Skip to content

Kazi pepe ya nguvu za nje na ukusanyaji wa milinganyo ya jumla

Katika Udiskretishaji wa kazi pepe ya nguvu ya ndani, upande wa kushoto wa umbo dhaifu ulikusanywa kuwa vekta ya nguvu ya ndani ya elementi \(\boldsymbol{q}^e\) (UL) au \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL). Sura hii inaanzisha vekta ya nguvu ya nje ya nodi za elementi \(\boldsymbol{F}^e\) kutoka kazi pepe ya nguvu za nje, kisha kupitia operesheni ya ukusanyaji inayopanga na kujumlisha viasi vya kifizikia vya nodi za elementi kwa nambari za nodi za jumla, tunafikia mfumo wa milinganyo isiyo ya mstari katika uhamisho wa nodi unaotatuliwa na uchanganuzi wa miundo usio wa mstari wa FrontISTR.

Mgawanyo wa kazi pepe ya nguvu za nje kwa elementi

Upande wa kulia wa kanuni ya kazi pepe unaweza kugawanywa kwa kila elementi kama kazi pepe ya nguvu za nje inayojumuisha nguvu ya mwili na traksioni iliyowekwa kwenye mpaka wa kimakanika. Ili kuandika uinterpolishaji wa uhamisho ulioanzishwa katika Funksi za umbo na ukadiriaji wa elementi finiti kwa umbo la matriki, kwa nodi \(\alpha\) tunatumia funksi ya umbo \(N_\alpha^e\), bloku ya diagonal ya \(d \times d\) \(\boldsymbol{N}_\alpha\), na kisha \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\) inayopanga vitalu hivyo kwa mlalo, hivyo \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\). Tukibadilisha hii katika kazi pepe ya nguvu za nje iliyoandikwa kwenye usanidi wa marejeo, tunapata

\[ \delta W^{\mathrm{ext}} = \sum_e \delta\boldsymbol{u}^{eT} \boldsymbol{F}^e, \qquad \boldsymbol{F}^e_\alpha = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{N}_\alpha^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV + \int_{\Gamma^e_{0t}} \boldsymbol{N}_\alpha^T \bar{\boldsymbol{t}}_0\, d\Gamma_0 \]

Hapa vekta ya nguvu ya nje ya nodi za elementi imepangwa kama \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\). Kwa hiyo kazi pepe ya nguvu za nje inaweza kukusanywa katika umbo lilelile la "vekta ya nodi za elementi × kitendakazi cha majaribio" kama upande wa nguvu za ndani (hata ikiandikwa kwenye usanidi wa sasa, umbo ni lilelile kwa kubadilisha \(dV \to dv\), \(\rho_0 \to \rho\), \(\bar{\boldsymbol{t}}_0 \to \bar{\boldsymbol{t}}\)).

Ukusanyaji wa viasi vya kifizikia vya nodi za elementi

Viasi vya kifizikia vya nodi \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e_\alpha\) vilivyopatikana kwa kila elementi hukusanywa katika vekta za jumla zilizopangwa kwa nambari za nodi za jumla. Kwa elementi \(\Omega^e\), nambari ya nodi ya ndani \(\alpha\) inayolingana na nambari ya nodi ya jumla iandikwe

\[ \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \]

basi kiasi cha kifizikia cha nodi ya elementi kinalingana na kijenzi husika cha kiasi cha kifizikia cha nodi cha jumla (kama \(\boldsymbol{u}^e_\alpha = \boldsymbol{u}_{i_g}\)). Kwa kawaida nodi \(i_g\) hushirikiwa na elementi nyingi; kwa hiyo, kwa nambari ya nodi ya jumla \(i_g\), tunafafanua seti ya jozi \((e, \alpha)\) kama

\[ \mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \} \]

Kwa kutumia seti hii na kuandika upya jumla kama \(\sum_e \sum_\alpha = \sum_{i_g} \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)}\), tunapata nguvu ya ndani ya nodi na vekta ya jumla ya nguvu ya ndani juu ya nodi zote \(n_g\)

\[ \boldsymbol{Q}_{i_g} = \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)} \boldsymbol{Q}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T \]

\(\boldsymbol{Q}_{i_g}\) ni jumla ya nguvu za ndani za nodi za elementi zinazotenda kwenye nodi \(i_g\), na huwa \(\boldsymbol{0}\) ikiwa hakuna nguvu ya nje na nodi iko katika usawa. Kwa mbinu ya UL, \(\boldsymbol{q}_{i_g}, \boldsymbol{q}\) hupatikana kwa utaratibu huo huo, na kwa thamani \(\boldsymbol{q} = \boldsymbol{Q}\); kwa hiyo kuanzia hapa tunatumia \(\boldsymbol{Q}\) isipokuwa pale tofauti inapohitajika. Vekta ya jumla ya nguvu ya nje \(\boldsymbol{F}\) pia hupatikana kwa ukusanyaji huo huo.

Katika utekelezaji, seti \(\mathcal{E}(i_g)\) haiundwi wazi; badala yake vijenzi husika huongezewa ndani ya mzunguko wa elementi.

Anzisha vekta ya jumla ya nguvu ya ndani Q kuwa 0: Q_{i_g} = 0  (i_g = 1, ..., n_g)
for e = 1 to (idadi ya elementi)
    for α = 1 to n_e
        i_g = gdx(e, α)
        Q_{i_g} += Q^e_α
    end for
end for

Vekta ya jumla ya nguvu ya nje \(\boldsymbol{F}\) huundwa kwa utaratibu huo huo. Operesheni ya kuongeza na kuhifadhi viasi vya kifizikia vya nodi za elementi katika vekta/matriki zilizonambariwa kwa nambari za nodi za jumla huitwa ukusanyaji. Kwa tensa ya daraja la pili inayohusisha nambari mbili za nodi (kama matriki ya ugumu), ukusanyaji wa aina hiyo hiyo hupatikana kwa seti \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h) = \{ (e, \alpha, \beta) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\ \mathrm{na}\ \mathrm{gdx}(e, \beta) = i_h \}\) (kwa uundaji mahususi, rejelea Matriki ya ugumu wa tanjenti).

Mlinganyo usio wa mstari unaotatuliwa

Tukibadilisha matokeo ya ukusanyaji wa nguvu za ndani na za nje katika kanuni ya kazi pepe, na kwa kuwa lazima ishikilie kwa kitendakazi chochote cha majaribio \(\delta\boldsymbol{u}^n\) inayotimiza masharti ya mpaka ya kijiometri, tunapata

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}^n) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}^n) = \boldsymbol{0} \]

Katika muktadha wa uchanganuzi wa nyongeza (Mfumo wa uchanganuzi wa nyongeza), tukirudisha faharasa ya chini ya wakati \(_{n+1}\) na kuacha faharasa ya juu \(^n\) inayoonyesha vekta ya nodi ya jumla, mlinganyo unaotatuliwa ni

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_{n+1}) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = \boldsymbol{0} \]

Tatizo la thamani ya mpaka lililodiskretishwa la kupata, katika muda \(t_{n+1}\), uhamisho wa nodi \(\boldsymbol{u}_{n+1}\) linakuwa kutatua mlinganyo huu usio wa mstari ya uhamisho pamoja na masharti ya mpaka ya kijiometri. Ulinearishaji wa mlinganyo na uundaji wa matriki ya ugumu wa tanjenti unaelezwa katika Matriki ya ugumu wa tanjenti, na utatuzi wa kurudia katika Mbinu ya Newton-Raphson.

Vipengee vinavyohusiana