Skip to content

Derivativi za nafasi za funksi za umbo

Funksi za umbo \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) zilizoanzishwa katika Funksi za umbo na ukadiriaji wa elementi finiti hutolewa kama funksi za viwianishi asilia \(\boldsymbol{r}\), ambavyo ni viwianishi vya ndani ya elementi. Kwa upande mwingine, kupitia uhusiano wa mnyumbuko na uhamisho, integrandi za umbo dhaifu huwa na derivativi sehemu kwa viwianishi halisi—usanidi wa marejeo \(\boldsymbol{X}\) au usanidi wa sasa \(\boldsymbol{x}\)—yaani \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{X}\) au \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{x}\). Sura hii inaeleza utaratibu wa kukokotoa derivativi za nafasi za funksi za umbo kutoka viwianishi vya nodi za elementi na derivativi kwa viwianishi asilia.

Uwakilishi wa derivativi za nafasi kwa kanuni ya mnyororo

Kwa kutumia kanuni ya mnyororo katika fomula ya uinterpolishaji \(\boldsymbol{X} = \sum_\alpha N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\,\boldsymbol{X}^e_\alpha\) (sehemu iliyotangulia), na matriki ya Jacobi \(J_{ij} = \partial X_i/\partial r_j\) ya ramani kutoka viwianishi asilia hadi viwianishi halisi, tunapata

\[ \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{X}} = \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}}\,\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)^{-1} \]

Hapa, \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) na \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) ni matriki za \(n_e \times 3\) ambazo katika kila moja safu mlalo \(\alpha\) huwakilisha vekta ya derivativi sehemu ya nodi \(\alpha\).

Uundaji wa matriki ya Jacobi

Kwa kudifferentisha fomula ya uinterpolishaji kwa \(\boldsymbol{r}\), tunapata

\[ \frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}} = \left[\boldsymbol{X}^e_1, \ldots, \boldsymbol{X}^e_{n_e}\right]\frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}} \]

Kwa hiyo, matriki ya Jacobi inaweza kuundwa moja kwa moja kutoka viwianishi vya nodi za elementi \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) na derivativi kwa viwianishi asilia \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\). Derivativi kwa viwianishi asilia huamuliwa na umbo la funksi za umbo na hutekelezwa mapema kwa kila aina ya elementi.

Determinanti ya matriki ya Jacobi \(\det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\) hutumiwa katika ujumuishaji wa nambari kubadilisha elementi ya ujazo kama \(dV = \det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\,d\boldsymbol{r}\). Determinanti ikiwa \(0\), elementi imeharibika kijiometri na hesabu hushindwa.

Mtiririko wa hesabu

Kutokana na utoaji ulio hapo juu, hesabu ya derivativi za nafasi \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) inaweza kugawanywa katika hatua nne zifuatazo.

  1. Kukokotoa derivativi kwa viwianishi asilia: Tumia aina ya elementi na viwianishi asilia \(\boldsymbol{r}\) vya nukta ya tathmini kama ingizo, kisha kokotoa matriki ya derivativi \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\). Kwa kuwa umbo la funksi za umbo hutofautiana kwa kila aina ya elementi, uchakataji hutawi kulingana na aina hiyo.
  2. Kukokotoa matriki ya Jacobi: Tumia viwianishi vya nodi za elementi \(\boldsymbol{X}^e\) na \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) kuunda matriki ya Jacobi \(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r}\) kwa mlinganyo wa sehemu iliyotangulia.
  3. Kukokotoa matriki kinyume na determinanti: Kokotoa matriki kinyume \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) na determinanti ya matriki ya Jacobi. Determinanti hutumiwa katika uzani wa ujumuishaji wa nambari.
  4. Kukokotoa derivativi za nafasi: Pata derivativi za nafasi \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) kama zao la \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) na \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\).

Hatua hizi nne hutawi kulingana na aina ya elementi na idadi ya vipimo vya nafasi—vipimo viwili au vitatu—lakini mtiririko wa jumla ni mmoja.

Utunzaji wa pamoja wa usanidi wa marejeo na usanidi wa sasa

Utaratibu ulio hapo juu unaweza pia kutumiwa kwa kubadilisha \(\boldsymbol{X}^e\) na viwianishi vya sasa vya nodi \(\boldsymbol{x}^e_\alpha = \boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha\), ili kupata derivativi za nafasi \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{x}\) katika usanidi wa sasa. Kwa hiyo, utaratibu huohuo unaweza kutumiwa kwa pamoja katika uundaji wa Total Lagrange na Updated Lagrange kwa kubadilisha tu viwianishi vya nodi vya ingizo.

Mada zinazohusiana