Verifiering med modell med enkel geometri¶

Elastisk statisk analys¶

I denna verifiering används en konsolbalk med nätindelning enligt figur 9.1.1. Analyser utfördes för sju fall, exA till exG, där lastvillkoren varierades enligt figur 9.1.2. Fall exG har samma lastvillkor som exA men använder en direktlösare.

Verifieringsresultaten för varje fall visas i tabellerna 9.1.1–9.1.7.

Fig. 9.1.1 Exempel på nät för konsolbalk (hexaederelement)

	(a) exA, G: Koncentrerad last
	(b) exD: Gravitation
	(c) exB: Ytutbredd last
	(d) exE: Centrifugalkraft
	(e) exC: Volymlast
	(f) exF : Värmelast

Fig. 9.1.2 Verifieringsvillkor för konsolbalksmodellen

Tabell 9.1.1 : exA: Verifieringsresultat för problemet med koncentrerad last

Tabell 9.1.2 : exB: Verifieringsresultat för problemet med ytutbredd last

Tabell 9.1.3 : exC: Verifieringsresultat för problemet med volymlast

Tabell 9.1.4 : exD: Verifieringsresultat för gravitationsproblemet

Tabell 9.1.5 : exE: Verifieringsresultat för centrifugalkraftsproblemet

Tabell 9.1.6 : exF: Verifieringsresultat för problemet med termisk spänningslast

Tabell 9.1.7 : exG: Verifieringsresultat för direktmetoden (problem med koncentrerad last)

Icke-linjär statisk analys¶

(2-1) exnl1: Geometriskt icke-linjär analys¶

Verifieringsmodellen för fall exI är identisk med modellerna för fall exA till exG. Fig. 9.1.3 visar en schematisk bild av verifieringsmodellen. En geometriskt icke-linjär analys utförs på denna modell. Verifieringsresultaten visas i tabell 9.1.8.

Den olinjära beräkningen använder referenslasten \(P = 1.0\ \mathrm{kgf}\), med lastökningen \(0.1P\) under 10 laststeg.

Fig. 9.1.3 Verifieringsmodell

Tabell 9.1.8 exI: Verifieringsresultat (historik för maximal nedböjning)

(2-2) exnl2: Elastoplastisk deformationsanalys¶

Detta verifieringsproblem bygger på NAFEMS-testet NL1 från National Agency for Finite Element Methods and Standards (U.K.), och utför en elastoplastisk deformationsanalys som omfattar geometrisk icke-linjäritet och flera hårdnandelagar. Figur 9.1.4 visar analysmodellen.

Fig. 9.1.4 Modell för elastoplastisk deformationsanalys

(1) Verifieringsvillkor

(2) Randvillkor

Alla noder som inte anges här är fullständigt fixerade. Den teoretiska lösningen för detta problem är följande.

Som jämförelse är beräkningsresultaten följande.

Kontaktanalys (1)¶

Detta verifieringsproblem bygger på kontakt-patchtestproblemet CGS-4 från National Agency for Finite Element Methods and Standards (U.K.), och testar förmågan till kontakt med ändlig glidning och friktion. Fig. 9.1.5 visar analysmodellen.

Fig. 9.1.5 Modell för kontaktanalys

Jämviktsvillkoret för detta problem är följande.

I stadiet med vidhäftande friktion är friktionskraften

och i stadiet med glidfriktion är den

Detta ger sambandet ovan.

Jämförelsen mellan beräkningsresultaten och analyslösningen är följande.

Kontaktanalys (2): Hertz kontaktproblem¶

Denna verifiering analyserar Hertz kontaktproblem mellan en oändligt lång cylinder och ett oändligt plan. Cylinderns radie är \(R = 8\ \mathrm{mm}\), och Youngs modul \(E\) och Poissons tal \(\mu\) för den deformerbara kroppen är \(1100\ \mathrm{MPa}\) respektive \(0.0\). Kontaktytan antas vara tillräckligt liten jämfört med cylinderns radie, och med hänsyn till problemets symmetri analyseras en kvartscylindermodell.

Fig. 9.1.6 Analysmodell för Hertz kontaktproblem

(1) Verifieringsresultat för kontaktradie¶

Den teoretiska formeln för beräkning av kontaktradien är följande:

där

Detta ger uttrycket ovan. Under de aktuella beräkningsvillkoren, när trycket är \(F=100\), är kontaktradien \(a=1.36\).

Fig. 9.1.7 visar de ekvivalenta nodkrafterna vid kontaktpunkterna. Kontaktradien erhålls genom extrapolering av denna nodkraftsfördelning.

Fig. 9.1.7 Fördelning av ekvivalenta nodkrafter vid kontaktpunkterna

(2) Verifieringsresultat för maximal skjuvspänning¶

I den teoretiska lösningen, vid kontaktpositionen

är den maximala skjuvspänningen

Detta är den teoretiska maximala skjuvspänningen. Under de aktuella beräkningsvillkoren,

Detta är det teoretiska värdet under de aktuella beräkningsvillkoren. Som jämförelse ger beräkningen

Detta är beräkningsresultatet.

Fig. 9.1.8 Skjuvspänningsfördelning (maximalt värde = 15.6)

(3) Modalanalys¶

Verifieringsmodellerna för fall exJ och exK är identiska med modellerna för fall exA till exG. Fig. 9.1.9 visar en schematisk bild av verifieringsmodellen. En modalanalys utförs på denna modell. De tre första egenfrekvenserna beräknas. Fall exJ använder en iterativ lösare, medan fall exK använder en direktlösare. Verifieringsresultaten visas i tabellerna 9.1.9 till 9.1.12.

Fig. 9.1.9 Verifieringsmodell

Konsolbalkens egenfrekvenser erhålls från följande ekvationer.

Första egenfrekvensen

Andra egenfrekvensen

Tredje egenfrekvensen

Verifieringsmodellens egenskapsvärden är

De tre första egenfrekvenserna är således följande:

Tabell 9.1.9 : exJ: Verifieringsresultat med iterationsmetoden för den första egenfrekvensen

Tabell 9.1.10 : Verifieringsresultat med iterationsmetoden för exJ för den andra egenfrekvensen

Obs) I de tredimensionella modellerna är de två första moderna degenererade. Därför redovisas den tredje beräknade egenfrekvensen i tabellen som den andra egenfrekvensen.

Tabell 9.1.11 : Verifieringsresultat med direktmetoden för exK för den första egenfrekvensen

Tabell 9.1.12 : Verifieringsresultat med direktmetoden för exK för den andra egenfrekvensen

Obs) I de tredimensionella modellerna är de två första moderna degenererade. Därför redovisas den tredje beräknade egenfrekvensen i tabellen som den andra egenfrekvensen.

(4) Värmeledningsanalys¶

De gemensamma villkoren för de stationära värmeledningsanalyserna visas i figur 9.1.10. De individuella villkoren för verifieringsfallen exM till exT visas i figur 9.1.11. Nätindelningen motsvarar den som används för exA.

Verifieringsresultaten för varje fall visas som temperaturfördelningstabeller i tabellerna 9.1.13–9.1.20.

Temperaturberoende hos värmeledningsförmågan

Fig. 9.1.10 : Verifieringsvillkor för stationär värmeledningsanalys

exM: Linjärt material
exN: Problem med föreskriven temperatur
exO: Problem med koncentrerat värmeflöde
exP: Problem med distribuerad värmeflödestäthet
exQ: Problem med konvektiv värmeöverföring
exR: Problem med strålningsvärmeöverföring
exS: Problem med volymetrisk värmegenerering
exT: Problem med intern spalt

Fig. 9.1.11 : Analysvillkor för varje verifieringsfall

Tabell 9.1.13 : Verifieringsresultat för exM (stationär beräkning med linjärt material)

Tabell 9.1.14 : Verifieringsresultat för exN (problem med föreskriven temperatur)

Tabell 9.1.15 : Verifieringsresultat för exO (problem med koncentrerat värmeflöde)

Tabell 9.1.16 : Verifieringsresultat för exP (problem med distribuerad värmeflödestäthet)

Tabell 9.1.17 : Verifieringsresultat för exQ (problem med konvektiv värmeöverföring)

Tabell 9.1.18 : Verifieringsresultat för exR (problem med strålningsvärmeöverföring)

Tabell 9.1.19 : Verifieringsresultat för exS (problem med volymetrisk värmegenerering)

Tabell 9.1.20 : Verifieringsresultat för exT (problem med intern spalt)

Linjär dynamisk analys¶

I exW utförs en linjär dynamisk analys på samma konsolbalk som i punkt (1). Fig. 9.1.12 visar verifieringsvillkoren. För samma nätindelning verifieras tidsstegets inverkan på resultaten. Både implicita och explicita tidsintegrationsmetoder används, med elementtyperna 361 och 342. Verifieringsresultaten visas i tabell 9.1.22 och figurerna 9.1.13–9.1.15.

Analysmodell

Tidshistorik för yttre kraft F

Den teoretiska lösningen för förskjutningen i excitationspunkten är följande:

där

Fig. 9.1.12 : Verifieringsvillkor för linjär dynamisk analys

Verifieringsvillkor:

Tabell 9.1.21 : Verifieringsvillkor för linjär dynamisk analys (fortsättning)

Tabell 9.1.22 : Verifieringsresultat för linjär dynamisk analys av exW (konsolbalk)

Fig. 9.1.13 : Deformationsdiagram och ekvivalent spänningsfördelning för konsolbalken

(a) Elementtyp 361 : Implicit metod

(b) Elementtyp 361: Explicit metod

Fig. 9.1.14 Tidshistorik för förskjutning i excitationspunkten \(u_z\)

(a) Elementtyp 342: Implicit metod

(b) Elementtyp 342: Explicit metod

Fig. 9.1.15 : Tidshistorik för förskjutning i excitationspunkten \(u_z\)

Frekvenssvarsanalys¶

I denna verifiering utförs en frekvenssvarsanalys på en konsolbalk och verifieras genom jämförelse med resultat från en generell kommersiell lösare. Analysmodellen och verifieringsvillkoren visas nedan.

Analysvillkor:

Fig. 9.1.16 : Analysmodell (tetraederelement av första ordningen (126 element och 55 noder))

De fem första egenfrekvenserna från modalanalysen och frekvenssvaret vid excitationspunkten visas nedan.

Fig. 9.1.17 : Frekvensberoende för förskjutningsamplituden i excitationspunkten