Skip to content

Unyumbufu wa mstari

Sura hii inahusu sheria ya konstitutivu (sheria ya Hooke) ya nyenzo za unyumbufu wa mstari. Kwa maelezo ya uchaguzi wa modeli na namna ya kutaja ingizo, rejelea sehemu ya vipengele 03_material.

Tukio (mwitikio wa unyumbufu wa mstari)

Mwili wa unyumbufu wa mstari ni nyenzo ambayo, katika eneo ambako mnyumbuko chini ya mzigo ni ndogo vya kutosha, ina uhusiano wa mstari kati ya mkazo na mnyumbuko na mwitikio unaorejea katika hali ya awali bila kutegemea historia, ambapo mnyumbuko wote hutoweka mzigo unapoondolewa. Tofauti na plastisiti au kutambaa, haina vigezo vya ndani vinavyowakilisha hali (kama mnyumbuko wa plastiki au mnyumbuko wa mnato), na mkazo huamuliwa kwa namna ya kipekee na mnyumbuko wa wakati huo pekee.

Katika eneo la mgeuko mdogo hutumiwa mkazo wa Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) na mnyumbuko mdogo \(\boldsymbol{\varepsilon}\); katika eneo la mgeuko mkubwa (matatizo yenye mizunguko mikubwa lakini mnyumbuko wenyewe ikiwa ndogo), hutumiwa mkazo wa pili wa Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{S}\) na mnyumbuko wa Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\) (nyenzo ya St.Venant-Kirchhoff).

Sheria ya konstitutivu

Nyenzo ya unyumbufu wa mstari isotropiki

Katika eneo la mgeuko mdogo, sheria isotropiki ya Hooke huandikwa kwa kutumia konstanti za Lamé \(\lambda, \mu\) kama

\[ \boldsymbol{\sigma} = \lambda\, \mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})\, \boldsymbol{I} + 2\mu\, \boldsymbol{\varepsilon} \]

Katika umbo la vipengele,

\[ C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr) \]

na ukandamizaji maradufu na mnyumbuko hutoa \(\sigma_{ij} = C_{ijkl}\,\varepsilon_{kl}\). Konstanti za Lamé zinahusiana na moduli ya Young \(E\) na uwiano wa Poisson \(\nu\) kama ifuatavyo:

\[ \lambda = \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}, \qquad \mu = \frac{E}{2(1+\nu)}. \]

Katika nukuu ya Voigt, uhusiano kati ya vekta ya mnyumbuko \(\hat{\varepsilon}\) na vekta ya mkazo \(\hat{\sigma}\) huandikwa \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\), na matriki ya nyenzo ya pande tatu \(D\) ni

\[ D = \begin{bmatrix} \lambda + 2\mu & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda + 2\mu & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda & \lambda + 2\mu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \mu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu \end{bmatrix} \]

ambayo ndiyo uwakilishi wa matriki unaotumiwa katika utekelezaji.

Nyenzo ya unyumbufu wa mstari orthotropiki

Kwa nyenzo ambazo konstanti za unyumbufu hutofautiana kulingana na mhimili mkuu, hutumiwa modeli orthotropiki yenye konstanti tisa huru: moduli za Young katika mielekeo ya mihimili mikuu \(E_1, E_2, E_3\), uwiano wa Poisson kati ya mihimili mikuu \(\nu_{12}, \nu_{23}, \nu_{31}\), na moduli za mkato \(G_{12}, G_{23}, G_{31}\). Kwa umbo mahususi la matriki \(D\), rejelea marejeo ya kawaida.

Eneo la mgeuko mkubwa: nyenzo ya St.Venant-Kirchhoff

Kwa matatizo yanayojumuisha mizunguko mikubwa lakini mnyumbuko wenyewe ikiwa ndogo, nyenzo ya St.Venant-Kirchhoff hutumiwa kama sheria ya unyumbufu wa mstari inayohusisha mkazo wa pili wa Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{S}\) na mnyumbuko wa Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\):

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{E}, \qquad C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr). \]

Ufafanuzi wa konstanti za Lamé \(\lambda, \mu\) ni sawa na katika mgeuko mdogo. Hata hivyo, kwa kuwa jozi ya ufafanuzi wa mkazo na mnyumbuko ni tofauti, hii ni sheria tofauti ya konstitutivu na sheria ya Hooke ya mgeuko mdogo.

Nyenzo hipoelastiki

Katika mbinu ya Updated Lagrange, hutumiwa nyenzo hipoelastiki yenye sheria ya unyumbufu wa mstari kati ya kiwango cha Jaumann cha tensa ya mkazo wa Kirchhoff wa jamaa \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) na tensa ya kasi ya mgeuko \(\boldsymbol{D}\):

\[ \hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{D} \]

Hapa pia, ufafanuzi wa \(\boldsymbol{C}\) kwa konstanti za Lamé ni sawa na hapo juu, lakini kwa kuwa jozi ya mkazo na mnyumbuko ni tofauti, hii ni sheria tofauti ya konstitutivu. Kwa maelezo ya jinsi \(\boldsymbol{\sigma}_{t_{n+1}}\) inavyosasishwa kupitia ujumuishaji wa wakati (ujumuishaji wa Euler wa mbele na ukadiriaji wa tofauti ya kati), rejelea tmptexdocs/11b_continuum_mechanics.tex.

Upunguzaji kwa uchanganuzi wa pande mbili na elementi za ganda

Mkazo wa tambarare (\(\sigma_{33} = 0\))

Kwa mkazo wa tambarare unaowakilisha upakiaji wa sahani nyembamba na ganda, huchukuliwa \(\sigma_{33} = \sigma_{13} = \sigma_{23} = 0\), na kipengele cha mnyumbuko nje ya tambarare \(\varepsilon_{33}\) huondolewa kialjebra ili kupata matriki ya nyenzo iliyopunguzwa \(D\):

\[ D = \frac{E}{1 - \nu^2} \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Mnyumbuko tambarare (\(\varepsilon_{33} = 0\))

Kwa mnyumbuko tambarare inayowakilisha sehemu ya msalaba ya muundo mrefu uliozuiwa katika mwelekeo wa unene, huchukuliwa \(\varepsilon_{33} = \varepsilon_{13} = \varepsilon_{23} = 0\):

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Ulinganifu wa mhimili

Katika viwianishi vya silinda \((r, \theta, z)\), uchanganuzi wa ulinganifu wa mhimili hushughulikia matatizo yaliyo sawia katika mwelekeo wa \(\theta\) na huhifadhi vipengele vinne \(\boldsymbol{\sigma} = (\sigma_{rr}, \sigma_{\theta\theta}, \sigma_{zz}, \sigma_{rz})^T\) na \(\boldsymbol{\varepsilon} = (\varepsilon_{rr}, \varepsilon_{\theta\theta}, \varepsilon_{zz}, 2\varepsilon_{rz})^T\), na

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix} \]

hupatikana.

Elementi za ganda (mkazo wa tambarare + mkato wa kuvuka)

Katika elementi za ganda, mkazo wa ndani ya tambarare hushughulikiwa kama mkazo wa tambarare, na kwa vipengele vya mnyumbuko ya mkato wa kuvuka \((2\varepsilon_{13}, 2\varepsilon_{23})\) hutumiwa kipengele cha urekebishaji wa mkato \(\kappa\) (kwa kawaida \(\kappa = 5/6\)), hivyo kupata \(\kappa\, G\). Kwa uundaji mahususi wa kila elementi, rejelea Uundaji wa hali ya juu wa elementi. Vipimo katika sehemu ya vipengele 03_material vinavyosema kuwa “elementi za ganda zinatumia unyumbufu wa mstari pekee” vinatokana na urahisishaji huu wa kushughulikia hali ya ndani ya tambarare kama mkazo wa tambarare.

Utegemezi wa halijoto

Moduli ya Young \(E\), uwiano wa Poisson \(\nu\), na mgawo wa upanuzi wa mstari \(\alpha\) kwa kawaida hutajwa kama funksi za halijoto \(T\). Katika FrontISTR, thamani za sifa hizi huingizwa kwa mfuatano wenye kikomo wa nukta za halijoto \(T_1 < T_2 < \cdots < T_n\), na thamani zinazolingana za sifa katika halijoto \(T\) wakati wa hesabu hutathminiwa kwa interpolasheni ya mstari kati ya nukta jirani. Kwa halijoto nje ya masafa (\(T < T_1\) au \(T > T_n\)), hutumiwa thamani ya mwisho wa karibu zaidi, \(T_1\) au \(T_n\), kama ekstrapolasheni ya konstanti.

Kwa utegemezi wa halijoto wa sifa za joto (msongamano, joto mahususi na uwezo wa kuendesha joto), rejelea Sifa za joto. Kanuni za interpolasheni ni zilezile kwa sifa hizi.

Mada zinazohusiana