasticitetstensor (fjärde ordningen): \(\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{E}\), komponenter \(C_{ijkl}\) |
| \(D\) (eller \(\hat{\tilde{C}}\)) | Materialmatris (Voigt-notation, \(6\times6\) i 3D): \(\hat{\sigma} = D\,\hat{\varepsilon}\) |
Komponenter i elasticitetstensorn för ett isotropt linjärelastiskt material:
\[ C_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk}) \]
Hyperelastiska material
| Symbol | Beskrivning |
| \(W(\boldsymbol{C})\) | Elastisk potentialfunktion (täthet för töjningsenergi) |
| \(I_1, I_2, I_3\) | Huvudinvarianter för höger Cauchy-Green-tensor \(\boldsymbol{C}\) |
| \(\tilde{I}_1, \tilde{I}_2, \tilde{I}_3\) | Reducerade invarianter för \(\boldsymbol{C}\) (volymändringen separerad) |
| \(C_1, C_2\) | Materialkonstanter i Mooney-Rivlin-modellen |
| \(D\) | Materialkonstant relaterad till volymelasticitet |
Elastoplastiska material
| Symbol | Beskrivning |
| \(\boldsymbol{D}^e\) | Elastisk komponent av deformationshastighetstensor |
| \(\boldsymbol{D}^p\) | Plastisk komponent av deformationshastighetstensor |
| \(F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa)\) | Flytfunktion |
| \(\kappa\) | Intern variabel som representerar det plastiska tillståndet (isotrop hårdningsvariabel) |
| \(\lambda^p\) | Plastisk multiplikator (multiplikator för plastisk töjningshastighet): \(\lambda^p \geq 0\) |
| \(\Theta\) | Plastisk potential (\(\Theta = F\) för en associerad flytlag) |
| \(\bar{\sigma}\) | Ekvivalent spänning (t.ex. von Mises-spänning) |
| \(\bar{\varepsilon}^p\) | Ekvivalent plastisk töjning |
| \(H(\bar{\varepsilon}^p)\) | Isotrop hårdningsfunktion |
Komplementaritetsvillkor: \(\lambda^p F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa) = 0\), \(\lambda^p \geq 0\), \(F \leq 0\).
Finita elementmetoden
| Symbol | Beskrivning |
| \(\Omega^h, \Omega_0^h\) | Områden i aktuell respektive referenskonfiguration approximerade genom finita element-diskretisering: \(\Omega^h = \bigcup_e \Omega^e\) |
| \(\Omega^e, \Omega^e_0\) | Elementområde i aktuell respektive referenskonfiguration |
| \(\Gamma^e_t, \Gamma^e_{0t}\) | Den del av elementranden som tillhör den mekaniska randen |
| \(\boldsymbol{r}\) | Naturliga koordinater (elementlokala koordinater) |
| \(\boldsymbol{r}_\alpha\) | Punkt i naturliga koordinater som motsvarar nod \(\alpha\) |
| \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) | Formfunktion som motsvarar nod \(\alpha\) i element \(e\) |
| \(n_e\) | Antal noder som utgör ett element |
| \(n_g\) | Totalt antal globala noder |
| \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) | Koordinater och förskjutning för elementnod \(\alpha\) |
| \(\boldsymbol{X}^e, \boldsymbol{u}^e\) | Elementets nodkoordinat- och nodförskjutningsvektorer: \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\), osv. |
| \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) | Globala nodkoordinat- och nodförskjutningsvektorer (ordnade efter nodnummer och därefter frihetsgrad) |
| \(\boldsymbol{B}\) | Matris för töjnings–förskjutningssamband (B-matris) |
| \(\boldsymbol{N}_\alpha, \boldsymbol{N}\) | Formfunktionsmatris: \(\boldsymbol{N}_\alpha\) är ett \(d \times d\)-block med formfunktionen \(N_\alpha^e\) för nod \(\alpha\) på diagonalen, och \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\). \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\) |
| \(\boldsymbol{K}^e\) | Elementstyvhetsmatris |
| \(\boldsymbol{K}^e_X, \boldsymbol{K}^e_x\) | Integrander för elementstyvhetsmatrisen (uttryckta i referens- respektive aktuell konfiguration): \(\boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv\) |
| \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL-formulering), \(\boldsymbol{q}^e\) (UL-formulering) | Elementets inre kraftvektor |
| \(\boldsymbol{F}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e\) | Nodal yttre kraft som verkar på elementnod \(\alpha\), samt elementets nodala yttre kraftvektor: \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\) |
| \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) | Global inre kraftvektor och global yttre kraftvektor: \(\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T\); analogt för \(\boldsymbol{F}\) |
| \(\boldsymbol{Q}_{i_g}, \boldsymbol{F}_{i_g}\) | Nodal inre kraft och nodal yttre kraft vid global nod \(i_g\) (nodblock i \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\)) |
| \(\boldsymbol{K}\) | Global tangentstyvhetsmatris: \(\boldsymbol{K} = \partial \boldsymbol{Q}/\partial \boldsymbol{u}\). Matris som bildas genom att placera \(3\times 3\)-blocket \(\boldsymbol{K}_{i_gi_h}\) på rad \(i_g\), kolumn \(i_h\) |
| \(\boldsymbol{R}_i\) | Residualvektor i Newton-Raphson-iteration: \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\) |
| \(d\boldsymbol{u}_i\) | Korrektion i Newton-Raphson-iteration (erhålls genom att lösa den linjära ekvationen \(\boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}\) vid iteration \(i\)) |
| \(i_g\) | Globalt nodnummer (\(1 \leq i_g \leq n_g\)) |
| \(\mathrm{gdx}(e, \alpha)\) | Globalt nodnummer som motsvarar lokalt nodnummer \(\alpha\) i element \(e\): \(\mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\) |
| \(\mathcal{E}(i_g)\) | Mängd av par \((e, \alpha)\) som motsvarar globalt nodnummer \(i_g\): \(\mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \}\). Används vid assembleringsoperationer |
| \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) | Mängd av tupler \((e, \alpha, \beta)\) som motsvarar paret av globala nodnummer \((i_g, i_h)\); används vid assemblering av styvhetsmatrisen |
| \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) | Index för noder som utgör ett element |
| \(i, j, k, l, \ldots\) | Index för frihetsgrader (\(1, 2, 3\) i 3D) |
Avancerade element och strukturelement
| Symbol | Beskrivning |
| \(\bar{\boldsymbol{B}}\) | Matris för töjnings–förskjutningssamband där volymdelen har modifierats med B-bar-metoden (volymkomponenten ersätts med B-matrisen utvärderad i elementcentrum) |
| \(\bar{\boldsymbol{F}}\) | Deformationsgradient där volymdelen har modifierats med F-bar-metoden: \(\bar{\boldsymbol{F}} = (J_0/J)^{1/3} \boldsymbol{F}\) |
| \(J_0\) | Volymförhållande för deformationsgradienten utvärderad i elementcentrum \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\): \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\) |
| \(\boldsymbol{\alpha}\) | Vektor för interna frihetsgrader i ett inkompatibelt modelement (koefficienter för ytterligare förskjutningsmoder som inte upprätthåller kontinuitet på elementranden) |
| \(M_k(\boldsymbol{r})\) | Formfunktioner för inkompatibla moder: \(M_1=1-\xi^2\), \(M_2=1-\eta^2\), \(M_3=1-\zeta^2\) |
| \(h\) | Skalelementets tjocklek |
| \(A\) | Tvärsnittsarea för ett balkelement |
| \(I\) | Andra areamomentet för ett balkelements tvärsnitt |
| \(G\) | Skjuvmodul: \(G = E/[2(1+\nu)]\) |
Relaterade ämnen