Skip to content

Udiskretishaji wa kazi pepe ya nguvu za ndani

Mlinganyo wa kazi pepe wakati \(t + \Delta t\) ulioonyeshwa katika Mfumo wa uchanganuzi wa nyongeza una maumbo mawili, Updated Lagrange na Total Lagrange, kulingana na uchaguzi wa usanidi wa marejeo. Katika sura hii, ukadiriaji wa elementi finiti ulioanzishwa katika Funksi za umbo na ukadiriaji wa elementi finiti na Derivativi za nafasi za funksi za umbo hutumiwa kudiskretisha katika nafasi kazi pepe ya nguvu za ndani ya maumbo yote mawili na kupata vekta za nguvu za ndani za elementi \(\boldsymbol{q}^e\) (UL) na \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL).

Kwa elementi \(e\), nodi zinazoiunda ni \(\alpha = 1, \ldots, n_e\); uhamisho ni \(\boldsymbol{u}^e_\alpha\), na vekta ya uhamisho wa nodi za elementi hupangwa kama \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\). Uhamisho pepe \(\delta \boldsymbol{u}^e\) hufafanuliwa kwa mpangilio huohuo. Uhamisho ndani ya elementi huingizwa kwa funksi za umbo kama \(\boldsymbol{u} = \sum_\alpha N_\alpha^e \boldsymbol{u}^e_\alpha\).

Kazi pepe ya nguvu za ndani katika mbinu ya Updated Lagrange

Katika mbinu ya Updated Lagrange, usanidi wa sasa \({}^{t}\Omega\) wakati \(t\) hutumiwa kama usanidi wa marejeo, na kazi pepe ya nguvu za ndani huandikwa kwa mkazo wa Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) na sehemu ya mstari ya mnyumbuko wa Almansi \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) kama

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

Kila kipengele cha \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) kinaweza kuandikwa kama mchanganyiko wa mstari wa derivativi za funksi ya umbo \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) dhidi ya viwianishi \(\boldsymbol{x}\) vya usanidi wa sasa na uhamisho pepe wa nodi \(\delta u^e_{i\alpha}\). Katika nukuu ya Voigt,

\[ \delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_L = [\boldsymbol{B}_{L1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{Ln_e}] \]

hupatikana. Bloku ya nodi \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) ni matriki ya \(6 \times 3\) inayopanga \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) kwa kanuni ya Voigt, na \(\boldsymbol{B}_L\) ni matriki ya uhusiano wa mnyumbuko na uhamisho kwa mbinu ya UL. Kwa kubadilisha hii katika kazi pepe ya nguvu za ndani na kutenganisha \(\delta \boldsymbol{u}^e\), tunapata

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{q}^e, \qquad \boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv \]

Bloku ya nodi \(\boldsymbol{q}^e_\alpha = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_{L\alpha}^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) ya \(\boldsymbol{q}^e\) ndiyo nguvu ya ndani ya elementi \(\Omega^e\) inayotenda kwenye nodi yake \(\alpha\).

Kazi pepe ya nguvu za ndani katika mbinu ya Total Lagrange

Katika mbinu ya Total Lagrange, usanidi wa awali \(\Omega_0\) hutumiwa kama usanidi wa marejeo, na kazi pepe ya nguvu za ndani huandikwa kwa mkazo wa pili wa Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{S}\) na mnyumbuko wa Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\) kama

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV \]

Mabadiliko \(\delta \boldsymbol{E}\) hugawanywa katika kipengele cha mstari dhidi ya uhamisho pepe na kipengele kisicho cha mstari chenye bidhaa na gradieni ya uhamisho wa sasa \(\partial u_k/\partial X_j\):

\[ \delta E_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_i}{\partial X_j} + \frac{\partial \delta u_j}{\partial X_i} \right), \quad \delta E_{(NL)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial u_k}{\partial X_j} + \frac{\partial u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_j} \right). \]

Kipengele cha mstari kinaweza kuandikwa kwa kutumia bloku ya nodi \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) inayopatikana kwa kutumia kanuni ileile ya mpangilio kama katika mbinu ya UL kwa \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\):

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e \]

(kwa sababu tu usanidi wa marejeo unatofautiana, vipengele hubadilika kutoka \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) hadi \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\); alama hiyo hiyo hutumiwa kama katika mbinu ya UL). Kipengele kisicho cha mstari huandikwa kwa bloku ya nodi \(\boldsymbol{B}_{NL\alpha}\) inayopanga bidhaa za gradieni ya uhamisho wa sasa \(\partial u_k/\partial X_j\) na \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) kulingana na kanuni ya Voigt:

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(NL)} = \boldsymbol{B}_{NL}\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_{NL} = [\boldsymbol{B}_{NL1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{NLn_e}] \]

Kwa hiyo \(\delta \boldsymbol{E} = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})\, \delta \boldsymbol{u}^e\), na \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) ndiyo matriki ya uhusiano wa mnyumbuko na uhamisho kwa mbinu ya TL. Kwa kubadilisha hii katika kazi pepe ya nguvu za ndani tunapata

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{Q}^e, \qquad \boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV \]

Bloku ya nodi \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha\) ndiyo nguvu ya ndani ya elementi \(\Omega^e_0\) inayotenda kwenye nodi yake \(\alpha\).

Ulinganifu wa UL/TL na mtiririko wa hesabu

Vekta za nguvu za ndani za elementi katika mbinu za Updated Lagrange na Total Lagrange zinahusiana kama ifuatavyo.

Kipengele Mbinu ya Updated Lagrange Mbinu ya Total Lagrange
Usanidi wa marejeo Usanidi wa sasa \({}^{t}\Omega^e\) Usanidi wa awali \(\Omega^e_0\)
tensa ya mkazo Mkazo wa Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) Mkazo wa pili wa PK \(\boldsymbol{S}\)
Mabadiliko ya mnyumbuko \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) \(\delta \boldsymbol{E} = \delta \boldsymbol{E}_{(L)} + \delta \boldsymbol{E}_{(NL)}\)
Matriki B \(\boldsymbol{B}_L\) (\(\partial N/\partial x\)) \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) (\(\partial N/\partial X\), \(\partial u/\partial X\))
Nguvu ya ndani ya elementi \(\boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) \(\boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV\)

Zote zinaweza kuchakatwa kwa utaratibu uleule: kujenga \(\boldsymbol{B}_L\) kutokana na derivativi za nafasi za funksi za umbo; katika mbinu ya TL, kujenga na kuongeza \(\boldsymbol{B}_{NL}\) kutokana na gradieni ya uhamisho wa sasa; kusasisha mkazo (\(\boldsymbol{\sigma}\) au \(\boldsymbol{S}\)) kulingana na sheria ya konstitutivu; na kufanya ujumuishaji wa nambari wa \(\boldsymbol{B}^T \boldsymbol{\sigma}\) au \((\boldsymbol{B}_L+\boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\) juu ya eneo la elementi katika nukta za ujumuishaji (Ujumuishaji wa nambari). Isipokuwa kubadili usanidi wa marejeo (viwianishi vya nodi na ujenzi wa matriki \(\boldsymbol{B}\)) na kubadilisha tensa ya mkazo, uchakataji ni wa pamoja; kwa hiyo FrontISTR hutekeleza hesabu za nguvu za ndani za mbinu zote mbili kwa subrutini za pamoja. Ukusanyaji wa vekta za nguvu za ndani za elementi \(\boldsymbol{q}^e\), \(\boldsymbol{Q}^e\) kwenda kwenye vekta ya nguvu za ndani ya jumla unashughulikiwa katika Kazi pepe ya nguvu za nje na ukusanyaji wa milinganyo ya jumla.

Mada zinazohusiana