Skip to content

Uchanganuzi Tuli wa Unyumbufu wa Mstari (Utangulizi)

Hapa tunaonyesha uundaji wa uchanganuzi tuli wa unyumbufu unaotegemea nadharia ya mgeuko mdogo. Unyumbufu wa mstari unadhaniwa katika uhusiano wa mkazo na mnyumbuko. Sura hii ni utangulizi wa kuelewa picha ya jumla ya uchanganuzi wa miundo kwa mbinu ya elementi finiti, na imepangwa ili iweze kusomwa kama sura inayojitegemea.

Kwa nadharia ya jumla ya kanuni ya kazi pepe (umbo katika usanidi wa sasa, umbo katika usanidi wa awali, na upunguzaji hadi mgeuko mdogo), rejelea Kanuni ya kazi pepe; kwa maelezo ya sheria ya konstitutivu ya unyumbufu wa mstari, rejelea Unyumbufu wa mstari; kwa kanuni za nukuu za tensor na Voigt, rejelea Nukuu za tensor na misingi ya hisabati; kwa uundaji wa jumla wa mgeuko mkubwa, rejelea Mwendo, mgeuko na mnyumbuko; na kwa mbinu za kutatua matatizo yasiyo ya mstari, rejelea Matriki ya ugumu wa tanjenti.

Milinganyo ya msingi

Chini ya dhana za mgeuko mdogo na unyumbufu wa mstari, tatizo la thamani za mipaka katika mekanika ya yabisi linajumuisha mlinganyo wa usawa, masharti ya mipaka ya kimitambo, na masharti ya mipaka ya kijiometri (masharti muhimu ya mipaka) (tazama Mchoro 2.1.1):

\[\begin{equation} \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \overline{\boldsymbol{b}} = \boldsymbol{0} \quad \text{katika} \ V \label{eq:2.1.1} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{n} = \overline{\boldsymbol{t}} \quad \text{kwenye} \ S_t \label{eq:2.1.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \overline{\boldsymbol{u}} \quad \text{kwenye} \ S_u \label{eq:2.1.3} \end{equation}\]

Hapa, \(\boldsymbol{\sigma}\) ni mkazo wa Cauchy, \(\overline{\boldsymbol{b}}\) ni nguvu ya mwili kwa kila ujazo wa kitengo, \(\overline{\boldsymbol{t}}\) ni nguvu ya uso iliyowekwa, \(\overline{\boldsymbol{u}}\) ni uhamisho uliowekwa, na \(S_t, S_u\) ni mipaka ya kimitambo na ya kijiometri.

Tatizo la thamani za mipaka katika mekanika ya yabisi (tatizo la mgeuko mdogo)

Mchoro 2.1.1 Tatizo la thamani za mipaka katika mekanika ya yabisi (tatizo la mgeuko mdogo)

Kwa kutumia opereta ya gradient linganifu, uhusiano wa mnyumbuko na uhamisho ni

\[\begin{equation} \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} \label{eq:2.1.4} \end{equation}\]

Mlinganyo wa konstitutivu wa unyumbufu wa mstari ni

\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon} \label{eq:2.1.5} \end{equation}\]

ambapo \(\boldsymbol{C}\) ni tensor ya unyumbufu ya daraja la nne.

Kanuni ya kazi pepe

Maumbo ya jumla ya kanuni ya kazi pepe (umbo la usanidi wa sasa, umbo la usanidi wa awali, na upunguzaji hadi mgeuko mdogo) yamekusanywa katika Kanuni ya kazi pepe. Chini ya dhana za mgeuko mdogo na unyumbufu wa mstari, umbo dhaifu ni

\[\begin{equation} \int_V \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \overline{\boldsymbol{t}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dS + \int_V \overline{\boldsymbol{b}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dV \label{eq:2.1.6} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{kwenye} \ S_u \label{eq:2.1.7} \end{equation}\]

Kwa kubadilisha mlinganyo konstitutivu \eqref{eq:2.1.5} na kwa nukuu ya Voigt kuandika \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\), tunapata umbo linalotumiwa moja kwa moja katika udiskretishaji:

\[\begin{equation} \int_V \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_V \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.10} \end{equation}\]

ambapo \(D\) ni matriki ya unyumbufu iliyoelezwa katika Unyumbufu wa mstari. Mlinganyo \eqref{eq:2.1.10} na mlinganyo \eqref{eq:2.1.7} ndio kanuni ya kazi pepe inayodiskretishwa hapa chini.

Udiskretishaji na ukusanyaji wa mlinganyo wa jumla

Kwa kudiskretisha kanuni ya kazi pepe katika mlinganyo \( \eqref{eq:2.1.10} \) kwa kila elementi finiti, tunapata

\[\begin{equation} \sum_e \int_{V^e} \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \sum_e \int_{S^e_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \int_{V^e} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.11} \end{equation}\]

Kwa kila elementi, uga wa uhamisho huingizwa kwa kutumia uhamisho wa nodi zinazounda elementi kama ifuatavyo.

\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \sum^m_{i=1} N_i\, \boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{N}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.12} \end{equation}\]

Kisha mnyumbuko hutolewa kwa kutumia mlinganyo \(\eqref{eq:2.1.4}\) kama ifuatavyo.

\[\begin{equation} \hat{\varepsilon} = \boldsymbol{B}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.13} \end{equation}\]

Kwa kubadilisha mlinganyo \(\eqref{eq:2.1.12}\) na \(\eqref{eq:2.1.13}\) katika mlinganyo \(\eqref{eq:2.1.11}\), tunapata

\[\begin{equation} \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \left( \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T D\, \boldsymbol{B}\, dV \right) \boldsymbol{U} = \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.14} \end{equation}\]

Mlinganyo \(\eqref{eq:2.1.14}\) unaweza kuandikwa kwa ufupi kama

\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.15} \end{equation}\]

Hapa, vipengele vya matriki na vekta vinavyofafanuliwa na milinganyo \(\eqref{eq:2.1.16}\) na \(\eqref{eq:2.1.17}\) vinaweza kukokotolewa kwa kila elementi finiti na kukusanywa kwa kujumlisha.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K} = \sum_e \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T\, D\, \boldsymbol{B}\, dV \label{eq:2.1.16} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{F} = \sum_e \left( \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \right) \label{eq:2.1.17} \end{equation}\]

Kwa kuwa mlinganyo \(\eqref{eq:2.1.15}\) unatumika kwa uhamisho wowote pepe \(\delta \boldsymbol{U}\), tunapata

\[\begin{equation} \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.18} \end{equation}\]

Kwa upande mwingine, sharti la mpaka wa uhamisho katika mlinganyo \(\eqref{eq:2.1.3}\) huandikwa kama

\[\begin{equation} \boldsymbol{U} = \overline{\boldsymbol{U}} \label{eq:2.1.19} \end{equation}\]

Kwa kutatua mlinganyo \(\eqref{eq:2.1.18}\) chini ya sharti la kizuizi la mlinganyo \(\eqref{eq:2.1.19}\), uhamisho wa nodi \(\boldsymbol{U}\) unaweza kuamuliwa.

Mada zinazohusiana