Gå till innehållet

Metoder för dynamikanalys

Detta avsnitt beskriver analysmetoder för dynamiska problem med direkt tidsintegration. Formuleringarna för den implicita och den explicita metoden presenteras nedan.

Diskretisering av rörelseekvationen (gemensamt ramverk)

Ej fastställt (slutförs i nästa fas).

Implicit metod (Newmark-β-metoden)

För dynamiska problem används en direkt tidsintegrationsmetod för att lösa rörelseekvationen nedan.

\[\begin{equation} M( t + \Delta t ) \ddot{U} (t + \Delta t) + C( t + \Delta t ) \dot{U}(t + \Delta t) + Q( t + \Delta t ) = F( t + \Delta t ) \label{eq:2.5.1} \end{equation}\]

Här är \(M\) massmatrisen, \(C\) dämpningsmatrisen, \(Q\) inre kraftvektorn och \(F\) yttre kraftvektorn. Massmatrisen antas förbli konstant oberoende av deformationen, även vid icke-linjär analys.

Förändringarna i förskjutning, hastighet och acceleration under tidsinkrementet \(\Delta t\) approximeras med Newmark-\(\beta\)-metoden enligt ekv. \(\eqref{eq:2.5.2}\) och ekv. \(\eqref{eq:2.5.3}\).

\[\begin{equation} \dot{U}(t + \Delta t) = \frac{\gamma}{\beta \Delta t} \Delta U( t + \Delta t ) - \frac{\gamma - \beta}{\beta} \dot{U}( t ) - \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2\beta} \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}(t + \Delta t) = \frac{1}{\beta \Delta t^2}\Delta U(t + \Delta t) - \frac{1}{\beta \Delta t} \dot{U}(t) - \frac{1 - 2\beta}{2\beta} \ddot {U}(t) \label{eq:2.5.3} \end{equation}\]

Här är \(\gamma\) och \(\beta\) parametrar för Newmark-\(\beta\)-metoden.

Som är välkänt motsvarar följande värden på \(\gamma\) och \(\beta\) den linjära accelerationsmetoden respektive trapetsregeln.

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{6}\) (linjär accelerationsmetod)

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{4}\) (trapetsregeln)

Insättning av ekv. \(\eqref{eq:2.5.2}\) och ekv. \(\eqref{eq:2.5.3}\) i ekv. \(\eqref{eq:2.5.1}\) ger följande ekvation.

\[\begin{align} \nonumber \left( \frac{1}{\beta \Delta t^2} \mathbf{M} + \frac{\gamma}{\beta \Delta t} C + K \right) \Delta U ( t + \Delta t ) &= F ( t + \Delta t ) - Q ( t + \Delta t ) \\\ \nonumber &+ \frac{1}{\beta \Delta t} M \dot{U} ( t ) + \frac{1 - 2\beta}{2\beta} M \ddot{U} ( t ) \\\ &+ \frac{\gamma - \beta}{\beta} C \dot{U} (t) + \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2 \beta} C \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.4} \end{align}\]

För ett linjärt problem är i synnerhet \(K_L\) den linjära styvhetsmatrisen och \(Q ( t + \Delta t ) = K_L U (t + \Delta t)\). Insättning av detta samband i ekvationen ovan ger följande ekvation.

\[\begin{align} \nonumber M \left\lbrace -\frac{1}{\beta \Delta t^2} U(t) -\frac{1}{\beta \Delta t}\dot U(t) - \frac{2\beta}{1-2\beta} \ddot U(t) \right\rbrace &+ C\left\lbrace - \frac{\gamma}{\beta \Delta t} U(t) + \left(1 - \frac{\gamma}{\beta}\right) \dot U(t) + \Delta{t}\frac{ 2\beta-\gamma}{2\beta}\ddot U(t)\right\rbrace \\\ & + \frac{1}{\beta \Delta{t}^2} M + \frac{\gamma}{\beta \Delta{t}} C + K_L U(t+\Delta{t}) = F(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.5} \end{align}\]

På platser där acceleration föreskrivs som ett geometriskt randvillkor erhålls förskjutningen från ekv. \(\eqref{eq:2.5.2}\) enligt följande.

\[\begin{equation} u_{is} (t+\Delta{t}) = u_{is} (t) + \Delta t \dot{u}(t) + \Delta t^2 \left(\frac{1}{2} -\beta \right) {\ddot{u}}_{is} (t + \Delta t) \label{eq:2.5.6} \end{equation}\]

På motsvarande sätt erhålls förskjutningen från ekv. \(\eqref{eq:2.5.6}\) på platser där hastigheten är föreskriven.

\[\begin{equation} u_{is}(t+\Delta{t})= u_{is}(t)+\Delta t \frac{ \gamma - \beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t) +(\Delta{t})^2 \frac{ \gamma - 2\beta}{ 2\gamma} \ddot{u_{is}}(t) +\Delta t \frac{\beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.7} \end{equation}\]

Här är \(u_{is}(t+\Delta{t})\) nodförskjutningen vid tiden \(t+\Delta{t}\), och \(\dot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) nodhastigheten vid tiden \(t+\Delta{t}\), \(\ddot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) nodaccelerationen vid tiden \(t+\Delta{t}\), \(i\) nodens frihetsgradsnummer och \(s\) nodnumret. Mass- och dämpningstermerna hanteras enligt följande.

Behandling av masstermen

I princip behandlas massmatrisen som en koncentrerad massmatris.

Behandling av dämpningstermen

Dämpningstermen behandlas som Rayleigh-dämpning uttryckt av ekv. \(\eqref{eq:2.5.8}\).

\[\begin{equation} C = R_m M + R_k K_L \label{eq:2.5.8} \end{equation}\]

Här är \(R_m\) och \(R_k\) parametrarna för Rayleigh-dämpning.

Värdena som anges på !DYNAMIC-kortet, \(R_m\) och \(R_k\), tillämpas enhetligt på hela modellen. För att tilldela olika \(R_m\)- och \(R_k\)-värden för varje material anges i materialets !MATERIAL-block kortet !DAMPING. För element som tillhör ett material där !DAMPING anges beräknas elementets dämpningsmatris från elementets massmatris \(M_i\) och tangentstyvhetsmatris \(K_i\) som \(C_i = R_m M_i + R_k K_i\), och assembleras i den globala dämpningsmatrisen. Denna funktion är endast verksam för den implicita metoden.

Explicit metod (centraldifferensmetoden)

Den explicita metoden baseras på rörelseekvationen vid tiden t som visas nedan.

\[\begin{equation} M \ddot{U}(t) + C (t) \dot{U}(t) + Q(t) = F(t) \label{eq:2.5.9} \end{equation}\]

Om förskjutningarna vid tiderna \(t + \Delta t\) och \(t - \Delta t\) uttrycks med Taylorutvecklingar kring tiden \(t\) och termer till och med andra ordningen i \(\Delta t\) behålls, erhålls följande ekvationer.

\[\begin{equation} U(t+\Delta{t}) = U(t)+\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} U(t-\Delta{t})=U(t)-\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.11} \end{equation}\]

Genom att ta differensen och summan av ekv. \(\eqref{eq:2.5.3}\) och ekv. \(\eqref{eq:2.5.4}\) erhålls följande ekvationer.

\[\begin{equation} \dot{U}(t)=\frac{1}{2\Delta{t}} (U(t+\Delta{t})-U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.12} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}= \frac{1}{(2\Delta{t})^2} (U(t+\Delta{t})-2U(t)+U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.13} \end{equation}\]

Insättning av ekv. \(\eqref{eq:2.5.12}\) och ekv. \(\eqref{eq:2.5.13}\) i ekv. \(\eqref{eq:2.5.9}\) ger följande ekvation.

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U ( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} 2 U(t) - U( t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \label{eq:2.5.14} \end{equation}\]

För ett linjärt problem gäller i synnerhet \(Q(t) = K_L U(t)\), och ekvationen ovan blir

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - K_L U(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U (t - \Delta t) \label{eq:2.5.15} \end{equation}\]

Om massmatrisen \(M\) tas som en koncentrerad massmatris och dämpningsmatrisen som en proportionell dämpningsmatris \(C = R_m M\), kräver ekv. \(\eqref{eq:2.5.15}\) ingen lösning av simultana ekvationer.

Därför kan, från ekv. \(\eqref{eq:2.5.15}\), \(U(t+\Delta t)\) erhållas med följande ekvation.

\[\begin{equation} U( t + \Delta t ) \\\ = \frac{1}{( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C )} \{ F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \} \label{eq:2.5.17} \end{equation}\]

Relaterade ämnen