Modalanalys¶

Generaliserat egenvärdesproblem¶

Vid analys av fria vibrationer i ett kontinuum diskretiseras konstruktionen rumsligt och modelleras som ett system med flera frihetsgrader och koncentrerade massor, såsom visas i figur 2.3.1. För ett odämpat fritt vibrationsproblem är den styrande ekvationen (rörelseekvationen) följande.

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = 0 \label{eq:2.3.1} \end{equation}\]

Här är $u$ den generaliserade förskjutningsvektorn, $M$ massmatrisen och $K$ styvhetsmatrisen. Låt $\omega$ vara egenvinkelfrekvensen, låt $a$ och $b$ vara godtyckliga konstanter som inte båda är noll, och låt $x$ vara en vektor. Definiera funktionen

\[\begin{equation} u(t) = (a \sin \omega t + b \cos \omega t ) x \label{eq:2.3.2} \end{equation}\]

Dess andraderivata är

\[\begin{equation} \ddot{u}(t) = -\omega^2 (a \sin \omega t + b \cos \omega t) x \label{eq:2.3.3} \end{equation}\]

Insättning av ekvation $\eqref{eq:2.3.2}$ och ekvation $\eqref{eq:2.3.3}$ i ekvation $\eqref{eq:2.3.1}$ ger

\[\begin{equation} M \ddot{u} + K u = (a \sin \omega t + b \cos \omega t) (K-\omega^2 M) x = 0 \label{eq:2.3.4} \end{equation}\]

Detta ger ekvationen ovan.

För en icke-trivial vibration är $a \sin \omega t + b \cos \omega t$ inte identiskt noll.

\[ (K-\omega^2M)x=0 \]

Därmed gäller sambandet ovan. Om $\lambda=\omega^2$ sätts, erhålls

\[\begin{equation} K x = \lambda M x \label{eq:2.3.5} \end{equation}\]

Detta ger ekvationen ovan.

Skalären $\lambda$ kallas ett egenvärde, vektorn $x$ en egenvektor och problemet som uttrycks av ekvation $\eqref{eq:2.3.5}$ ett generaliserat egenvärdesproblem.

Egenvinkelfrekvensen $\omega$ erhålls från egenvärdet $\lambda=\omega^2$, och den motsvarande egenvektorn $x$ representerar en modform.

Exempel på ett system med flera frihetsgrader för odämpad fri vibration

Figur 2.3.1 Exempel på ett system med flera frihetsgrader för odämpad fri vibration

Matrisegenskaper och antaganden¶

För det generaliserade egenvärdesproblemet $Kx=\lambda Mx$, som erhölls i föregående avsnitt, antas i denna handbok att matriserna är symmetriska. För komplexa matriser motsvarar detta Hermiteska matriser; för reella matriser motsvarar det symmetriska matriser.

Låt $k_{ij}$ vara element $ij$ i matrisen $K$. Den Hermiteska egenskapen uttrycks som

\[\begin{equation} k_{ij} = \bar{k}_{ji} \label{eq:2.3.6} \end{equation}\]

ekvationen ovan, där $\bar{k}_{ji}$ är det komplexkonjugerade värdet till $k_{ji}$. För reella matriser blir detta samband $k_{ij}=k_{ji}$.

En reell symmetrisk matris $H$ är positivt definit om, för varje nollskild vektor $x$,

\[\begin{equation} x^{t} H x > 0 \label{eq:2.3.7} \end{equation}\]

olikheten ovan gäller. I så fall är alla egenvärden för $H$ positiva.

I ett strukturellt egenvärdesproblem behandlas massmatrisen $M$ normalt som positivt definit. Styvhetsmatrisen $K$ kan däremot, beroende på randvillkoren, vara positivt semidefinit och ha nollegenvärden som motsvarar stelkroppsmoder.

Skiftad invers iteration¶

I praktisk strukturanalys med finita element behövs i allmänhet inte alla egenvärden; ofta räcker högst några få egenvärden av låg ordning. HEC-MW är avsett för storskaliga problem, där matriserna är stora och mycket glesa med många nollelement. Det är därför viktigt att effektivt beräkna egenvärdena för moder av låg ordning med hänsyn till dessa egenskaper.

För ett skift $\sigma$, om $-\sigma$ inte är ett egenvärde och $K+\sigma M$ är icke-singulär, kan ekvation $\eqref{eq:2.3.5}$ transformeras enligt följande.

\[\begin{equation} (K + \sigma M)^{-1} M x = \frac{1}{\lambda+\sigma} x \label{eq:2.3.8} \end{equation}\]

Denna transformation lämnar egenvektorn $x$ oförändrad och avbildar egenvärdet $\lambda$ på $1/(\lambda+\sigma)$.

Ju närmare $\lambda$ ligger $-\sigma$, desto större blir alltså absolutbeloppet av det transformerade egenvärdet. För ett strukturellt egenvärdesproblem gäller $\lambda \geq 0$ och $\sigma \geq 0$, så det lägsta egenvärdet avbildas på egenvärdet med störst absolutbelopp. Genom att utnyttja denna egenskap och tillämpa en iterativ metod som tenderar att först konvergera mot egenvärden med stora absolutbelopp på ekvation $\eqref{eq:2.3.8}$, kan egenvärden av låg ordning effektivt bestämmas i stigande ordning.

Denna metod kallas skiftad invers iteration.

För analyser med tvångsvillkor sätter FrontISTR $\sigma = 0$, och ekvation $\eqref{eq:2.3.8}$ blir $K^{-1} M x = \frac{1}{\lambda} x$, det vill säga invers iteration utan skift. Vid en obunden fri-fri-analys är $K$ singulär eftersom den har nollegenvärden som motsvarar stelkroppsmoder; genom att tilldela $\sigma$ ett positivt värde regulariseras $K+\sigma M$. Värdet på $\sigma$ anges med SIGMA i !EIGEN.

Lanczosmetoden¶

Motiv (jämförelse med Jacobimetoden)¶

Jacobimetoden är en välkänd klassisk metod.

Den är effektiv när matrisen är liten och tät. Eftersom matriserna som behandlas av HEC-MW är stora och glesa används dock inte Jacobimetoden; i stället används den iterativa Lanczosmetoden.

Algoritm och egenskaper¶

Metoden föreslogs av C. Lanczos på 1950-talet, är en algoritm för tridiagonalisering av en matris och har följande egenskaper.

Det är en iterativ metod och beräkningen kan utföras medan matrisen hålls gles.
Operationerna består huvudsakligen av matris-vektorprodukter, vilket gör metoden väl lämpad för parallellisering.
Den är väl lämpad för geometrisk domänuppdelning i samband med finita elementnät.
Effektiva beräkningar kan utföras genom att begränsa antalet egenvärden eller intervallet av moder som ska bestämmas.

Lanczosmetoden utgår från en startvektor, konstruerar successivt ortogonala vektorer och bestämmer en bas för ett Krylovdelrum.

Vid aritmetik med ändlig precision kan avrundningsfel göra att vektorerna förlorar sin ortogonalitet. För att begränsa denna effekt omortogonaliserar FrontISTR-implementeringen varje vektor mot de Lanczos-basvektorer som redan har erhållits.

Geometrisk tolkning (Krylovdelrum)¶

Genom att tillämpa följande variabeltransformationer på ekvation $\eqref{eq:2.3.8}$

\[ A = (K + \sigma M)^{-1} M \]

\[\begin{equation} \frac{1}{\lambda+\sigma}= \zeta \label{eq:2.3.9} \end{equation}\]

kan problemet skrivas om som

\[\begin{equation} A x = \zeta x \label{eq:2.3.10} \end{equation}\]

Detta ger ekvationen ovan.

För en godtycklig nollskild vektor $q_0$

\[ q_0,\ Aq_0,\ A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0 \]

kallas det rum som spänns upp av dessa vektorer

\[ \mathcal{K}_m(A,q_0) = \operatorname{span} \{q_0,Aq_0,A^2q_0,\ldots,A^{m-1}q_0\} \]

ett Krylovdelrum.

Lanczosmetoden konstruerar successivt en bas för detta Krylovdelrum.

FrontISTR använder följande skalärprodukt som är associerad med massmatrisen $M$

\[ \langle x,y\rangle_M = x^T M y \]

för att ortonormalisera basen. Skalärprodukten $\langle x,y\rangle$ och normen $\|x\|$ som visas i följande figurer tolkas i FrontISTR-beräkningar som denna $M$-skalärprodukt respektive den motsvarande $M$-normen

\[ \|x\|_M=\sqrt{x^T M x} \]

i respektive fall.

Tillämpa den linjära transformation som definieras av matris $A$ på en godtycklig vektor $q_0$, såsom visas i figur 2.3.2.

$Linjär transformation av $q_0$ med matris $A$$

Figur 2.3.2 Linjär transformation av $q_0$ med matris $A$

Den transformerade vektorn ortogonaliseras inom det rum som spänns upp av den och den ursprungliga vektorn. Närmare bestämt utförs Gram-Schmidt-ortogonalisering såsom visas i figur 2.3.3. Låt den erhållna vektorn vara $r_1$; normalisering av den ger $q_1$.

$Vektor $q_1$ ortogonal mot $q_0$$

Figur 2.3.3 Vektor $q_1$ ortogonal mot $q_0$

Med samma förfarande erhålls $q_2$ från $q_1$. Här är $q_2$ ortogonal mot både $q_1$ och $q_0$, såsom visas i figur 2.3.4.

$Vektor $q_2$ ortogonal mot $q_1$ och $q_0$$

Figur 2.3.4 Vektor $q_2$ ortogonal mot $q_1$ och $q_0$

På detta sätt konstruerar Lanczosmetoden successivt en ortonormal bas för Krylovdelrummet. Teoretiskt gör egenvärdesproblemets symmetri det möjligt att uttrycka iterationen som en tretermsrekursion som använder de senaste basvektorerna.

FrontISTR-implementeringen omortogonaliserar dock varje vektor mot de Lanczos-basvektorer som redan har erhållits med hjälp av $M$-skalärprodukten, för att begränsa förlust av ortogonalitet till följd av aritmetik med ändlig precision.

Tridiagonalisering¶

I FrontISTR:s Lanczositeration ortonormaliseras basvektorerna med avseende på den $M$-skalärprodukt som beskrivs i föregående avsnitt, så att

\[ q_i^T M q_j = \delta_{ij} \]

sambandet ovan gäller.

Med matris $A$ från ekvation $\eqref{eq:2.3.10}$ är den teoretiska Lanczositerationen

\[\begin{equation} A q_i = \beta_i q_{i-1} + \alpha_i q_i + \beta_{i+1} q_{i+1} \label{eq:2.3.11} \end{equation}\]

såsom den uttrycks av tretermsrekursionen ovan.

Först definieras $\alpha_i$ enligt följande.

\[ \alpha_i = q_i^T M A q_i \]

Därefter definieras den preliminära residualen som

\[ \tilde{r}_{i+1} = Aq_i - \beta_i q_{i-1} - \alpha_i q_i \]

såsom visas ovan.

För att begränsa förlust av ortogonalitet till följd av aritmetik med ändlig precision omortogonaliserar FrontISTR-implementeringen $\tilde{r}_{i+1}$ mot de Lanczos-basvektorer som redan har erhållits med hjälp av $M$-skalärprodukten. Om $r_{i+1}$ är residualen efter omortogonaliseringen gäller

\[\begin{equation} \beta_{i+1} = \sqrt{r_{i+1}^T M r_{i+1}}, \qquad q_{i+1} = \frac{r_{i+1}}{\beta_{i+1}} \label{eq:2.3.12} \end{equation}\]

sambanden ovan.

Samla de $m$ basvektorer som erhållits genom Lanczositerationen i

\[ Q_m=[q_0,q_1,\ldots,q_{m-1}] \]

Efter ett ändligt antal Lanczositerationer gäller då

\[\begin{equation} A Q_m = Q_m T_m + \beta_m q_m e_m^T \label{eq:2.3.13} \end{equation}\]

sambandet ovan.

Här är $e_m$ den $m$-dimensionella enhetsvektor vars $m$:te komponent är 1 och vars övriga komponenter är noll, och

\[\begin{equation} T_m= \begin{pmatrix} \alpha_0 & \beta_1 & & &\\ \beta_1 & \alpha_1 & \beta_2 & &\\ & \ddots & \ddots & \ddots &\\ & & \beta_{m-2} & \alpha_{m-2}& \beta_{m-1}\\ & & & \beta_{m-1} & \alpha_{m-1} \end{pmatrix} \label{eq:2.3.14} \end{equation}\]

är en symmetrisk tridiagonal matris.

Egenvärdena för det ursprungliga storskaliga egenvärdesproblemet kan alltså approximeras genom att beräkna egenvärdena för den tridiagonala matrisen $T_m$.

Relaterade ämnen¶

Frekvenssvarsanalys — Frekvenssvar med resultat från modalanalys
Analystyper — Funktionell översikt över modalanalys