Skip to content

Funksi za umbo na ukadiriaji wa elementi finiti

Ili kushughulikia kwa kompyuta umbo dhaifu la kanuni ya kazi pepe, kikoa cha kitu hugawanywa katika idadi finiti ya elementi. Ndani ya kila elementi, viwianishi vya nukta za nyenzo, uhamisho, na funksi za majaribio huinterpolishwa kutoka thamani za nodi kwa kutumia funksi za umbo. Derivativi za nafasi za funksi za umbo zimeelezwa katika Derivativi za nafasi za funksi za umbo, udiskretishaji wa umbo dhaifu katika Udiskretishaji wa kazi pepe ya nguvu za ndani, na maumbo mahususi ya funksi za umbo kwa kila aina ya elementi katika Mfumo wa nambari za elementi na maktaba ya funksi za umbo na sehemu zinazofuata.

Ugawaji wa kikoa na jumla za integrali kwa kila elementi

Kikoa \(\Omega_0\) katika usanidi wa marejeo na kikoa \(\Omega\) katika usanidi wa sasa hukadiriwa kama muungano wa elementi \(\Omega^e_0\) na \(\Omega^e\), mtawalia:

\[ \Omega_0 \approx \Omega_0^h = \bigcup_e \Omega^e_0, \qquad \Omega \approx \Omega^h = \bigcup_e \Omega^e \]

(ambapo \(e\) ni nambari ya elementi, na mipaka ya elementi hushirikiwa na elementi jirani). Kwa hiyo, integrali za ujazo na uso za kanuni ya kazi pepe hugawanywa kuwa jumla za integrali kwa kila elementi:

\[ \int_{\Omega_0} (\cdot)\, dV \approx \sum_e \int_{\Omega^e_0} (\cdot)\, dV, \qquad \int_{\Gamma_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \approx \sum_e \int_{\Gamma^e_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \]

(kwa usanidi wa sasa, badilisha \(dV \to dv\), \(\Omega^e_0 \to \Omega^e\), na \(\Gamma^e_{0t} \to \Gamma^e_t\)). Kuanzia hapa, tathmini ya umbo dhaifu inakuwa uundaji wa integrali kwa kila elementi.

Uinterpolishaji kwa thamani za nodi na funksi za umbo (elementi isoparametriki)

Kila elementi \(\Omega^e_0\) ina nodi \(n_e\). Viwianishi katika usanidi wa marejeo na uhamisho wa nodi kwa nodi ya elementi \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) huandikwa \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\). Vekta za nodi za elementi \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) na \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\) hupatikana kwa kuchukua, kutoka vekta za nodi za jumla \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) (ambapo \(n_g\) ni jumla ya nodi), vipengele vya nodi zinazounda elementi \(e\) pekee.

Katika viwianishi asilia \(\boldsymbol{r}\), ambavyo ni viwianishi vya ndani ya elementi, tunafafanua funksi za umbo \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) na kuinterpolisha viwianishi vya nyenzo, uhamisho, na funksi za majaribio ndani ya elementi kwa funksi zilezile za umbo (elementi isoparametriki na mbinu ya Galerkin):

\[ \boldsymbol{X} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha, \qquad \delta\boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \delta\boldsymbol{u}^e_\alpha. \]

Funksi za umbo huundwa ili kutimiza sifa mbili zifuatazo, na umbo la elementi huchaguliwa ili ramani \(\boldsymbol{r}\mapsto\boldsymbol{X}\) kutoka viwianishi asilia hadi viwianishi vya nyenzo iwe ya moja-kwa-moja ndani ya elementi:

\[ \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r}) = 1, \qquad N_\beta^e(\boldsymbol{r}_\alpha) = \delta_{\alpha\beta} \]

(ambapo \(\boldsymbol{r}_\alpha\) ni nukta ya viwianishi asilia inayolingana na nodi \(\alpha\), na \(\delta_{\alpha\beta}\) ni delta ya Kronecker). Mlinganyo wa kwanza huhakikisha kwamba uhamisho wa mwili mgumu unaweza kuwakilishwa, na wa pili huhakikisha kwamba thamani iliyoingizwa kwa uinterpolishaji kwenye nodi inalingana na thamani ya nodi. Maumbo mahususi ya \(n_e\) na \(N_\alpha^e\) kwa kila aina ya elementi yameonyeshwa katika Mfumo wa nambari za elementi na maktaba ya funksi za umbo na sehemu zinazofuata. Ili kupunguza utata wa alama, utegemezi kwa aina ya elementi huwakilishwa na faharasa ya juu \(e\) ya kila elementi.

Kwa kanuni hizi za uinterpolishaji, integrandi ya umbo dhaifu inaweza kuonyeshwa kwa thamani za nodi za elementi \(\boldsymbol{u}^e, \delta\boldsymbol{u}^e\) na \(N_\alpha^e\) pekee. Kwa upande mwingine, mnyumbuko hutokana na uhamisho uliointerpolishwa kupitia uhusiano wa mnyumbuko na uhamisho, na mkazo hutokana na mnyumbuko huo kupitia sheria ya konstitutivu ya nyenzo; kiasi hivi havipatikani kwa kuinterpolisha moja kwa moja thamani za nodi. Hutathminiwa katika nukta za ujumuishaji ndani ya elementi (Ujumuishaji wa nambari).

Kanuni ya mpangilio wa vekta ya nodi za jumla

Kiasi cha kifizikia kinachogawiwa kwa nodi hupangwa katika vekta ya nodi za jumla kwa mpangilio wa nambari ya nodi → daraja la uhuru. Kwa nodi \(\alpha\), tukitaja kipengele cha daraja la uhuru \(i\) kuwa \(u_{i\alpha}\), katika pande tatu (\(i=1,2,3\)) na pande mbili (\(i=1,2\)) tuna, mtawalia,

\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21}, u_{31},\ u_{12}, u_{22}, u_{32},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g}, u_{3 n_g})^T, \]
\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21},\ u_{12}, u_{22},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g})^T \]

Viwianishi \(\boldsymbol{X}^n\) na funksi ya majaribio \(\delta\boldsymbol{u}^n\) hufuata mpangilio huohuo. Kuanzia hapa, ubadilishaji wa milinganyo kuwa umbo la matriki na vekta utaelezwa kwa kutumia pande tatu kama hali wakilishi.

Mada zinazohusiana